Расширение содержания современного школьного курса геометрии

Обновлено: 06.07.2024

Выступление на заседании районного методического объединения учителей математики Центрального района города Челябинска. Прилагается к выступлению презентация.

ВложениеРазмер
preemstvennost_soderzhaniya_geometricheskoy_linii_v_shkolnom_kurse_matematiki.rar 822.41 КБ

Предварительный просмотр:

Преемственность содержания геометрической линии в школьном курсе математики

Выполнил Казак Вадим Михайлович, учитель математики МАОУ СОШ №147 города Челябинска

Основными целями школьного математического образования становятся интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе; овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования; воспитание личности в процессе освоения математики, формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности. Реализация названных целей вызывает необходимость в обновлении системы школьного математического образования, которая призвана обеспечить гармоничное сочетание интересов личности и общества.

Основными задачами преподавания геометрии в школе являются:

  1. изучение пространственных форм;
  2. развитие пространственного воображения;
  3. воспитания правильного логического мышления;
  4. привитие практических навыков, включая сюда и умение решать различные геометрические задачи теоретического характера, так и умение применять свои знания к решению вопросов практики.

Изучение курса геометрии начинается в 1-4-х классах на интуитивной основе с привлечением элементов дедуктивных рассуждений. Теоретический материал излагается на наглядно-интуитивном уровне, важнейшие методы и законы формулируются в виде правил.

Учащиеся 1 - 4-х классов должны уметь:

Распознавать и изображать (на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки) простейшие геометрические фигуры (точка, отрезок, ломаная, окружность, круг, многоугольник);

  1. измерять длину отрезка, ломаной;
  2. строить отрезок данной длины;
  3. вычислять периметр и площадь многоугольника.

Учащиеся 5 — 6-х классов должны знать:

  1. отрезок, прямая, луч, угол, треугольник, многоугольник, окружность, круг;
  2. перпендикуляр к прямой;
  3. прямой угол;
  4. параллельные прямые;
  1. куб, прямоугольный параллелепипед, шар. Примеры величин:
  2. длина, площадь, объем, градусная мера угла.
  3. единицы измерения длин, площадей, объемов и углов;
  4. масштаб;
  5. измерение отрезков и углов;
  6. площадь прямоугольника;
  7. объем прямоугольного параллелепипеда;
  8. формулы длины окружности и площади круга.
  1. линейка,
  2. угольник,
  3. транспортир,
  4. циркуль.

Построение отрезков и углов заданной величины. Построение перпендикуляра к прямой и параллельных прямых с помощью угольника и линейки.

Таким образом, к началу изучения систематического школьного курса геометрии учащиеся, усвоившие программный материал, на наглядно-интуитивном уровне, знают целый ряд геометрических фигур и умеют их распознавать и изображать.

В частности, умеют строить отрезки и углы заданной величин перпендикуляр к прямой, параллельные прямые; измерять отрезки углы; вычислять длину окружности, площадь и периметр прямоугольника, площадь круга, объем прямоугольного параллелепипеда.

Курс геометрии 7 - 9-х классов предусматривает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений учащихся, развитие их логического мышления и подготовку к изучению стереометрии, а также смежных дисциплин (физика, черчение и др.).

Усиливается теоретическая значимость изучаемого материала: расширяются внутренние логические связи курса; повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач, развивается их логическое мышление. Систематическое изложение курса позволяет начать работу по формированию представлений учащихся о строении математической теории. Прикладная направленность курса обеспечивается постоянным обращением к наглядности, в частности к рисункам и чертежам на всех этапах обучения и развитием на этой основе геометрической интуиции учащихся.

Систематическое обращение к примерам из практики развивает у них умение вычленять геометрические формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.

Практическая направленность курса обеспечивается систематическим применением геометрического аппарата для решения задач на вычисление значений геометрических величин, доказательство и построение.

При изучении планиметрии учащиеся получают систематические сведения об основных фигурах на плоскости и их свойствах; знакомятся с геометрическими величинами, характеризующими плоские фигуры, и учатся выполнять соответствующие вычисления; знакомятся с применением аналитического аппарата (элементы тригонометрии и алгебры, векторы и координаты) к решению геометрических задач.

В результате изучения курса планиметрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):

  1. изображать геометрические фигуры, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
  2. решать типовые задачи на вычисление, доказательство и построение, опираясь на теоретические сидения, полученные в курсе;
  3. проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач;
  4. вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства и формулы;
  5. выполнять основные построения циркулем и линейкой;
  6. решать несложные комбинированные задачи, сводящиеся к выполнению основных построений;
  7. применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
  8. использовать векторы и координаты для решения стандартных задач (вычисления длин и углов, сложение векторов и умножение вектора на число).

Цель курса геометрии 10-11-х классов - систематическое изучение свойств геометрических тел в пространстве, развитие пространственных представлений и дальнейшее развитие логического мышления учащихся, усвоение ими способов вычисления практически важных геометрических величин.

Курсу присущ систематизирующий, обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в неполной средней школе.

При доказательстве теорем и решении задач активно используются изученные в курсе планиметрии свойства геометрических фигур, применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. Довольно высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость изложения сочетается со значительной степенью наглядности.

Прикладная направленность обучения обеспечивается применением наглядности на всех этапах учебного процесса, постоянным обращением к опыту учащихся. Важными в практическом плане являются умения изображать известные геометрические тела, вычислять их объемы и площади поверхностей.

При изучении стереометрии учащиеся приобретают систематические сведения об основных видах пространственных тел и их свойствах, знакомятся с теоретическим обоснованием методов изображения пространственных тел на плоскости, овладевают умениями вычислять значения геометрических величин.

В результате изучения курса стереометрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):

  1. изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях задач и теорем, и выделять известные тела на чертежах и моделях;
  2. решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;
  3. проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач, используя теоретические сведения, полученные при изучении планиметрии и стереометрии;
  4. вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применять изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;
  5. применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
  6. использовать координаты и векторы для решения простейших стандартных задач.

В курсе геометрии можно выделить четыре основных содержательных линии:

  1. геометрические фигуры на плоскости;
  2. геометрические величины;
  3. координаты и векторы;
  4. элементы тригонометрии.

Блок знаний каждого конкретного понятия формируется в течение целого ряда уроков, прерываясь, возобновляясь, продолжаясь и снова прерываясь и т.д.

И вновь подошли к этому вопросу, но уже на более высоком уровне: кроме геометрических фигур и их свойств, представленных в той последовательности, в которой они изучаются, выделены и методы геометрии соответствующими блоками знаний, а также основные специфические геометрические линии (равенства фигур, построения и измерения, существования фигур).

Курс геометрии 1 - 6-х классов дал учащимся:

  1. умение узнавать и изображать геометрические фигуры,
  2. строить и измерять отрезки и углы,
  3. вычислять площади и периметр прямоугольника и круга, длину окружности, объем прямоугольного параллелепипеда.

Первый урок по программе 7-го класса продолжает эту систему знаний и умений, открытием геометрии как науки, её аксиоматической основы и дедуктивного построения. Далее работу по обобщению и систематизации проводим, составляя:

Итак, планиметрия завершена. Имеем:

3 понятийных блока:

6 тематических блоков:

4 содержательных блока:

Обратим внимание на основной список тем по геометрии, подлежащей контролю в конце 9 класса на уроках заключительного повторения, а также при прохождении текущего программного материала:

  1. Виды треугольников. Замечательные линии и точки в треугольнике (медиана, средняя линия, высота, биссектриса, серединный перпендикуляр к стороне).
  2. Вписанная и описанная окружности.
  3. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.
  4. Теорема синусов.
  5. Теорема косинусов.
  6. Теорема Пифагора.
  7. Виды четырехугольников. Свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции.
  8. Формулы площадей плоских фигур.
  9. Координатный и векторный методы решения геометрических задач.

Еще два года целенаправленного изучения стереометрии - и школьный курс геометрии завершен.

Следовательно, к началу обобщающего повторения курса геометрии имеем вкладыши (блоки знаний и умений):

Выделим уровни овладения учебным материалом.

Первый уровень – общеобразовательный, гуманитарный . Он включает в себя содержание, которым должен овладеть каждый ученик. В геометрии изучение такого материала идет на наглядном уровне, поэтому мы и называем первый уровень наглядным. В него входят определения понятий, сопровождаемые большим количеством иллюстраций, формулировки теорем, объяснение их смысла на чертежах, простейшие логические выводы. Ученик должен представить себе объект, описать его, решить простую задачу. На этом уровне существенно наглядно – оперативное знание предмета, содержащее наглядные представления и умение правильно ими оперировать.

На втором уровне происходит расширение материала первого уровня , решаются задачи прикладного характера, показывается, как геометрические знания применяются к познанию мира. Этот уровень можно назвать прикладным.
Третий уровень – это существенное углубление материала первого уровня , дается его достаточно полное логическое обоснование. Этот углубленный уровень включает самые трудные доказательства теорем, теоретические задачи. Третий уровень имеет не только проблемный характер, но и творческий характер.

Геометрия как школьный учебный предмет всегда считался одним из самых сложных. В основе умения отыскать путь решения задачи лежат не просто знания, а хорошо организованные, системные знания, при которых усвоены не только отдельные факты, но и связи между ними. Обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий: каждое математическое понятие есть некоторая система свойств и отношений, обладающая всеми признаками системы (целостностью, структурностью и др.). В этом выражается неразрывность двух сторон обучения: усвоение теоретического материала необходимо для успешного решения задач так же, как и решение задач необходимо для сознательного усвоения теорем.

При традиционных методах ведения урока главным носителем информации для ученика выступает учитель. Он требует от ученика концентрации внимания, сосредоточенности, напряжения памяти. Не каждый ученик способен работать в таком режиме. Психологические особенности характера, тип восприятия ребенка становятся причиной неуспешности. При этом современные требования к уровню образованности не позволяют снизить объем информации, необходимой для усвоения. Именно поэтому я предлагаю строить уроки геометрии по нижеперечисленной схеме:

Основное содержание вышеупомянутых этапов описан ниже.

Преподаватели все шире применяют новую структуру учебного процесса, когда усвоение знаний и формирование умений и навыков происходит в результате самостоятельных практических и умственных действий учащихся. Важными элементами учебного процесса становятся создание проблемных ситуаций, поиск и определение путей их решения, сам процесс решения проблем, практическая проверка правильности сделанных выводов.

Чем больше органов чувств задействовано во время учебного процесса, тем лучше запоминается информация. В ходе экспериментов, которые проводил когнитивный психолог Ричард Майер, группы, работавшие в мультисенсорной среде, всегда демонстрировали лучший результат, чем те, кто получал информацию только по одному каналу (например, через слух или зрение).

Большинство специалистов в области информатизации школьного математического образования считают, что использование в учебном процессе компьютерных программ, в первую очередь систем динамической математики, необходима и чрезвычайно полезна. Самостоятельное построение динамической модели математической задачи, поиск и визуализация с помощью этой модели её решения предоставляют среднестатистическому учащемуся дополнительные возможности, позволяющие позиционировать себя не только как стороннего наблюдателя за тем, как ловко работают с формулами учитель и продвинутые ученики, но и активного участника процесса познания математики.

Для реализации этого пункта урока я применяю бесплатную программу GeoGebra, предназначенную для обучения математике. С помощью программы GeoGebra (ГеоГебра) можно обучаться или работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру, другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Учащийся не только лучше усваивает новый материал по данному предмету, но и параллельно практикуется в умении открывать программы, работать с файлами, найти в Интернете информацию и правильно ее использовать (проанализировать, вычленить главное, изложить). Современные учащиеся именно через призму высоких технологий охотнее и яснее воспримут многое из того, что на страницах учебников может казаться попросту скучным.

Основные факторы успеха на ЕГЭ:

  • время (чем больше времени на подготовку, тем лучше);
  • система (работа по плану, а не от случая к случаю);
  • желание подготовиться.

Для того чтобы реализовать все эти факторы успеха, желательно решать трудные задачи на каждом уроке. Такой подход обеспечит нам и экономию времени, и системность, и даже желание решать задачи, что позволяет учащимся не бояться приступать к выполнению этих заданий на экзамене.

К сожалению, многие ученики порой теряются, когда учитель в начале урока напоминает о том, что будет рассмотрена трудная задача. Чтобы предотвратить стресс у учащихся целесообразно применять игровые ситуации. Например, урок подготовить как урок-путешествие, в конце которого нужно найти сокровища. Сокровища они и есть задачи повышенной сложности. Создание игровой ситуации приводит к тому, что дети увлечённые игрой, незаметно для себя и без особого труда и напряжения приобретают определённые знания, умения т навыки при изучении предмета.

Сейчас уже признано, что основными направлениями дальнейшего совершенствования учебного процесса является активизация познавательной деятельности учащихся, развитие их самостоятельности, использование наиболее эффективных форм и методов обучения.


Включение в контрольно- измерительные материалы ЕГЭ и ГИА геометрических заданий базового уровня нацелено на восстановление преподавания геометрии, для привлечения максимума внимания к геометрическому образованию. Результаты ЕГЭ в 2010 году это подтвердили и позволили сделать вывод о том, что из-за отсутствия контроля геометрических знаний на базовом уровне во многих образовательных учреждениях часы на изучение геометрии реально использовались для повторения и изучения алгебраического материала.

При преподавании геометрии в старших классах необходимо, прежде всего, уделять внимание формированию базовых знаний курса стереометрии (угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, многогранники и т.д.). Одновременно необходимо находить возможность восстанавливать базовые знания курса планиметрии (прямоугольный треугольник, решение треугольников, четырехугольники и т.д.). При изучении геометрии необходимо повышать наглядность преподавания, больше уделять внимания вопросам изображения геометрических фигур, формированию конструктивных умений и навыков, применению геометрических знаний к решению практических задач. По мнению Зеленского и Панфилова, курс планиметрии требует увеличения нагрузки в части решения задач с одновременным разумным сокращением доказательной базы. Еще более логичным было бы изменение школьной программы и стандартов: перенесение изучения части разделов планиметрии на 10-11 класс (с одновременным переносом каких-то разделов стереометрии на 9-й класс). Тогда в старшей школе была бы возможность гораздо более эффективного углубленного изучения всего курса геометрии. (В новых учебниках Атанасяна это уже учтено.)

Как облегчить наш труд? Каждому учителю нужно иметь тематические подборки задач, желательно с решениями, с указаниями уровня сложности. Где можно найти задачи? В литературе по геометрии. Подборка литературы по геометрии для школьников
Несколько книг, посвященных алгоритмическим подходам в геометрии:

Электронные формы учебников.

Особенности курса

1. Мотивация учеников. Часто детей убеждают, что геометрия — это очень сложно. Однако в изучении любого предмета важен позитивный настрой. В начале учебника для 7 класса авторы разъясняют школьнику, что на уроках геометрии он будет работать с уже знакомыми фигурами — только на новом уровне.

2. Наглядность и доступность материала. Текст учебников ясен и лаконичен. Понятия и определения представлены простым понятным языком. В чертежах используются цветовые решения (например, для демонстрации доказательств теорем).

Геометрия. 7 класс

Учебник предназначен для изучения геометрии в 7 классе общеобразовательных организаций. Учебник содержит большой и интересный дидактический материал: упражнения для повторения, задания в тестовой форме и др. Предусмотрены уровневая дифференциация, дополнительные материалы, позволяющие формировать у школьников познавательный интерес к предмету. Вместе с дидактическими материалами, и методическим пособием для учителя составляет учебно-методический комплект "Геометрия. 7 класс" (авторы Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.). Учебник входит в систему "Алгоритм успеха".Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту для основной общего образования (2010 г). Электронная форма учебника (ЭФУ) Геометрия. 7 класс включена в состав учебно-методического комплекта (УМК) по предмету Геометрия 7 класса Мерзляк А. Г. Полонский В. Б. Якир М. С. Геометрия. 7 класс соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта. ЭФУ рекомендована Министерством образования и науки Российской Федерации.

Пример из учебника

Определение: Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.

Часто справедливость (истинность) какого-либо факта приходится устанавливать с помощью логических рассуждений. Рассмотрим такую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы — математики. Женя живет по адресу: ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком? Из условия задачи следует, что Женя живет на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик. Приведенные логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя — математик. В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой.

Теорема: Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

3. Разумное сочетание строгости и доступности. Авторы сделали упор на опыт и наглядность, потому что материал, изложенный слишком строго, не усваивается подростками. Чрезмерное же упрощение делает курс ненаучным, чего тоже нельзя допускать.

4. Многообразие задач. Упражнения в учебнике делятся по уровням сложности: простые, среднего уровня, сложные, для математических кружков и факультативов. Такое разделение позволяет учителю реализовать самооценку и саморегуляцию учеников.

6. Помощь в организации проектной работы. В учебниках представлены темы для проектных работ. Чтобы ученик знал, где искать актуальную информацию, к каждой теме даны список литературы и адреса интернет-ресурсов.

8. Подготовка к олимпиадам. На счету авторов УМК 30 учеников-победителей математических соревнований международного уровня. Опыт позволил создателям курса реализовать в учебниках целую систему задач для подготовки к олимпиадам.

Пример из учебника

Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырехугольника является восьмиугольник.

Разрежьте ромб на четыре четырехугольника так, чтобы каждый из них являлся вписанным в окружность и описанным около окружности.

Геометрия. 8 класс

Учебник предназначен для изучения геометрии в 8 классе общеобразовательных организаций. Учебник содержит большой и интересный дидактический материал: упражнения для повторения, задания в тестовой форме и др. Предусмотрены уровневая дифференциация, дополтительные материалы, позволяющие формировать у школьников познавательный интерес к предмету. Вместе с дидактическими материалами, и методическим пособием для учителя составляет учебно-методический комплект "Геометрия. 8 класс" (авторы Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.). Учебник входит в систему "Алгоритм успеха". Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту для основной общего образования (2010 г). Электронная форма учебника (ЭФУ) Геометрия. 8 класс включена в состав учебно-методического комплекта (УМК) по предмету Геометрия 8 класса Мерзляк А. Г. Полонский В. Б. Якир М. С. Геометрия. 8 класс соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта. ЭФУ рекомендована Министерством образования и науки Российской Федерации.

9. Справочный материал. На форзацах представлены латинский и греческий алфавиты, а также справочный материал о происхождении математических терминов — что позволяет расширить познавательную деятельность на уроке.

11. Дидактические материалы и методические пособия. В изданиях для педагогов представлены дополнительные задания, подробный план каждого урока в форме технологической карты, контрольные работы, математические диктанты, рекомендации по проектной деятельности, рекомендации по использованию на уроках отдельных упражнений и т.д.

13. Практическая геометрия. В специальном разделе учебника авторы рассказывают, каким образом правила геометрии применяются в окружающей жизни. Например, как жесткость треугольника позволяет создавать конструкции для электропроводов. На наглядном материале педагог может объяснить ученикам, что знания, полученные на уроках геометрии — не абстрактные, а важные в повседневности.

14. Формулы площади треугольника возведены в ранг теорем. Не секрет, что часто формулы, кроме пары основных, не выделяются и ускользают от внимания учеников. Однако в некоторых случаях нераспространенная формула являются единственным путем к решению задачи. Чтобы ученики обладали полным арсеналом знаний, все способы вычисления площади треугольника в учебнике 9 класса представлены ярко, и для закрепления каждой формы даны специальные задачи.

17. Метод ключевых задач. В тексте параграфа и в разделе для самостоятельной работы отмечены ключевые задачи, решениями которых можно пользоваться в работе с другими заданиями.

Обобщим: в основу УМК лег наглядно-дедуктивный принцип в сочетании с частичной аксиоматизацией.

3. Смотрим определение в учебнике: Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол. Отсюда следует вопрос: если один угол прямой, какова градусная мера оставшихся углов?

4. Изучаем следующее определение: Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Обсуждаются понятия перпендикулярности двух отрезков, отрезка и луча и т.д.

6. Практическое закрепление знаний начинаем с обсуждения заданий по готовым чертежам.

7. Даем практические задания. Чтобы не тратить время, используем упражнения в рабочей тетради с готовыми чертежами.

8. Некоторым ученикам предлагаем более сложные задачи на доказательство или нахождение величины угла.

Пример из учебника

Докажите, что если биссектрисы углов АОВ и ВОС перпендикулярны, то точки А, О и С лежат на одной прямой.

9. Разбираем всем классом или группой учеников объемную задачу.

Пример из учебника

Угол АВС равен 160 °, лучи ВК и ВМ проходят между сторонами этого угла и перпендикулярным им. Найдите угол МВК.

10. Задаем на дом или разбираем на уроке задачу для кружка или факультатива.

Геометрия. 9 класс

Учебник предназначен для изучения геометрии в 9 классе общеобразовательных организаций. Учебник содержит большой и интересный дидактический материал: упражнения для повторения, задания в тестовой форме и др. Предусмотрены уровневая дифференциация, дополтительные материалы, позволяющие формировать у школьников познавательный интерес к предмету. Вместе с дидактическими материалами, и методическим пособием для учителя составляет учебно-методический комплект "Геометрия. 9 класс" (авторы Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.). Учебник входит в систему "Алгоритм успеха". Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту для основной общего образования (2010 г). Электронная форма учебника (ЭФУ) Геометрия. 9 класс включена в состав учебно-методического комплекта (УМК) по предмету Геометрия 9 класса Мерзляк А. Г. Полонский В. Б. Якир М. С. Геометрия. 9 класс соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта. ЭФУ рекомендована Министерством образования и науки Российской Федерации.

Читайте также: