Школьный предмет алгебра включает в себя элементы векторной алгебры теорию случайных процессов

Обновлено: 02.07.2024

А́ЛГЕБРА [ср.-век. лат. algebra, от араб. аль-джебр, аль-джабр – воссоединение (отдельных частей уравнения)], раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над математич. объектами и влияет на формирование общих понятий и методов математики. Задачи и методы А. заключались первоначально в составлении и решении уравнений. В связи с исследованиями уравнений развивалось понятие числа, были введены отрицательные, рациональные, иррациональные и комплексные числа; общее исследование свойств этих числовых систем относится к А. В алгебре сформировались буквенные обозначения, позволившие записать свойства действий над числами в форме, не содержащей конкретных чисел. Преобразования по определённым правилам (связанным со свойствами действий) буквенных выражений составляет аппарат классич. А. Развитие А. оказало большое влияние на развитие новых областей математики, в частности математич. анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Применение А. возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебраич. методов является векторная алгебра (см. Линейная алгебра ) и её дальнейшее обобщение – тензорная алгебра (см. Тензорное исчисление ), ставшая одним из важных средств совр. физики.

Методика обучения алгебре основной школы (Материалы к лекционным занятиям): учебно–методическое пособие. – Ярославль: Изд – во ЯГПУ имени К.Д. Ушинского.2006. - с.

ББК 74. 262. 214 я 73

имени К.Д. Ушинского, 2006

©Епифанова Н.М., Шарова О.П., 2006

Содержание

Введение

Методика обучения конкретным разделам курса раскрывается в пособии по следующим содержательно-методическим линиям: числовые системы, тождественные преобразования, уравнения и неравенства, функции. Во избежание рецептурности изложения в пособии рассматриваются различные возможные подходы к преподаванию основных разделов школьного курса математики, нашедшие отражение в альтернативных школьных учебниках. Пособие написано на основе курса лекций, предназначенных для студентов физико-математических специальностей.

Авторы выражают благодарность доцентам кафедры ТМОМ ЯГПУ им. К.Д. Ушинского Татьяне Николаевне Карповой и Ирине Николаевне Муриной за оказанную помощь при написании пособия.

Тема1. СОДЕРЖАНИЕ И ЗАДАЧИ ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ

В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ. ХАРАКТЕРИСТИКА

АЛЬТЕРНАТИВНЫХ УЧЕБНИКОВ

Алгебра как наука и алгебра как учебный предмет

Итак, операции, с помощью которых решались уравнения, дали название самой науке алгебре. Отсюда можно сделать вывод, что первоначально основным содержанием алгебры, которая у Ал-Хорезми выделилась в самостоятельную науку, было учение об уравнениях, которое оставалось основным направлением алгебры вплоть до 19 века.

Развитие теории и техники решения уравнений постепенно привело к возникновению новых понятий и целых разделов алгебры. Так, появилась и все более совершенствовалась буквенная символика. Ее использование позволило придать всем алгебраическим рассуждениям полную общность, поскольку они оставались справедливыми, независимо от того, какие именно числа обозначались той или иной буквой. Решение уравнений потребовало расширения понятия о числе, вплоть до построения поля комплексных чисел, параллельно с чем развивалось понятие об алгебраической операции, алгебраической функции и так далее. В данном случае теории, игравшие первоначально лишь вспомогательную роль при решении уравнений, оказались настолько плодотворными, как в самой математике, так и в области ее приложений, что совершенно изменили содержание алгебры как науки. Они и составляют предмет современной алгебры. В данном случае речь идёт о следующих теориях: теория групп, теория Галуа, теория полей и колец, линейная алгебра, теория алгебраических чисел и др.

Цели преподавания и содержание курса алгебры основной школы

1. Пропедевтический курс (5—6 классы). Основными задачами курса математики 5-6 классов являются обобщение и развитие на новом материале полученных в начальной школе знаний, умений и навыков, а также проведение пропедевтического обучения с целью подготовки учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии.

Содержание курса 5-6 классов есть синтез учения о числе, учения об уравнениях и наглядной геометрии.

Основная линия программы - числовая. В результате освоения курса учащиеся должны научиться работать с натуральными и целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями. При изучении пропедевтических вопросов алгебры они получают представление об использовании букв для записи свойств чисел и простейших тождеств, познакомиться с преобразованиями буквенных выражений. Кроме того, им необходимо овладеть алгоритмом решения простейших уравнений; ознакомиться с методами решения текстовых задач методом уравнений. Однако следует помнить, что арифметические методы решения задач должны быть усвоены учащимися, так как для овладения общими методами решения ребенку нужно пройти школу развития содержательного мышления на простых типовых задачах, решаемых арифметическими методами.

Работая над каким-либо конкретным вопросом в 5 - 6 классах, учитель должен отчетливо представлять себе его место в школьном курсе математики, видеть перспективу его развития в дальнейшем, следовательно, необходимо правильно распределить требования к изучаемому материалу. Есть вопросы программы 5-6 классов[1], без знания которых ученику будет трудно продвигаться в дальнейшем, значит надо добиваться, чтобы ученики усвоили их прочно сразу, так как специального изучения этих вопросов на новой основе программой не предусмотрено. Но есть вопросы, к изучению которых ученики будут возвращаться на новой основе, как, например, уравнения. При изучении их в 5-6 классах идет постепенное формирование знаний и навыков учащихся.

2. Систематический курс (7-9 классы). Современный школьный курс алгебры представляет собой единую систему, как в отношении его научной основы, так и в отношении основных методических подходов к его изложению. Основной задачей систематического курса алгебры основной школы является формирование базовых алгебраических знаний в тесной связи с их применением к решению задач. Особое внимание уделяется практической направленности - формированию практически важных алгебраических навыков и, прежде всего, умению перевести конкретную задачу на язык математики, то есть построению математической модели задачи, а также совершенствованию вычислительных навыков.

При этом систематический курс характеризуется повышением теоретического уровня обучения, постепенным усилением теоретических обобщений и дедуктивных заключений.

По содержанию весь курс школьной алгебры группируется вокруг компактной системы стержневых линий:

- Развитие понятия о числе.

- Уравнения и неравенства

- Элементы математического анализа.

- развития понятий (логическая линия),

- формально-оперативная (обозначения, техника буквенных преобразований, в том числе и техника решения уравнений),

- содержательно-прикладная (текстовые, в том числе технические, физические, геометрические задачи,

- вычислительно-графическая (составление таблиц, схем, построение графиков).

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.005)

1.1. Алгебра как наука и алгебра как учебный предмет

Относительно вида алгебраической структуры см. Алгебра над полем. Для использования в других целях см. Алгебра (значения).

В квадратичная формула выражает решение уравнения топор 2 + bx + c = 0 , куда а не равно нулю, с точки зрения его коэффициентов а, б и c .

Элементарная алгебра отличается от арифметика в использовании абстракций, таких как использование букв для обозначения чисел, которые либо неизвестны, либо могут принимать множество значений. [5] Например, в Икс + 2 = 5 письмо Икс неизвестно, но применяется аддитивное обратное может раскрыть свою ценность: Икс = 3 . В E = MC 2 , письма E и м переменные, а буква c это постоянный, скорость света в вакууме. Алгебра дает методы написания формул и решения уравнений, которые намного яснее и проще, чем старый метод написания всего словами.

Математика, занимающегося алгеброй, называют математиком. алгебраист.

Содержание

Этимология

Алгебра как раздел математики

Алгебра началась с вычислений, аналогичных вычислениям арифметика, с буквами, обозначающими цифры. [5] Это позволяло доказывать истинность свойств независимо от числа используемых. Например, в квадратное уровненеие

До XVI века математика была разделена только на две части: арифметика и геометрия. Несмотря на то, что некоторые методы, которые были разработаны намного раньше, могут рассматриваться в настоящее время как алгебра, появление алгебры и, вскоре после этого, исчисление бесконечно малых поскольку подполя математики относятся только к XVI или XVII веку. Со второй половины XIX века появилось много новых областей математики, в большинстве из которых использовались как арифметика, так и геометрия, и почти во всех использовалась алгебра.

История

Ранняя история алгебры

Корни алгебры уходят корнями в древние Вавилоняне, [9] которые разработали передовую арифметическую систему, с помощью которой они могли выполнять вычисления в алгоритмический мода. Вавилоняне разработали формулы для расчета решений проблем, которые сегодня обычно решаются с помощью линейные уравнения, квадратные уравнения, и неопределенные линейные уравнения. Напротив, большинство Египтяне этой эпохи, а также Греческий и Китайская математика в 1-м тысячелетии до н. э. такие уравнения обычно решались геометрическими методами, например, описанными в Математический папирус Райнда, Евклида Элементы, и Девять глав математического искусства. Геометрические работы греков, представленные в Элементы, обеспечил основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения конкретных задач, в более общие системы постановки и решения уравнений, хотя это не будет реализовано до тех пор, пока математика развивалась в средневековом исламе. [10]

Ко времени ПлатонГреческая математика претерпела коренные изменения. Греки создали геометрическая алгебра где термины были представлены сторонами геометрических объектов, обычно линиями, с которыми были связаны буквы. [5] Диофант (3 век нашей эры) был Александрийский Греческий математик и автор серии книг под названием Арифметика. Эти тексты посвящены решению алгебраические уравнения, [11] и привели, в теория чисел к современному представлению о Диофантово уравнение.

Более ранние традиции, о которых говорилось выше, оказали прямое влияние на персидского математика Мухаммада ибн Муса аль-Хваризми (ок. 780–850). Позже он написал Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки, который установил алгебру как математическую дисциплину, независимую от геометрия и арифметика. [12]

В Эллинистический математики Герой Александрии и Диофант [13] а также Индийские математики Такие как Брахмагупта продолжал традиции Египта и Вавилона, хотя Диофант Арифметика и Брахмагупты Брахмаспхунасиддханта находятся на более высоком уровне. [14] [ нужен лучший источник ] Например, первое полное арифметическое решение, написанное словами вместо символов, [15] включая нулевые и отрицательные решения, квадратных уравнений был описан Брахмагуптой в его книге Брахмаспхутасиддханта, опубликовано в 628 году нашей эры. [16] Позже персидские и арабские математики развили алгебраические методы до гораздо более высокой степени сложности. Хотя Диофант и вавилоняне использовали в основном особые для этого случая методы решения уравнений, вклад Аль-Хорезми был фундаментальным. Он решил линейные и квадратные уравнения без алгебраической символики, отрицательные числа или же нуль, поэтому ему пришлось различать несколько типов уравнений. [17]

Современная история алгебры

Итальянский математик Джироламо Кардано опубликовал решения кубический и уравнения четвертой степени в его книге 1545 года Ars magna.

Франсуа Виетработает над новая алгебра в конце 16 века это был важный шаг к современной алгебре. В 1637 г. Рене Декарт опубликовано La Géométrieизобретая аналитическая геометрия и введение современных алгебраических обозначений. Другим ключевым событием в дальнейшем развитии алгебры стало общее алгебраическое решение кубических и квартичных уравнений, разработанное в середине 16 века. Идея детерминант был разработан Японский математик Секи Коува в 17 веке, а затем независимо Готфрид Лейбниц десять лет спустя для решения систем одновременных линейных уравнений с использованием матрицы. Габриэль Крамер также работал над матрицами и детерминантами в 18 веке. Перестановки изучались Жозеф-Луи Лагранж в его статье 1770 г. "Réflexions sur la résolution algébrique des équations " посвященный решениям алгебраических уравнений, в которые он ввел Резольвенты Лагранжа. Паоло Руффини был первым, кто разработал теорию группы перестановок, и, как и его предшественники, также в контексте решения алгебраических уравнений.

Абстрактная алгебра был разработан в 19 веке из-за интереса к решению уравнений, первоначально сосредоточившись на том, что сейчас называется Теория Галуа, и дальше конструктивность вопросы. [34] Джордж Пикок был основоположником аксиоматического мышления в арифметике и алгебре. Огастес Де Морган обнаруженный алгебра отношений в его Программа предлагаемой системы логики. Джозайя Уиллард Гиббс разработал алгебру векторов в трехмерном пространстве, и Артур Кэли разработал алгебру матриц (это некоммутативная алгебра). [35]

Области математики, в названии которых есть слово алгебра

ложный

истинный

Многие математические конструкции называются алгебры:

и F-коалгебра

, булева алгебра с делениями расширена инволюцией, называемой обратной. , а дополненраспределительная решетка.

Элементарная алгебра

Обозначение алгебраических выражений:
1 - степень (показатель степени)
2 - коэффициент
3 - срок
4 - оператор
5 - постоянный член
Икс у c - переменные / константы

Элементарная алгебра это самая основная форма алгебры. Он преподается студентам, которые предположительно не знают математика за пределами основных принципов арифметика. В арифметике только числа и их арифметические операции (такие как +, -, ×, ÷). В алгебре числа часто представлены символами, называемыми переменные (Такие как а, п, Икс, у или же z). Это полезно, потому что:

Полиномы

А многочлен является выражение то есть сумма конечного числа ненулевых термины, каждый член, состоящий из произведения константы и конечного числа переменные в степени целого числа. Например, Икс 2 + 2Икс - 3 - многочлен от одной переменной Икс. А полиномиальное выражение представляет собой выражение, которое можно переписать в виде полинома, используя коммутативность, ассоциативность и распределенность сложения и умножения. Например, (Икс − 1)(Икс + 3) является полиномиальным выражением, которое, собственно говоря, не является полиномом. А полиномиальная функция - функция, которая определяется полиномом или, что то же самое, полиномиальным выражением. Два предыдущих примера определяют одну и ту же полиномиальную функцию.

Две важные и связанные проблемы алгебры: факторизация многочленов, то есть выражение данного многочлена как произведение других многочленов, которые не могут быть подвергнуты дальнейшему разложению, и вычисление полиномиальные наибольшие общие делители. Пример полинома выше можно разложить на множители как (Икс − 1)(Икс + 3). Связанный с этим класс проблем - это поиск алгебраических выражений для корни полинома от одной переменной.

Образование

Было предложено преподавать элементарную алгебру ученикам в возрасте одиннадцати лет. [36] хотя в последние годы в Соединенных Штатах чаще публичные уроки начинаются в восьмом классе (≈ 13 лет ±). [37] Однако в некоторых школах США алгебру изучают в девятом классе.

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра расширяет знакомые концепции элементарной алгебры и арифметика из числа к более общим понятиям. Вот перечисленные фундаментальные понятия абстрактной алгебры.

Наборы: Вместо того, чтобы просто рассматривать различные типы числаабстрактная алгебра имеет дело с более общим понятием наборы: набор всех объектов (называемых элементы) выбирается по свойству, специфичному для набора. Все наборы знакомых типов чисел являются наборами. Другие примеры наборов включают набор всех два на два матрицы, набор всех второй степени многочлены (топор 2 + bx + c) множество всех двумерных векторов в самолете, и различные конечные группы такой как циклические группы, которые представляют собой группы целых чисел по модулю п. Теория множеств это филиал логика и технически это не раздел алгебры.

Бинарные операции: Понятие добавление (+) абстрагируется, чтобы дать бинарная операция, ∗ говорят. Понятие двоичной операции бессмысленно без набора, на котором операция определена. Для двух элементов а и б в комплекте S, а ∗ б - еще один элемент в наборе; это состояние называется закрытие. Добавление (+), вычитание (−), умножение (×) и разделение (÷) могут быть двоичными операциями, если они определены на разных наборах, как и сложение и умножение матриц, векторов и многочленов.

Элементы идентичности: Числа ноль и единица абстрагируются, чтобы дать понятие элемент идентичности на операцию. Ноль - это тождественный элемент для сложения, а единица - тождественный элемент для умножения. Для общего бинарного оператора ∗ единичный элемент е должен удовлетворить а ∗ е = а и е ∗ а = а, и обязательно уникален, если он существует. Это справедливо для сложения как а + 0 = а и 0 + а = а и умножение а × 1 = а и 1 × а = а. Не все наборы и комбинации операторов имеют элемент идентичности; например, набор положительных натуральных чисел (1, 2, 3, . ) не имеет единичного элемента для сложения.

Обратные элементы: Отрицательные числа дают начало концепции обратные элементы. Кроме того, обратное а написано -а, а для умножения обратное записывается а −1 . Общий двусторонний обратный элемент а −1 удовлетворяет тому свойству, что а ∗ а −1 = е и а −1 ∗ а = е, куда е является элементом идентичности.

Ассоциативность: Сложение целых чисел имеет свойство, называемое ассоциативностью. То есть группировка добавляемых чисел не влияет на сумму. Например: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . В общем, это становится (а ∗ б) ∗ c = а ∗ (б ∗ c). Это свойство является общим для большинства бинарных операций, но не для вычитания, деления или умножение октониона.

Коммутативность: Сложение и умножение действительных чисел коммутативны. То есть порядок цифр не влияет на результат. Например: 2 + 3 = 3 + 2. Как правило, это становится а ∗ б = б ∗ а. Это свойство сохраняется не для всех бинарных операций. Например, матричное умножение и умножение кватернионов оба некоммутативны.

Группы

Объединение вышеуказанных концепций дает одну из наиболее важных структур в математике: группа. Группа - это комбинация набора S и один бинарная операция ∗, определяемый любым способом, но со следующими свойствами:

Элемент идентичности е существует, так что для каждого члена а из S, е ∗ а и а ∗ е оба идентичны а.
У каждого элемента есть обратное: для каждого члена а из S, существует член а −1 такой, что а ∗ а −1 и а −1 ∗ а оба идентичны элементу идентичности.
Операция ассоциативная: если а, б и c являются членами S, тогда (а ∗ б) ∗ c идентичен а ∗ (б ∗ c).

Если группа также коммутативный - то есть для любых двух членов а и б из S, а ∗ б идентичен б ∗ а - тогда группа называется абелевский.

Например, набор целых чисел при операции сложения - это группа. В этой группе единичный элемент равен 0, а инверсия любого элемента а это его отрицание, -а. Требование ассоциативности выполняется, потому что для любых целых чисел а, б и c, (а + б) + c = а + (б + c)

Ненулевой рациональное число образуют группу при умножении. Здесь единичный элемент равен 1, поскольку 1 × а = а × 1 = а для любого рационального числа а. Обратное а равно 1 /а, поскольку а × 1/а = 1.

Однако целые числа при операции умножения не образуют группу. Это потому, что, как правило, мультипликативная обратная величина целого числа не является целым числом. Например, 4 - это целое число, но его мультипликативная обратная величина -, которая не является целым числом.

Теория групп изучается в теория групп. Основным результатом этой теории является классификация конечных простых групп, в основном опубликованные между 1955 и 1983 годами, что разделяет конечный простые группы примерно на 30 основных типов.

Полугруппы, квазигруппы, и моноиды структура аналогична группам, но более общая. Они состоят из набора и закрытой бинарной операции, но не обязательно удовлетворяют другим условиям. А полугруппа имеет ассоциативный бинарная операция, но может не иметь идентификационного элемента. А моноид - это полугруппа, которая имеет идентичность, но может не иметь инверсии для каждого элемента. А квазигруппа удовлетворяет требованию, чтобы любой элемент мог быть превращен в любой другой либо единственным умножением слева, либо умножением справа; однако бинарная операция может быть не ассоциативной.

Все группы являются моноидами, а все моноиды - полугруппами.

Примеры

Набор	Натуральные числа N		Целые числа Z		Рациональное число Q (также настоящий р и сложный C числа)				Целые числа по модулю 3: Z₃ =
Операция	+	× (без нуля)	+	× (без нуля)	+	−	× (без нуля)	÷ (без нуля)	+	× (без нуля)
Закрыто	да	да	да	да	да	да	да	да	да	да
Личность	0	1	0	1	0	Нет данных	1	Нет данных	0	1
Обратный	Нет данных	Нет данных	−а	Нет данных	−а	Нет данных	1/а	Нет данных	0, 2, 1 соответственно	N / A, 1, 2 соответственно
Ассоциативный	да	да	да	да	да	Нет	да	Нет	да	да
Коммутативный	да	да	да	да	да	Нет	да	Нет	да	да
Структура	моноид	моноид	абелева группа	моноид	абелева группа	квазигруппа	абелева группа	квазигруппа	абелева группа	абелева группа (Z₂)

Кольца и поля

У групп всего одна бинарная операция. Чтобы полностью объяснить поведение различных типов чисел, необходимо изучить структуры с двумя операторами. Наиболее важные из них кольца и поля.

А звенеть имеет две бинарные операции (+) и (×), причем × дистрибутивна над +. Под первым оператором (+) образует абелева группа. Под вторым оператором (×) он ассоциативен, но не должен иметь тождества или обратного, поэтому деление не требуется. Аддитивный (+) единичный элемент записывается как 0, а аддитивный инверсный элемент а записывается как -а.

Распределительность обобщает распределительный закон для чисел. Для целых чисел (а + б) × c = а × c + б × c и c × (а + б) = c × а + c × б, и × называется распределительный более +.

Целые числа являются примером кольца. У целых чисел есть дополнительные свойства, которые делают их область целостности.

А поле это звенеть с дополнительным свойством, что все элементы, за исключением 0, образуют абелева группа под ×. Мультипликативное (×) тождество записывается как 1, а мультипликативное обратное к а записывается как а −1 .

Рациональные числа, действительные числа и комплексные числа - все это примеры полей.

История появления алгебры как науки уходит в далекие недра древности. Именно тогда была заложена база проведения обобщающих арифметических операций. Этот раздел можно охарактеризовать как продолжение арифметики, когда числовые значения заменяются буквенными символами. Происходит работа с элементами множеств для обобщения обычных операций сложения и вычитания.

Классификация раздела

Алгебра является разделом математики. Она классифицируется на несколько видов:

Элементарная. В этом разделе все числовые значения (как постоянные, так и переменные) обозначаются буквами.
Общая. Занимается изучением целых систем, которые включают в себя алгебраические структуры в виде полей.
Универсальная. Является только подразделом науки. Занимается изучением общих свойств алгебраических систем.
Линейная. В этот раздел входят векторные и линейные пространства.

Каждый из этих разделов решает определенные задачи. При этом наука не стоит на месте и продолжает развитие.

Древняя история

Информация об истории возникновения алгебры связывается с древними рукописями. В те времена появилось понятие о натуральных числах, с которыми можно было проводить арифметические операции. Такая потребность возникла в связи с проведением астрономических и других видов расчетов. Изучая историю алгебры, становится понятно, что ее зарождение произошло в античной Греции.

Информация об ученом содержится только в одном историческом труде, поэтому сказать точно, что математик создал алгебру, невозможно. К тому же этот источник дошел до нынешних времен не в полном объеме.

Продвижение на Восток

При этом существуют гипотезы, что мусульманский мир опирался в своих изучениях на европейские достижения. В некоторых их летописях присутствуют фамилии греческих последователей Диофанта, приводятся их высказывания относительно этой науки.

Вклад других стран

Основателем алгебры считается Ала-Хорезми, но особого развития она у арабов она получила. Однако именно они изобрели на своем языке арабские цифры, которые применяются в современном мире. Существенный вклад в развитие науки внесли представители и других стран. Кратко их достижения выражаются в следующем:

Индия. Вклад индийцев заключается в том, что они ввели такое понятие, как ноль, который стал впоследствии использоваться арабами и европейцами.
Китай. Эта страна внесла весомый вклад в раздел математики тем, что научилась проводить операции с отрицательными и иррациональными числами.
Вавилон. Хоть местные математики не умели обращаться с отрицательными числами, они научились решать квадратные уравнения.

Таким образом, в развитии этого раздела принимали участие многие страны мира. Их исследовательские работы вносили общий вклад в становление алгебры.

Под конец XVI века эта часть математики снова возвращается в Европу, откуда она взяла свое начало. Этому способствовало купечество, разъезжающее по всему свету и знакомившееся с математикой. Дальнейший толчок произошел после распада феодальной системы. Страны, ставшие на капиталистический путь развития, уже не могли обойтись без алгебраических действий.

Алгебра относится к наиболее интересным наукам, которые изучаются учениками школ и студентами вузов. Учащиеся постоянно пишут рефераты и готовят доклады на различные темы, относящиеся к этому разделу математики. В дальнейшем они зачитывают свои работы на уроках.

Читайте также: