Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников кратко

Обновлено: 30.06.2024

свойства площадей у многоугольников:
1) возьмем 2 многоугольника, они одинаковы, значит их площадь тоже одинакова
2) если разить многоугольник, то он сам может состоять из нескольких многоугольников. Общая сумма разбитых многоугольников равно самому многоугольнику

Как написать хороший ответ? Как написать хороший ответ?

Написать правильный и достоверный ответ;
Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

1. Площадь многоугольника существует.

2. Каждому многоугольнику можно поставить в соответствие некоторое положительное число (площадь) так, что выполняются следующие условия : - Равные многоугольники имеют равные площади - Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

- Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна одной единице измерения площади.

Формулы площади треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

3) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

4) Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности.

5) Формула Герона.

Где р - полупериметр треугольника р = (а + b + c) / 2

Формулы площади параллелограмма.

1) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

2) Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.

3) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

4) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Можно ли доказать основные свойства площади многоугольника : 1) равные многоугольники имеют равные площади 2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме пло?

Можно ли доказать основные свойства площади многоугольника : 1) равные многоугольники имеют равные площади 2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников 3) площадь квадрата равна квадрату его стороны?

Или это не надо доказывать?

Сформулируйте основные свойства точек и прямых?

Сформулируйте основные свойства точек и прямых.

Сформулируйте определение квадрата, основные свойства площадей?

Сформулируйте определение квадрата, основные свойства площадей.

Сформулируйте основные свойства прямоугольника?

Сформулируйте основные свойства прямоугольника.

Сформулируйте основные свойства измерения отрезков СРОЧНО?

Сформулируйте основные свойства измерения отрезков СРОЧНО!

Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых?

Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.

Основные свойства площади многоугольника?

Основные свойства площади многоугольника.

Сформулируйте основное свойство параллельных прямых?

Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.

Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число?

Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Как вычислить площадь многоугольника , использую свойства площади?

Вы находитесь на странице вопроса Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников? из категории Геометрия. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 - 9 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

1) Смотри. Рисунок я тебе отправлю. Угол АКМ равен углу КМС как накрест лежащие при параллельных ВС и АК и секущей МК. Угол КМС равен 180 - 146 = 34 градуса. Значит, угол АКС равен 34 * 2 = 68 градусов. И угол АВС равен 68, т. К. в параллелогра..

Так , AB = BC = CD = DA . Следовательно Угол 1 = 2 = 3 = 4.

Отрезок расположить в окружности, провести высоту от окружности к середине отрезка. После этого соединить концы отрезка с точкой высоты, находящейся на окружности.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов если катет а = 21 см катет b = x гипотенуза c = ( x + 7 ), отсюда следует (х + 7) ^ 2 = 21 ^ 2 + x ^ 2 x ^ 2 + 14x + 49 - 441 - x ^ 2 = 0 14x = 392 x = 28 (см) - катет b 28 + 7 = 35 (см) - гипотенуза с..

Измерение площади связано со сравнением занимаемой части плоскости с некими единицами измерения площади.

За единицу измерения площади принимаем квадрат, сторона которого — единица измерения отрезков, и называют это квадратной единицей измерения.

При необходимости большую квадратную единицу измерения площади разбивают на меньшие квадратные единицы измерения площади, например:

1 см 2 = 10 мм ⋅ 10 мм = 100 мм 2 ; 1 м 2 = 100 см ⋅ 100 см = 10000 см 2 ; 1 км 2 = 100000 см ⋅ 100000 см = 10000000000 см 2 .

2. Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников (которые не перекрываются), то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной \(1\) см, \(1\) мм и т.д. (единичный квадрат). Тогда площадь будет измеряться в см \(^2\) , мм \(^2\) соответственно.

Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры — это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре.

Свойства площади

1. Площадь любого многоугольника — величина положительная.

2. Равные многоугольники имеют равные площади.

3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

4. Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\) .

Теорема: площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(S=ab\) .

Доказательство

Достроим прямоугольник \(ABCD\) до квадрата со стороной \(a+b\) , как показано на рисунке:

Данный квадрат состоит из прямоугольника \(ABCD\) , еще одного равного ему прямоугольника и двух квадратов со сторонами \(a\) и \(b\) . Таким образом,

Определение

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота \(BK\) падает на сторону \(AD\) , а высота \(BH\) — на продолжение стороны \(CD\) :

Теорема: площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство

Проведем перпендикуляры \(AB'\) и \(DC'\) , как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма \(ABCD\) .

Тогда \(AB'C'D\) – прямоугольник, следовательно, \(S_=AB'\cdot AD\) .

Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB'\) и \(DCC'\) равны. Таким образом,

Определение

Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство

Пусть \(S\) – площадь треугольника \(ABC\) . Примем сторону \(AB\) за основание треугольника и проведём высоту \(CH\) . Докажем, что \[S = \dfracAB\cdot CH.\] Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:

Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам ( \(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\) ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь \(S\) треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\) , то есть \(S = \dfracAB\cdot CH\) .

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_2B_2C_2\) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство

Пусть \(\angle A=\angle A_2\) . Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка \(A\) совместилась с точкой \(A_2\) ):

Проведем высоты \(BH\) и \(C_2K\) .

Треугольники \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имеют одинаковую высоту \(C_2K\) , следовательно: \[\dfrac>>=\dfrac\]

Треугольники \(ABC_2\) и \(ABC\) имеют одинаковую высоту \(BH\) , следовательно: \[\dfrac>>=\dfrac\]

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Пусть \(p\) – полупериметр треугольника, \(a\) , \(b\) , \(c\) – длины его сторон, тогда его площадь равна \[S_=\sqrt\]

Замечание

Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Теорема

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) . Обозначим \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:

\(\begin S_=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end\)

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S_>=\dfrac12 d_1\cdot d_2\]

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) . Проведем \(CD'\parallel AB\) , как показано на рисунке:

Тогда \(ABCD'\) – параллелограмм.

Проведем также \(BH'\perp AD, CH\perp AD\) ( \(BH'=CH\) – высоты трапеции).

Тогда \(S_=BH'\cdot AD'=BH'\cdot BC, \quad S_=\dfrac12CH\cdot D'D\)

Т.к. трапеция состоит из параллелограмма \(ABCD'\) и треугольника \(CDD'\) , то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:

\[S_=S_+S_=BH'\cdot BC+\dfrac12CH\cdot D'D=\dfrac12CH\left(2BC+D'D\right)=\] \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD'+D'D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Читайте также: