Шумерская система счисления кратко
Обновлено: 04.07.2024
Всем привет, сегодня разберем такую интересную тему, как вавилонская система счисления. Её особенность заключается в том, что её принципы были положены в нумерацию, которой мы пользуемся сейчас – десятичный формат. Он построен на арабских цифрах от нуля до девяти. Здесь мы разберем историю происхождения вавилонского (шестидесятеричного) исчисления, попробуем его охарактеризовать , а также рассмотрим, как в нем записывались числовые значения.
История вавилонской системы счисления
Даже сейчас историки не знают точно, в результате чего появилась нумерация. Выдвигается много гипотез, однако большую популярность набрали всего две из них.
Версия О. Нейгебауэра
Первое предположение высказал австрийский математик О́тто Эдуа́рд Нейгеба́уэр (1899—1990) — австрийский, позже американский математик и историк науки. Автор глубоких исследований древней и средневековой науки, особенно истории математики.
'>Отто Нейгебауэр в 1927 году. По его версии исчисление возникло сразу после завоевания древнего Шумера государством, которое называется Аккад. Тогда было введено два денежных номинала, один из которых назывался шекелем, а другой – мина. Историками было установлено, что одна мина была равна шестидесяти шекелям. Спустя некоторое время вавилоняне привыкли к этому представлению и стали использовать её для счета всего остального.
Версия И.Н. Веселевского и другие
Однако эту версию опроверг знаменитый советский математик – Ива́н Никола́евич Весело́вский (1892-1977) — советский механик, математик и историк науки.
'>Иван Николаевич Веселовский . В качестве довода он привел, что Аккадское завоевание проходило примерно в двухтысячных годах до нашей эры. Археологи же находят упоминания о вавилонском счислении аж в четвертом тысячелетии до н.э. В результате он выдвинул свою гипотезу, в которой говорится о том, что шестидесятеричное числовое отображение было построено на пальцевом методе счета.
В докладе говорилось о том, что вавилонская система счисления получилась в результате слияния двух более древних форматов отображения чисел — пятеричного и двенадцатеричного. Это подтверждают и находки археологов, которые показывают, что в то время действительно использовались эти способы представления чисел.
Методы отображения числовых значений
После небольшого экскурса в историю можно перейти к основным определениям, а также рассмотреть, как отображались числовые величины в нумерации древнего Вавилона. Итак
Основные положения в шестидесятеричном исчислении
Вавилонскую систему – можно охарактеризовать, как позиционное счисление по основанию шестьдесят.
Так древние Вавилоняне использовали 60 различных знаков (шестидесятеричное отображение). Их Вы можете увидеть на картинке ниже.
Что касается записи, то и она не должна вызывать никаких сложностей. Из изображения выше Вы можете заметить, что для написания знака используются клинышки – одни из них направлены влево, а другие вниз. Именно поэтому этот алфавит называется клинописью. Так клинышки, которые смотрят влево — отображают десятки, а те, что вниз – единицы.
Чтобы разобраться, рассмотрим несколько примеров. Например, 12 в вавилонской системе будет писаться как
А теперь 45
Результаты соответствуют выражениям – 1*10 +2*1=12 и 4*10+5*1=45.
Примечательно, что в этом формате имели представление и большие величины.
Как пример 1972 записывалось вот так
Что равнялось 32*60+52=1972. Аналогия с арабскими цифрами простая – так отсчитав от 0 до 9, мы переходим от разряда единиц к разряду десятков. Также и здесь – посчитав до 60, мы переходим к новому разряду. Получается, что здесь мы считаем не десятками, а значениями, которые кратны 60.
Алгебраические операции и дроби в вавилонской системе
Сложные математические действия, такие как умножение и деление выполнялись с помощью сложных таблиц. Это можно объяснить тем, что использовалось большое количество знаков, и держать числа в уме было очень трудно.
Что касается дробей, то в Вавилоне использовались шестидесятеричные дробные значения (пример 1/60). Используем мы это представление до сих пор в подсчете времени. Так один час равен шестьдесят минут, а минута равняется шестидесяти секундам.
Заключение
Вот и всё, Вы познакомились с вавилонской системой счисления, которая использовалась в древнем Вавилоне. И имеете представление, как её охарактеризовать. Эти знания Вы сможете использовать в своем докладе. Если возникли трудности, то оставляйте вопросы в комментариях к статье.
Шумерская цивилизация - одна из самых древних (наравне с египетской). Шумерам принадлежит огромное количество изобретений: письменность в виде клинописи, колесо, гончарный круг, выплавка бронзы, способ изготовления стекла и стеклянной посуды и еще многое другое. В том числе у них была своя собственная система счисления – шестидесятеричная. Эта система счисления дошла до наших дней. Мы измеряем в ней время (60 минут в часе, 60 секунд в минуте), углы и даже GPS координаты. Во времена шумерской цивилизации еще не была известна позиционная запись числа (ее изобрели намного позже в Индии), но если бы она существовала, то любое число можно было бы записать в этой шестидесятеричной позиционной системе так же, как мы это делаем в привычной нам десятеричной. Например, число (1)(59)(0), записанное в шестидесятеричной позиционной записи, равно числу 7140 = 1 * 60^2 + 59 * 60 в десятичной системе.
1) Проверьте, делится ли число N, записанное в шестидесятеричной позиционной записи 59 единицами N=(1)(1)(1)…(1), на 59. 2) Для шестидесятеричной позиционной записи чисел придумайте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6,10, 12, 20, 30, 59, 61. 3) Какие еще признаки делимости вы обнаружили?
Это продолжение задуманной мной серии про историю вычислений и счета. Первая статья про Египет здесь.
Сейчас я попробую немного рассказать о другой великой цивилизации и культуре прошлого. Вавилонское царство возникло в начале 2-го тысячелетия до нашей эры, оно пришло на смену Шумеру и Аккаду и существовало до завоевания Персами в 539 г. до н.э. Писали в Вавилоне, как все помнят, на глиняных табличках с помощью клинописи, которые очень неплохо сохраняются в отличие от бумаги, папируса, и подобных вещей, поэтому мы знаем достаточно много и про Вавилон, и про его математику. Но, конечно, мы не знаем всего. В отличие от греков вавилоняне не оставили точных алгоритмов и ясных объяснений своих приемов. Теперь мы можем только догадываться как именно вавилоняне действовали в том или ином случае при решении задачи. В этой работе я сосредточусь в основном на вавилонской арифметике, оставив в стороне геометрию, алгебру и астрономию.
Вавилоняне в математике продвинулись намного дальше египтян, насколько нам известно, хотя и не сравнялись с греками, видимо. Они уже умели решать квадратные уравнения, кроме того имели некоторые зачатки числовой алгебры. Одно из их достижений было введение позиционной шестидесятеричной системы счисления без нуля. Это означает, что обращение с числами стало значительно более гибким и простым, чем в Египте. Точно не известно, откуда взялась такая система. Одна из версии говорит, что к ней привело смешение 6-ичной и 10-ичной систем народов Шумера и Аккада. Но существуют и другие мысли на этот счет.
Эта система, к сожалению (может и к счастью, не хотелось бы учить их таблицу умножения) не была освоена другими народами Древнего Мира, и пришлось ждать прихода индийской позиционной системы. Однако, кое-какое отражение вавилонской математики в нашей культуре осталось: деление минуты на шестьдесят секунд и часа на 60 минут — это отзвук древней вавилонской системы счисления.
Цифры и система счисления
На картинке показано, как вавилоняне обозначали 1 и 10. С их помощью изображались все числа от 1 до 59. На картинке ниже показано число 33. Это аналогично римской и другим непозиционным системам записи чисел.
Число 60 обозначалось точно так, как и единица. В начале оно рисовалось крупнее, но позже это различие стерлось. Числа больше 60, но меньше, чем 120 обозначались следующим образом: сначала писалось число 60, потом через пробел остальная часть числа, меньшая 60.
Ниже пример числа 63
Шестидесятери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 60. Использовалась в древние времена на Ближнем Востоке.
Содержание
Исторический очерк
Происхождение шестидесятеричной системы неясно. По одной гипотезе (И. Н. Веселовский), она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке) [1] . По другой — с тем, что окружность делится циркулем на шесть частей. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) [2] о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
В XIII веке влиятельный ректор Парижского университета Пётр Филомен (он же Petrus de Dacia, то есть датчанин [3] ) выступил за повсеместное внедрение шестидесятеричной системы в Европе. В XV веке с аналогичным призывом выступил Иоганн Гмунден, профессор математики Венского университета. Обе инициативы остались без последствий.
Начиная с XVI века, десятичные дроби в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас шестидесятеричную систему применяют при измерении углов и времени.
Структура шестидесятеричного числа
Примеры использования
Вавилонская система счисления
Вавилонская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел использовались всего два знака: прямой клин ↓ для обозначения единиц и лежачий клин ← для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда. Новый шестидесятеричный разряд начинался с появлением прямого клина после лежачего клина, если рассматривать число справа налево:
Вначале нуля не было. Позже ввели обозначение для пропущенных шестидесятеричных разрядов, что соответствует появлению нуля, но в первом разряде справа этот знак не ставился, что приводило к неоднозначности записи чисел и для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения [4] .
За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд:
1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.
Эта громоздкая шестидесятеричная система позволяла шумерам вычислять дроби и перемножать числа до миллионов, извлекать корни и возводить в степень. Во многих отношениях эта система даже превосходит применяющуюся нами в настоящее время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что она продолжает применяться и в наше время отсюда, например, деление круга на 360 градусов.
Мы редко осознаем, что не только нашей геометрией, но также и современному способу исчисления времени мы обязаны шумерской системе счисления с шестидесятеричным основанием. Деление часа на 60 секунд было совсем не произвольным — оно основывается на шестидесятеричной системе. Отголоски шумерской системы счисления сохранились и в делении суток на 24 часа, года на 12 месяцев, фута на 12 дюймов, и в существовании дюжины как меры количества. Они обнаруживаются также в современной системе счета, в которой выделяются отдельно числа от 1 до 12, а затем следуют числа типа 10+3, 10+4 и т.д.
Теперь нас уже не должно удивлять, что зодиак также был еще одним изобретением шумеров, изобретением, которое в дальнейшем было усвоено другими цивилизациями. Но шумеры не пользовались знаками зодиака, привязывая их к каждому месяцу, как мы делаем сейчас в гороскопах. Они использовали их в чисто астрономическом смысле — в смысле отклонения земной оси, движение которой делит полный цикл прецессии в 25 920 лет на 12 периодов по 2160 лет. При двенадцатимесячном движении Земли по орбите вокруг Солнца картина звездного неба, образующего большую сферу в 360 градусов, меняется. Понятие зодиака возникло путем разделения этой окружности на 12 равных сегментов (сферы зодиака) по 30 градусов каждый. Затем звезды в каждой группе объединялись в созвездия, и каждое из них получало свое наименование, соответствующее современным их наименованиям. Таким образом, не остается сомнения в том, что впервые понятие зодиака использовалось в Шумере. Начертания знаков зодиака (представляющие воображаемые картины звездного неба), а также произвольное деление их на 12 сфер доказывают, что соответствующие знаки зодиака, применяющиеся в других, более поздних культурах, не могли появиться в результате самостоятельного развития.
Исследования шумерской математики, к большому удивлению ученых, показали, что их числовая система тесно связана с прецессионным циклом. Необычный подвижной принцип шумерской шестидесятеричной системы счисления акцентирует внимание на числе 12 960 000, что в точности равняется 500 больших прецессионных циклов, совершающихся за 25 920 лет. Отсутствие каких бы то ни было иных, кроме астрономических, возможных приложений для произведений чисел 25 920 и 2160 может означать лишь одно — эта система разработана специально для астрономических целей.
Похоже на то, что ученые уклоняются от ответа на неудобный вопрос, который заключается в следующем: каким образом шумеры, чья цивилизация длилась всего 2 тысячи лет, могли заметить и зафиксировать цикл небесных движений, продолжающийся 25 920 лет? И почему начало их цивилизации относится к середине периода между сменами зодиака? Не свидетельствует ли это о том, что они унаследовали астрономию от богов?
Читайте также: