Производная функции лекция кратко

Обновлено: 04.07.2024

Урок на тему: "Что такое производная? Определение производной"

Что будем изучать:
1. Введение в понятие производной.
2. Чуть-чуть истории.
3. Определение производной.
4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.
5. Алгоритм нахождения производной функции.
6. Дифференцирование функции.
7. Примеры.

Введение в понятие производной

Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

Чуть-чуть истории

Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).

Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
На математическом языке: производная - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
Давайте посмотрим на графики трех функций:

Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная на графике функции. Геометрический смысл производной

Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
И так производная нашей функции равна:

И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.

Алгоритм нахождения производной функции

Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
г) Составить соотношение: Δy/Δx
д) Вычислить

- это и есть производная нашей функции.

Дифференцирование функции

Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
И так запишем выше сказанное как определение:
Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

Примеры производной

Найти производную функции: y=3x
Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δx

4) Составим соотношение:

5)Найдем предел:

Ответ: f' (x)=3

Найти производную функции y=5x 2

Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции y=5x 2

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=5(x+ Δx)^ 2 =5(x 2 +2xΔx+Δx 2 )

3)Найдем приращение функции:

Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5x 2 +10xΔx+5Δx 2 -5x 2 =10xΔx+5Δx 2

4) Составим соотношение:

5)Найдем предел:

Ответ: f' (x)=10x

Найти производную функции y=2x 2 -x+1

Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=2(x+ Δx) 2 -(x+ Δx)+1= =2(x 2 +2xΔx+Δx 2 )-(x+ Δx)+1

Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= = 2x 2 +4xΔx+ 5Δx 2 -(x+ Δx)+1-2x 2 +x-1= =4xΔx+5Δx 2 -Δx
3) Составим соотношение:

5)Найдем предел:

Ответ: f' (x)=4x-1

Задачи для самостоятельного решения

Найти производную функции:
а) $y=5$;
б) $y=10x$;
в) $y=2x^2+x$;
г) $y=3x^3$.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

3.Правило нахождения производной.

I. Производная произведения.

II . Производная дроби.

4 .Производная сложной функции.

5 . Производная тригонометрических функций.

6 . Метод интервалов.(повторение)

7 . Признак возрастания( убывания) функции.

8.Критические точки функции, максимумы, минимумы.

9. Исследование функции с помощью производной..

10. Наибольшее и наименьшее значение функции..

11 . Уравнение касательной.

12. Производная в физике и технике.

Основное назначение данного пособия состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть трудности при решении практических работ по математике.

При самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях относительно приемов и методов их решения. Такие консультации студент может получить при изучении этого пособия.

Такая форма изложение позволяет студенту сначала познакомиться с приемами решения типовых задач и оформлением записи их решений, а затем приступить к выработке навыков при решении практических работ.

Производная и ее применение

Тема 1. Приращение функции

Пусть нам дана какая- то функция y = f ( x ).

Проведем произвольную кривую линию и будем считать, что это график нашей функции.

Возьмем на оси ОХ первоначальное значение аргумент обозначим его Хо. Найдем графически соответствующее ему значение функции y ₀ = f ( x ₀ ) .

Возьмем на оси ОХ новое значение аргумента, обозначим его x . Разность между новым значением аргумента x и первоначальным x ₀ – это и есть приращение аргумента ∆ x (дельта x ).

Определение . Разность между новым значением аргумента и первоначальным называются приращение аргумента

∆ х = х – х ₀ – приращение аргумента ( дельта икс равно икс минус икс нулевое).

Из этого равенства следует, что

Найдем графически значение функции в точке x , то есть в точке x ₀ + ∆ x .

Определение . Разность между новым значением функции и первоначальным называется приращением функции.

Записывается так: ∆ f = f ( x ₀ +∆ x ) – f ( x ₀ ).

f ( x ₀ + ∆ x ) – новое значение функции (эф от икс нулевое плюс дельта икс).

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.

Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Пусть – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x - называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции в точке и обозначают :

Приращением функции в точке называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке и обозначают :

Т.к. точка считается фиксированной, приращением функции является функцией приращения аргумента .

которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

Если этот предел существует, то говорят, что функция имеет производную в точке , и пишут:

Число называется производной функции в точке .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Если существует предел (3), также говорят, что функция дифференцируема в точке .

Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка (a; b), то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b).

Производная функции , дифференцируемой в промежутке (a; b), сама является функцией x.

Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой под действием некоторых сил, не меняя направления своего движения, и пусть S(t) - расстояние, пройденное точкой от некоторого момента времени, который принят за нулевой, до момента t. Выберем какой-либо момент времени и рассмотрим промежуток времени от момента до момента . За этот промежуток времени точка пройдет некоторый путь, который обозначим . Этот путь есть функция . По известному из физики определению отношение / есть средняя скорость движения точки за время . Будем рассматривать все меньшие и меньшие промежутки , устремляя к нулю.

Предел называется мгновенной скоростью точки в момент времени .

Производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. Производная имеет самые широкие практические применения в вопросах физики, химии, геометрии и т.д. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной (мгновенная скорость распада радиоактивных веществ, мгновенная мощность, коэффициент сжатия жидкости при данном давлении, угловая скорость в данный момент времени, сила тока, теплоемкость при данной температуре).

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость ни выражала функция , отношение есть средняя скорость изменения функции относительно изменения аргумента х, а - мгновенная скорость изменения функции при некотором значении .

Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVIIв. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке х, то есть .

В этом видеоуроке мы напомним, что называют производной функции. Вспомним её геометрический и физический смысл. Повторим правила нахождения производной. Приведём производные основных элементарных функций. Также вспомним, как находить производную сложной функции.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Производная"

Вспомним основные моменты. Пусть – произвольная точка, которая лежит в некоторой окрестности фиксированной точки . Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке и обозначается .

Таким образом, . Тогда .

Говорят, что первоначальное значение аргумента получило приращение .

При этом, если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться на величину:

Приращением функции в точке , соответствующим приращению , называется разность и обозначается дельта .

Напомним, что производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при .

Если функция имеет производную в точке , то данная функция называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с координатами , то есть , где – угол между касательной и осью .

Уравнение касательной к графику функции , дифференцируемой в точке , имеет вид:

Физический смысл производной. Если точка движется вдоль оси и её координата изменяется по закону , то мгновенная скорость точки , а ускорение .

Напомним правила нахождения производной. Если функции и имеют производные, то:

;

, .

Также вспомним, как находить производную сложной функции. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причём