Производная сложной и обратной функции кратко

Обновлено: 02.07.2024

(a + b) n = a n +n·a n-1 ·b + 1/2∙n(n – 1)a n-2 ∙b 2 + 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a n-3 b 3 +…+ b n ,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx) n , и, следовательно,

Δy=(x+Δx) n – x n =n·x n -1 ·Δx + 1/2·n·(n–1)·x n -2 ·Δx 2 +…+Δx n .

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

.
(справедлива для любого конечного числа слагаемых).
.
.

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).

Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.

Доказательство формулы 4.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому

Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.

y ' = 3x 2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u₀ производную y '_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y '_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х₀ будем иметь u₀=u(x₀), у₀=f(u₀). Для нового значения аргумента x₀+Δx:

Δu= u(x₀ + Δx) – u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) – f(u₀).

Т.к. u – дифференцируема в точке x₀, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y '_uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y '_x= y '_u·u '_x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y '_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y '_x= y '_u·u '_x . Применяя эту же теорему для u '_x получаем , т.е.

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x 3 . Будем рассматривать равенство y= x 3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x: . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x 3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x 3 .

Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x₂>x₁, то f(x₂) > f(x₁).

Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих₂ f(х₁).

Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

Рассмотрим два различных значения х₁ и х₂. Пусть y₁=f(x₁), y₂=f(x₂). Из определения возрастающей функции следует, что если x₁ x . Эта функция возрастает при –∞ 2 определена при –∞ x . Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о непрерывности сложной функции и функция является для нее Обратной.

Теорема (о производной обратной функции)

Пусть функция является непрерывной и строго монотонной в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную Тогда Обратная функция также имеет в соответствующей точке производную, причем

Теорема (о производной сложной функции).

Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция имеет Производную в точке и справедлива следующая формула:

В данной теореме рассмотрена суперпозиция двух функций, где зависит от через промежуточную переменную . Возможна и более сложная зависимость с несколькими промежуточными переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается тем же. Например, если то производная вычисляется по формуле

Найти производную функции

Эту функцию можно представить через промежуточную переменную как Тогда по формуле (5.3.2)

Производная неявной функции

Пусть дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению , т. е. задана неявно. Чтобы найти производную функции , заданную неявно, необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной , рассматривая как сложную функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную

Найти производную функции , заданную уравнением , и вычислить ее значение в точке (2;0).

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что есть функция от , получим , откуда

Значение производной при равно

Производная показательно–степенной функции (логарифмическая производная)

Пусть функция положительна и дифференцируема в точке . Вычислим производную функции . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Это выражение называется логарифмической производной функции . Найдем с помощью логарифмической производной производную показательно–степенной функции

Где и – некоторые функции от аргумента , имеющие в точке соответствующие производные. Поскольку то использование формулы (5.3.5) приводит к равенству

С учетом вида функции получаем следующую формулу для производной показательно–степенной функции:

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

1. Константу можно выносить за знак производной.

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

3. Производная произведения.

4. Производная частного.

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу $u$, умноженной на производную от промежуточного аргумента $u$ по основному аргументу $x$.

$y=y(u)$ и $u=u(x)$ имеют производные соответственно в точках $u_=u\left(x_\right)$ и $x_$ . Тогда

(О производной обратной функции)

Если функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_$ и дифференцируема в этой точке, то обратная функция $x=f^(y)$ имеет производную в точке $y_=f\left(x_\right)$, причем $\frac <\mathrmf^\left(y_\right)> <\mathrmy>=\frac <\frac<\mathrmf\left(x_\right)> <\mathrmx>>$ .

Читайте также: