Сформулируйте определение числовой функции одной переменной кратко

Обновлено: 04.07.2024

В жизни мы часто исследуем не только сами объекты, но и отношения между ними (Петя дружит с Васей; платок лежит на столе, платок лежит под столом и т.д.). Эти отношения можно изучать. Об одном из таких отношений – соответствии между множествами – мы и поговорим на этом уроке.

Такие соответствия, если они удовлетворяют определенным условиям, называются функциями. В математике основное внимание уделяется числовым функциям, то есть соответствиям между числовыми множествами. Мы поговорим об области определения и области значений функции, какие существуют способы задания функций, рассмотрим примеры различных функций.

В п.1.1 определена функция — отображение множества в (на) множество . Если в этом определении в качестве рассматриваемых множеств взять множества действительных чисел ~\subseteq R" width="111" height="18" />
и ~\subseteq R" width="108" height="18" />
, то полученная при этом функция называется действительной функцией действительного переменного, которая для краткости в дальнейшем будет называться просто функцией одной переменной и обозначаться

$y = f(x), ~x\in X. $$(2.1)$

Кроме буквы для обозначения функций, как было сказано выше, будут использованы и другие буквы, например, и дp.

Другими буквами могут обозначаться также множества , и их элементы.

$X\stackrel<f> Обращение к записи (2.1) объясняется тем, что в различных аналитических преобразованиях проще пользоваться ею, чем или <\longrightarrow>Y$
. При этом говорят, что функция ставит в соответствие числу число или число соответствует числу .

$\<y\in R|~y=f(x)\> Множество называют областью определения функции , — независимой переменной (или аргументом); множество$
— множеством значений функции, а — зависимой переменной.

Область определения функции иногда обозначают через " width="23" height="18" />
, а множество ее значений — через " width="21" height="18" />
.

Функции " width="136" height="20" />
, и " width="134" height="20" />
, называются равными на множестве \cap D_" width="103" height="18" />
, если и пишут .

Приведем некоторые примеры функций с использованием введенных выше обозначений.

$( D_ = R, ~~E_ = R ).$

$2. ~y = \sqrt<1 - x^<2> >, $~x\in [ -1, 1 ]$
,

$( D_ = [ -1, 1 ], ~~E_ = [ 0, 1 ] ).$

$(D_ = N, $E_ = \< 1, 2, 6, 24. n. \>;$

, (читается: « равен антье «- от французского — целый ). Эта функция каждому ставит в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее
и т.д.

Отметим, что функции, у которых всем значениям соответствует одно и тоже число, т.е. функции, у которых при изменении значений аргумента значение функции не меняется, называются постоянными( на множестве ).

Функция, областью определение которой является множество натуральных чисел

называется функцией натурального аргумента или последовательностью, а значения этой функции — членами (элементами) последовательности.

Члены последовательности обычно располагают в порядке возрастания аргумента:

$y_<1> = f(1), ~y_ = f(2),~. ~, ~y_ = f(n). $$(2.2)$

=f(1)" width="73" height="18" />
~называется первым членом последовательности, = f(2)" width="73" height="18" />
— вторым членом и т.д. = f(n)" width="76" height="18" />
называется -м или общим членом последовательности. Сокращенно последовательность (2.2) обозначают символом \>" width="34" height="18" />
.

Примеры последовательностей

$1. ~~\<y_<n> \> = \< n! \>$
.

$y_<1> = 1! = 1, ~~y_ = 2! = 2, ~~y_ = 3! = 6, ~~y_ = 4! = 24.$

$2. ~~\<y_<n> \> = \ < 1/n^\>$
.

$y_<1> = 1, ~~y_ = 1/2^ = 1/4, ~~y_ = 1/3^ = 1/9.$

$3. ~~y_ = \ < (-1)^\>$
.

$y_<1> = -1, ~~y_ = 1, ~~y_ = -1, ~~y_ = 1.$

Функция одной переменной

Функцией называют такую зависимость переменной от переменной , при которой каждому допустимому значению соответствует единственное значение . Переменную называют независимой переменной или аргументом функции , а переменную – зависимой от переменной или значением функции .

Уравнение задает функцию явно , а уравнение задает функцию неявно . Чтобы задать функцию явно, необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую.

Множество всех допустимых значений переменной образуют область определения функции. Область определения функции обозначают .

Множество всех допустимых значений переменной образуют область значений функции . Область значений функции обозначают .

Например, область определения функции " />
составляют числа, принадлежащие промежутку , а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку .

Графиком функции называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Функция возрастает на промежутке , если для любых " />
и " />
, принадлежащих промежутку , из неравенства следует неравенство (рис. 5.1).

Функция убывает на промежутке , если для любых " />
и " />
, принадлежащих промежутку , из неравенства следует неравенство (рис. 5.2).

Функция называется монотонной , если она либо только возрастает, либо только убывает на .

Говорят, что числовое множество симметрично относительно точки (начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только противоположные элементы.

Например, числовые множества , , – симметричные, а множества , и – не симметричные.

Функция называется четной , если – симметричное множество относительно начала отсчета и . График четной функции симметричен относительно оси .

Функция называется нечетной , если – симметричное множество относительно начала отсчета и . График нечетной функции симметричен относительно точки .

Функция называется периодической , если существует такое число , при котором для всех из области определения функции выполняется равенство .

Например, тригонометрические функции , , и являются периодическими, так как выполняются равенства: , , и , где .

Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на основном (наименьшем) периоде и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо. Например, рассмотрим функцию " />
. Заметим, что запись обозначает наибольшую целую часть некоторого числа, не превосходящую это число, а запись " />
обозначает его дробную часть. Так, например, ,=0" />
, , =0,2" />
, , =0,8" />
. Тогда функция " />
является периодической с основным периодом, равным . На рисунке 5.3 построен график этой функции на ее основном периоде , а на рисунке 5.4 построен график этой функции на нескольких периодах.

Точки пересечения графика функции с осью абсцисс называют нулями функции .

Чтобы найти нули функции необходимо решить уравнение .

Функция обратима , т. е. имеет обратную функцию (x)" />
, если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения.

Функции и (x)" />
образуют пару взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции обладают следующими свойствами :

1) область определения функции является областью значений функции (x)" />
, а область значений функции является областью определения функции (x)" />
, т.е. )" />
, )" />
;

2) если функция монотонно возрастает (убывает), то и функция (x)" />
возрастает (убывает);

3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .

Чтобы найти функцию обратную функции необходимо решить уравнение относительно переменной и в этом уравнении заменить на , а заменить на .

Рассмотрим две функции и . Функцию вида называют сложной функцией .

Например, если " />
, а " />
, то >" />
.

Выразив переменную через переменную , получим:

=1-4x" />
, =0,5-2x" />
, " />
.

Не всякое равенство, содержащее переменные, является функцией. Например, уравнение окружности+y^=R^" />
нельзя считать функцией, так как каждому значению соответствует два значения .

Сформулируйте определение числовой функции одной переменной.

Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х).

Это и есть определение.