Прямая и обратная задачи динамики точки кратко

Обновлено: 04.07.2024

Второй закон Ньютона как основное уравнение динамики материальной точки. Понятие механического состояния. Прямая задача динамики – определение сил по известному движению. Нахождение закона тяготения из законов Кеплера. Обратная задача динамики – определение движения по известным силам и начальному состоянию. Примеры интегрирования уравнений движения (движение частицы в постоянном и в зависящем от времени однородном поле, движение в вязкой среде,Движение в силовых полях. наиболее интересные примеры.
движение заряженной частицы в однородном магнитном поле и в скрещенных электрическом и магнитном полях, движение под действием сил, зависящих от положения частицы – пространственный осциллятор и кулоново поле).
Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения. Движение материальной точки при наличии связей. Силы реакции идеальных связей.

В динамике точки решаются две основные задачи.

Первая (прямая) задача динамики. По заданному движению, совершаемому точкой данной массы, требуется найти неизвестную действующую силу.

Вторая (обратная) задача динамики. По заданным силам, действующим на точку данной массы, и заданным начальным условиям движения требуется найти закон движения точки.

Это — основные (классические) задачи динамики точки, сформулированные самим основоположником динамики И. Ньютоном. С последующим развитием динамики появились новые задачи, сочетающие в себе черты обеих названных задач. Например, при несвободном движении точки реакции связей заранее неизвестны, и вторая задача приобретает смешанный характер — требуется найти как закон движения точки, так и реакции связей. Появились задачи об оптимальном движении, о движении точки с переменной массой и много других задач, тесно связанных с потребностями развивающейся техники.

Основным математическим инструментом для решения задач динамики точки служат основное уравнение динамики и вытекающие из него дифференциальные уравнения движения.

Динамика - раздел механики машин и механизмов, изучающий закономерности движения звеньев механизма под действием приложенных к ним сил. Есть такое определение: "Динамика рассматривает силы в качестве причины движения тел".

Т.е. до этого, в кинематике, мы считали движение ведущих звеньев заданным, и расчеты вели с учетом только структуры механизмов и геометрических соотношений между размерами их звеньев.

Теперь мы будем учитывать и силовое воздействие.
В основе динамики лежат три закона, сформулированные Ньютоном

Первый закон Ньютона постулирует наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции.

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Третий закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами.

из которых следует:
Из первого закона: Если равнодействующая всех внешних сил, действующих на механическую систему равно нулю, то система находится в состоянии покоя.
Из второго закона: Изменение состояния движения механической системы может быть вызвано либо изменением действующих на нее внешних сил, либо изменением ее массы.
Из этих же законов следует, что динамическими параметрами механической системы являются:

Дина́мика — раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения.

В общей постановке динамика - изучение каких-либо процессов или явлений в функции времени. Динамическая модель - модель системы, предназначенная для исследования ее свойств в функции времени (или модель системы, предназначенная для исследования в ней динамических явлений).

Прямая и обратная задачи динамики машин.

Прямая задача динамики - определение закона движения системы при заданном управляющем силовом воздействии, т.е. изучение влияния силового воздействия на звенья механизма, и на КП.
Обратная задача динамики - определение требуемого управляющего силового воздействия, обеспечивающего заданный закон движения системы.

Первая задача носит название силового анализа механизмов, вторая – динамического анализа (динамика механизмов).

Вопрос об определении сил имеет большое практическое значение для расчета на прочность отдельных деталей механизмов, для определения мощности, потребной для работы механизма, для определения трения в кинематических парах , для расчета на износ трущихся деталей в кинематических парах и т.д. Зная силы, действующие на различные звенья механизма, конструктор может выбрать наиболее рациональные размеры и формы, обеспечить достаточную смазку в КП и т.д.

Методы составления уравнений (динамической модели системы):

энергетический (уравнения энергетического равновесия - закон сохранения энергия);
кинетостатический (уравнения силового равновесия с учетом сил инерции по принципу Д'Аламбера).

Лекция 5

Динамика анализ механизмов.

Третий закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами.

Дина́мика — раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения.

Прямая и обратная задачи динамики машин.

Методы составления уравнений (динамической модели системы):

Запишем основное уравнение динамики материальной точки в виде: .

Замечаем, что это уравнение связывает кинематический параметр точки её ускорение с динамической характеристикой равнодействующей сил. Следовательно, при решении этого уравнения возможны две противоположные задачи:

Прямая задача динамики: по кинематическому характеру движения материальной точки (вообще материального объекта) определить силу (силы), вызывающую это движение.

Обратная задача динамики: По заданной силе (силам), действующим на материальную точку (материальный объект) определить кинематические параметры её движения.

Заметим, что со времён Ньютона механики мало уделяли внимания прямой задаче. Их усилия вот уже 300 лет в основном сосредоточены на методах решения обратной задачи. Решение обратной задачи представляет содержание специального раздела математического анализа-теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим более подробно алгоритмы решения прямой и обратной задач динамики материальной точки.

Прямая задача: В общем случае задана масса точки m и кинематическое уравнение её движения .

Алгоритм решения: .

Замечаем, что решение прямой задачи динамики предполагает двойное дифференцирование исходного кинематического уравнения движения материальной точки.

Примечание: При решении конкретных задач динамики материальной точки целесообразно кинематическое уравнение её движения записывать не в векторной форме, а в координатной, либо в естественных осях.

В этом случае алгоритмы решения получат вид:

а) В координатной форме:

б) В естественных осях:

S=f(t)

Пример: Точка с массой m движется в плоскости XY согласно уравнениям:

X=A*cos; Y=Asin.

Определить силу, вызывающую это движение.

Обратная задача: В общем случае задана масса точки m и сила(силы), действующие на точку.

Замечаем, что решение обратной задачи динамики предполагает двойное интегрирование исходного динамического уравнения движения материальной точки.

Как и в прямой задаче, интегрирование основного уравнения динамики материальной точки удобнее производить, если оно записано в координатной форме или с использованием естественных осей. Основное уравнение динамики материальной точки, записанное в координатной форме или в естественных осях, называется дифференциальными уравнениями движения материальной точки.

§ 3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

а) В координатной форме:

В результате выполнения первого шага интегрирования определяются V_X,V_Y,V_Z. Далее записываются дифференциальные уравнения для второго шага интегрирования:

В процессе интегрирования дифференциальных уравнений появляются константы интегрирования (в общем случае их будет шесть), которые следует определять по начальным условиям каждой конкретной задачи.

Следует также иметь в виду, что дифференциальные уравнения движения материальной точки с конкретной правой частью описывают её движение до тех пор пока не изменились силы, определяющие правую часть уравнений. Если в какой-то момент времени или на каком-то участке траектории изменился характер действия сил, то для описания последующего движения точки следует составить новую системудифференциальных уравнений. При конечные параметры предыдущего участка движения являются начальными параметрами для последующего.

б) В естественных осях:

Основное уравнение динамики в векторной форме ; (3);