Производные показательной и логарифмической функций кратко
Обновлено: 05.07.2024
Оборудование: распечатки с тестами, карточки с заданиями, тесты, учебная литература.
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
На протяжении многих уроков мы рассматривали упражнения на применение производных различных функций. На этом уроке мы закрепим навыки нахождения производных показательной и логарифмической функций, продолжим формирование умений решения задач на применение производной.
II. Проверка домашнего задания
III. Устно:
1. Расскажите, что вы знаете о числе е.
2. Чему равна производная каждой из функций y = e x и y = a x .
3. Дайте определение натурального логарифма.
4. Чему равна производная логарифмической функции?
5. Сформулируйте признаки экстремума функции.
6. Расскажите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
7. Запишите общий вид уравнения касательной.
8. Найдите производные функций:
IV. Работа в классе
1. Индивидуальная работа по карточкам
1.1. Найдите точки экстремума функции у = x + 2 e – x
Точка х = ln 2 – точка минимума.
Ответ: точка х = ln 2 – точка минимума.
1.2. Найти наименьшее значение функции у = x ln x – x ln 5 на отрезке [1; 5].
2. Решение задач
2.1. № 552 (в). Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = log2(x – 1) в точке с абсциссой х0 = 2.
2.2. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f (x) = e x – 1 + 2х параллельна прямой у (х) = 3х.
V. Тест (по текстам ЕГЭ)
VI. Итог урока
VII. Домашнее задание: стр. 275 № 10 (1; 2 а – г); № 11 (1; 2 а – г); повторить п. 41, 42; * стр. 309 № 234 (б,г).
(Задания со * для учащихся, имеющих интерес к математике)
Литература
1. Готовимся к ЕГЭ. Математика. Учебно-тренировочные тематические тестовые задания (часть 2) под ред. Г.И. Ковалевой.
2. Система тренировочных задач и упражнений по математике. Симонов А.Я, Бакаев Д.С., Эпельман А.Г.
3. Математика. Тесты для школьников и поступающих в ВУЗы. Бродский Я.С., Павлов А.Л.
4. Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы.
5. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений/ Под редакцией А.Н. Колмогорова.
Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.
1.Производная показательной функции.
Показательная функция f(x)=a x , где а>0, a ≠1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле:
a x =e xln a (1)
так как e xln a = (e ln a ) х = а х .
Стоит отметить свойств о функции е х : производная данной функции равна ей самой
(e x ) '= e x . (2)
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
(e kx+b ) ' = ke kx+b . (3)
Производная для a x :
(a x ) ' = a x lna. (4)
2.Производная логарифмической функции.
Производная функции lnх выражается формулой
(6)
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
(7)
(8)
3.Производные тригонометрических функций.
Для тригонометрических функций справедливы следующие равенства:
(sin x)’=cosx (9)
(cos x)’= -sinx (10)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Ответ:
Решение: (3e 2x ) ' = 3·2· e 2x = 6 ·e 2x
Решение: (2 x ) ' = 2 x ln2
Решение:
Ответ:
Найдем производную функции \(f(x)=a^x\), используя полученный результат для экспоненты и теорему о производной сложной функции (см. §45 данного справочника).
Преобразуем основание, используя логарифмическое тождество: $$ a^x=\left(e^<\ln a>\right)^x=(e^x)^ <\ln a>$$ Получаем сложную функцию с цепочкой отображений: \(x\rightarrow e^x\rightarrow \boxdot^<\ln a>\)
| Функция | Производная от функции | Аргумент в производной | Итоговый множитель | |
| 1 | $$ \boxdot^ <\ln a>$$ | $$ \ln a\cdot\boxdot^ <\ln a-1>$$ | $$ \boxdot=e^x $$ | $$ \ln a\cdot(e^x)^ <\ln a-1>$$ |
| 2 | $$ e^x $$ | $$ e^x $$ | $$ - $$ | $$ e^x $$ |
Производная сложной функции равна произведению: $$ f'(x)=\ln a\cdot(e^x)^<\ln a-1>\cdot e^x=\ln a\cdot e^
Например:
\begin (2^xsinx)'=(2x)'\cdot sinx+2^x\cdot(sinx)'=2^x\cdot\ln 2\cdot sinx+2^x cosx=\\ =2^x(\ln 2\cdot sinx+cosx) \end
п.3. Производная логарифмической функции
Найдем производную натурального логарифма \(f(x)=\ln x\)
Для всех \(x\gt 0, e^<\ln x>=x\). Значит: \((e^ <\ln x>)'=x'=1\)
\(e^<\ln x>\)– это сложная функция с цепочной отображений: \(x\rightarrow \ln x\rightarrow e^\)
| Функция | Производная от функции | Аргумент в производной | Итоговый множитель | |
| 1 | $$ e^ $$ | $$ e^ $$ | $$ \boxdot=\ln x $$ | $$ e^=e^ <\ln x>$$ |
| 2 | $$ \ln x $$ | $$ (\ln x)' $$ | $$ - $$ | $$ (\ln x)' $$ |
Производная сложной функции равна произведению: $$ (e^<\ln x>)'=e^<\ln x>\cdot (\ln x)'=x\cdot (\ln x)' $$ Откуда: $$ (\ln x)'=\frac<(e^<\ln x>)'>=\frac1x $$
Для логарифма с основанием a по формуле перехода к другому основанию: $$ (\log_a x)'=\left(\frac<\ln x><\ln a>\right)'=\frac<\ln a>(\ln x)'=\frac<\ln a>\cdot \frac1x=\frac
Например:
Найдем производную \(f(x)=\ln(2x+1)\)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (2x+1)\rightarrow\ln\boxdot\)
Производная: \(f'(x)=(\ln(2x+1) )'=\frac\cdot (2x+1)'=\frac\)
п.4. Производная степенной функции с действительным показателем
Производная степенной функции: $$ (x^a)'=ax^ $$ что справедливо при:
\(1)\ x\gt 0,\ a\in \mathbb;\ 2)\ x=0,\ a\gt 0;\ 3)\ x\lt 0;\ a=\frac mn\in\mathbb,\ n\) - нечетное.
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите производную функции:
a) \( y=e^ \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (x^2+2)\rightarrow e^\boxdot\)
Производная: \begin y'=e^\cdot(x^2+2)'=e^\cdot 2x=2xe^ \end
б) \( y=e^ \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (x+sinx)\rightarrow e^\boxdot\)
Производная: \begin y'=e^\cdot (x+sinx)'=e^\cdot (1+cosx)=(1+cosx)e^ \end
в) \( y=\ln(x^3+4) \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (x^3+4)\rightarrow \ln\boxdot\)
Производная: \begin y'=\frac\cdot(x^3+4)'=\frac \end
г) \( y=\ln(cos^2x-1) \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow cosx \rightarrow \boxdot^2-1\rightarrow \ln\boxdot\) \begin y'=\frac\cdot(cos^2x-1)'=\frac\cdot (cosx)'=-\frac=\\ =\frac=2ctgx \end
Пример 3*. Решите неравенства:
a) \( f'(x)\gt g'(x),\) если \(f(x)=x+\ln(x-5),\ g(x)=\ln(x-1)\)
ОДЗ для исходных функций:
ОДЗ: \( \begin x-5\gt 0\\ x-1\gt 0 \end \Rightarrow \begin x\gt 5\\ x\gt 1 \end \Rightarrow x\gt 5 \)
Производные: \begin f'(x)=1+\frac,\ \ g'(x)=\frac \end Решаем неравенство: \begin 1+\frac\gt\frac\Rightarrow 1+\frac-\frac\gt 0\\ \frac\gt 0\Rightarrow\frac\gt 0\\ \frac\gt 0 \end Квадрат скобки не влияет на знак, т.к. неравенство строгое, решаем систему (подробней о том, как избавиться от степени в неравенствах – см. §7 справочника для 9 класса): $$ \begin (x-5)(x-1)\gt 0\\ x\ne 3 \end \Rightarrow \begin x\lt 1\cup x\gt 5\\ x\ne 3 \end \Rightarrow x\lt 1\cup x\gt 5 $$ С учетом ОДЗ: \( \begin x\lt 1\cup x\gt 5\\ x\gt 5 \end \Rightarrow x\gt 5 \)
Ответ: \(x\in(5;+\infty)\)
б) \( f'(x)\lt g'(x),\) если \(f(x)=\frac>,\ g(x)=4x\ln 5+5^x\)
ОДЗ не ограничена, \(x\in\mathbb\)
Производные: \begin f'(x)=\frac<\ln 5>5^\cdot (2x+1)'=\frac<\ln 5>5^\cdot 2=5^\ln 5\\ g'(x)=4\ln 5+5^x\ln 5=(4+5^x)\ln 5 \end Подставляем: $$ 5^\ln 5\lt(4+5^x)\ln 5 $$ Т.к. \(5\gt 1,\ \ln 5\gt 0\), делим на него обе части неравенства: $$ 5^\lt 4+5^x\Rightarrow 5\cdot 5^-5^x-4\lt 0 $$ Замена: \(t=5^x\gt 0\) $$ 5t^2-t-4\lt 0\Rightarrow (5t+4)(t-1)\lt 0\Rightarrow \left(t+\frac45\right)(t-1)\lt 0 $$ Решаем систему: \begin \begin \left(t+\frac45\right)(t-1)\lt 0\\ t\gt 0 \end \Rightarrow \begin -\frac45\lt t\lt 1\\ t\gt 0 \end \Rightarrow 0\lt t\lt 1 \end Возвращаемся к исходной переменной: $$ 0\lt 5^x\lt 1\Rightarrow 5^x\lt 5^0\Rightarrow x\lt 0 $$ Ответ: \(x\in(-\infty;0)\)
Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.
Константа y = C
Степенная функция y = x p
( x p ) ' = p · x p - 1
Показательная функция y = a x
( a x ) ' = a x · ln a
В частности, при a = e имеем y = e x
( e x ) ' = e x
Логарифмическая функция
( log a x ) ' = 1 x · ln a
В частности, при a = e имеем y = ln x
( ln x ) ' = 1 x
Тригонометрические функции
( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = - sin x ( t g x ) ' = 1 cos 2 x ( c t g x ) ' = - 1 sin 2 x
Обратные тригонометрические функции
( a r c sin x ) ' = 1 1 - x 2 ( a r c cos x ) ' = - 1 1 - x 2 ( a r c t g x ) ' = 1 1 + x 2 ( a r c c t g x ) ' = - 1 1 + x 2
Гиперболические функции
( s h x ) ' = c h x ( c h x ) ' = s h x ( t h x ) ' = 1 c h 2 x ( c t h x ) ' = - 1 s h 2 x
Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.
Производная постоянной
Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f ( x ) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0 :
lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Итак, производная постоянной функции f ( x ) = C равна нулю на всей области определения.
Даны постоянные функции:
f 1 ( x ) = 3 , f 2 ( x ) = a , a ∈ R , f 3 ( x ) = 4 . 13 7 22 , f 4 ( x ) = 0 , f 5 ( x ) = - 8 7
Необходимо найти их производные.
Решение
Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а - любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый - производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби - 8 7 .
Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)
f 1 ' ( x ) = ( 3 ) ' = 0 , f 2 ' ( x ) = ( a ) ' = 0 , a ∈ R , f 3 ' ( x ) = 4 . 13 7 22 ' = 0 , f 4 ' ( x ) = 0 ' = 0 , f 5 ' ( x ) = - 8 7 ' = 0
Производная степенной функции
Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: ( x p ) ' = p · x p - 1 , где показатель степени p является любым действительным числом.
Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …
Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
( x p ) ' = lim ∆ x → 0 = ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p - x p ∆ x
Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:
( x + ∆ x ) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 1 + C p p · ( ∆ x ) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 1 + C p p · ( ∆ x ) p
( x p ) ' = lim ∆ x → 0 ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 1 + C p p · ( ∆ x ) p ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 2 + C p p · ( ∆ x ) p - 1 ) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · ( p - 1 ) ! · x p - 1 = p · x p - 1
Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.
Чтобы привести доказательство для случая, когда p - любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.
Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.
Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:
( ln y ) ' = ( p · ln x ) 1 y · y ' = p · 1 x ⇒ y ' = p · y x = p · x p x = p · x p - 1
Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.
Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x 0 , причем является четной: y ( x ) = - y ( ( - x ) p ) ' = - p · ( - x ) p - 1 · ( - x ) ' = = p · ( - x ) p - 1 = p · x p - 1
Тогда x p 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x 0 , причем является нечетной: y ( x ) = - y ( - x ) = - ( - x ) p . Тогда x p 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y ' ( x ) = ( - ( - x ) p ) ' = - ( ( - x ) p ) ' = - p · ( - x ) p - 1 · ( - x ) ' = = p · ( - x ) p - 1 = p · x p - 1
Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p - 1 либо четное число, либо нуль (при p = 1 ), поэтому, при отрицательных x верно равенство ( - x ) p - 1 = x p - 1 .
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p .
f 1 ( x ) = 1 x 2 3 , f 2 ( x ) = x 2 - 1 4 , f 3 ( x ) = 1 x log 7 12
Определите их производные.
Решение
Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:
f 1 ( x ) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 ' ( x ) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 ' ( x ) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 ( x ) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 ' ( x ) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84
Производная показательной функции
Выведем формулу производной, взяв за основу определение:
( a x ) ' = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x ( a ∆ x - 1 ) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x - 1 ( z → 0 при ∆ x → 0 ). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a ( z + 1 ) = ln ( z + 1 ) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.
Осуществим подстановку в исходный предел:
( a x ) ' = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln ( z + 1 ) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 ( z + 1 ) 1 z
Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:
( a x ) ' = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
Даны показательные функции:
f 1 ( x ) = 2 3 x , f 2 ( x ) = 5 3 x , f 3 ( x ) = 1 ( e ) x
Необходимо найти их производные.
Решение
Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:
f 1 ' ( x ) = 2 3 x ' = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · ( ln 2 - ln 3 ) f 2 ' ( x ) = 5 3 x ' = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 ' ( x ) = 1 ( e ) x ' = 1 e x ' = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x
Производная логарифмической функции
Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:
( log a x ) ' = lim ∆ x → 0 log a ( x + ∆ x ) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.
Заданы логарифмические функции:
f 1 ( x ) = log ln 3 x , f 2 ( x ) = ln x
Необходимо вычислить их производные.
Решение
Применим выведенную формулу:
f 1 ' ( x ) = ( log ln 3 x ) ' = 1 x · ln ( ln 3 ) ; f 2 ' ( x ) = ( ln x ) ' = 1 x · ln e = 1 x
Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x .
Производные тригонометрических функций
Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.
Согласно определению производной функции синуса, получим:
( sin x ) ' = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) - sin x ∆ x
Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:
( sin x ) ' = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
Наконец, используем первый замечательный предел:
sin ' x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Итак, производной функции sin x будет cos x .
Совершенно также докажем формулу производной косинуса:
cos ' x = lim ∆ x → 0 cos ( x + ∆ x ) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x
Т.е. производной функции cos x будет – sin x .
Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:
t g ' x = sin x cos x ' = sin ' x · cos x - sin x · cos ' x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · ( - sin x ) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g ' x = cos x sin x ' = cos ' x · sin x - cos x · sin ' x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x
Производные обратных тригонометрических функций
Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.
Производные гиперболических функций
Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:
s h ' x = e x - e - x 2 ' = 1 2 e x ' - e - x ' = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h ' x = e x + e - x 2 ' = 1 2 e x ' + e - x ' = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h ' x = s h x c h x ' = s h ' x · c h x - s h x · c h ' x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h ' x = c h x s h x ' = c h ' x · s h x - c h x · s h ' x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.
Оборудование: распечатки с тестами, карточки с заданиями, тесты, учебная литература.
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
На протяжении многих уроков мы рассматривали упражнения на применение производных различных функций. На этом уроке мы закрепим навыки нахождения производных показательной и логарифмической функций, продолжим формирование умений решения задач на применение производной.
II. Проверка домашнего задания
III. Устно:
1. Расскажите, что вы знаете о числе е.
2. Чему равна производная каждой из функций y = e x и y = a x .
3. Дайте определение натурального логарифма.
4. Чему равна производная логарифмической функции?
5. Сформулируйте признаки экстремума функции.
6. Расскажите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
7. Запишите общий вид уравнения касательной.
8. Найдите производные функций:
IV. Работа в классе
1. Индивидуальная работа по карточкам
1.1. Найдите точки экстремума функции у = x + 2 e – x
Точка х = ln 2 – точка минимума.
Ответ: точка х = ln 2 – точка минимума.
1.2. Найти наименьшее значение функции у = x ln x – x ln 5 на отрезке [1; 5].
2. Решение задач
2.1. № 552 (в). Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = log2(x – 1) в точке с абсциссой х0 = 2.
2.2. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f (x) = e x – 1 + 2х параллельна прямой у (х) = 3х.
V. Тест (по текстам ЕГЭ)
VI. Итог урока
VII. Домашнее задание: стр. 275 № 10 (1; 2 а – г); № 11 (1; 2 а – г); повторить п. 41, 42; * стр. 309 № 234 (б,г).
(Задания со * для учащихся, имеющих интерес к математике)
Литература
1. Готовимся к ЕГЭ. Математика. Учебно-тренировочные тематические тестовые задания (часть 2) под ред. Г.И. Ковалевой.
2. Система тренировочных задач и упражнений по математике. Симонов А.Я, Бакаев Д.С., Эпельман А.Г.
3. Математика. Тесты для школьников и поступающих в ВУЗы. Бродский Я.С., Павлов А.Л.
4. Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы.
5. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений/ Под редакцией А.Н. Колмогорова.
Читайте также: