Прогнозирование на основе рядов динамики кратко

Обновлено: 28.06.2024

Полученные при анализе динамических рядов характеристики используются для получения статистических прогнозов, под которыми понимаются статистические оценки состояния явления в будущих периодах.

Статистическое прогнозирование основано на предположении, что закономерность развития, основная тенденция, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в будущем. Такое предположение называется экстраполяцией. Теоретической основой распространения тенденции на будущее является инерционность социально-экономических явлений.

Следует иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит приближенный характер. Точность прогноза зависит от сроков прогнозирования: чем они короче, тем надежнее результат экстраполяции, так как за короткий период времени не успевают значительно измениться условия развития явления и характер его динамики. Обычно рекомендуется, чтобы срок прогноза не превышал 1/3 длительности базы расчета тренда.

С помощью метода экстраполяции получают два вида прогноза: точечные и интервальные.

Точечный прогноз представляет собой конкретное численное значение уровня в прогнозируемый период (момент) времени.

Интервальный прогноз – диапазон численных значений, предположительно содержащий прогнозируемое значение уровня.

В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, выделяют следующие методы экстраполяции (прогнозирования):

• на основе среднего абсолютного прироста ,

• на основе среднего коэффициента роста ,

• на основе аналитического выравнивания ряда.

Метод прогнозирования на основе среднего абсолютного прироста применяется в том случае, если уровни изменяются равномерно (линейно). Прогнозируемое значение уровня определяется по формуле:

, (7.13)

где - экстраполируемый уровень;

- конечный уровень ряда динамики;

l – период упреждения прогноза (срок экстраполяции).

Прогнозирование по среднему коэффициенту роста применяется, если общая тенденция характеризуется экспотенциальной кривой. В этом случае экстраполируемый уровень определяется по формуле:

(7.14)

Прогнозирование на основе аналитического выравнивания является наиболее распространенным методом прогнозирования. Для получения прогноза используется аналитическое выражение тренда. Чтобы получить прогноз, достаточно в модели продолжить значение условного показателя времениt_i доt_n₊_i.

Интервальные прогнозы имеют значительные преимущества перед точечными – они учитывают вероятность свершения прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде так:

, (7.15)

где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента;

- средняя квадратическая ошибка тренда, рассчитываемая по формуле:

(7.16)

n – число уровней исходного ряда,

m – число параметров трендового уравнения.

Коэффициент доверия выбирается по таблице распределения Стьюдента.

Таким образом, при использовании интервального прогноза:

Упражнения и задачи

Имеются условные данные (табл. 7.12) о производстве картофеля в регионе.

Таблица 7.12 - Производство картофеля в регионе (в старых и новых границах), тыс. т.

ГОСТ

Ряд динамики

Ряд динамики – это значения показателя в статистике, демонстрирующие последовательные события или периоды времени.

Экономика является наукой, чья основная задача заключается в поиске оптимальных путей удовлетворения потребностей общества при ограниченности ресурсов. Экономические системы динамичны, они подвергаются влиянию факторов внешней и внутренней среды. Считается, что каждая система стремится к равновесию, но часто требует внешнего вмешательства для удержания стабильного положения. Управление и планирование работы хозяйственных структур позволяет решать множество задач, в том числе, проблему установления равновесия.

Экономика опирается на множество методов, описывающих и формализующих ее процессы. Самыми удобными и широко распространенными являются методы статистики и математического моделирования. Статистика помогает исследовать большие массивы данных, а так же изучать закономерности с помощью небольших выборок. Математическое моделирование описывает экономические процессы, формализует их, делает удобными для прогнозирования и анализа.

Статистика помогает исследовать динамику изменения экономических систем. Одним из ее инструментов является динамический ряд. Его характеризуют уровни, которые имеют числовые значения. В общих уравнениях они обозначаются как Y. Временные промежутки обозначаются, как и в других закономерностях, t. Чтобы исследование было удобнее проводить, эксперты применяют таблицы или графики, сопоставляющие данные ряда и временного промежутка.

Ряды динамики классифицируют следующим образом:

По времени их делят на интервальные и моментные.
Абсолютные и относительные возникают в зависимости от формы представления. Здесь же применяются средние величины.
В зависимости от временных интервалов подразделяют на неравномерные и равномерные.
Комплексные и изолированные величины выделяются в рамках смысловых статистических величин.

Таким образом, ряды в статистике позволяют соотнести определенные изменения в экономической системе с временными промежутками.

Готовые работы на аналогичную тему

Анализ динамического ряда

Исследование рядов динамики начинается с определения изменений и их направленности. Здесь внимание уделяется статистическому характеру, уменьшению или увеличению рядов. изменение рядов проводится с помощью расчета показателей уровня ряда. Среди них отмечают:

Темп изменений или тем прироста.
Абсолютный прирост.
Индекс динамики.

Исследование динамики начинается с применения базисного способа. Он заключается в сравнении ряда и показателем первого базисного периода. Такой подход используется для сравнения двух уровней соседних рядов. Абсолютное изменение в базисном периоде рассчитывается как разница между исследуемым рядом и первым рядом. Результатом исследования станет представление о том насколько уровень одного ряда больше, меньше первого уровня. Так же возможен расчет цепного абсолютного изменения. Этот показатель рассчитывается как разница между соседними рядами. Стоит отметить, что между базисными и цепными значениями есть связь. Сумма изменений в цепи должна быть равна последнему изменению базиса.

Относительное изменение в динамическом ряду измеряет во сколько раз один ряд больше или меньше другого. Часто для измерения используют коэффициенты, которые рассчитываются в процентах, если база берется из 100 единиц, либо как доля от 1. Еще одним показателем для анализа рядов является темп изменения. Он демонстрирует процентное соотношение между уровнями. Для расчета из 100% вычитаются значения ряда.

Прогнозирование ряда динамики

Ряды динамики можно изучать, как совокупность изменяющихся во времени величин. Их можно обобщать. Они необходимы для сравнения динамики в различных периодах. Обобщение величин осуществляется через применение среднего уровня. Он может рассчитываться для периодов, либо для момента. Интервальный ряд упрощает расчеты, сводя их к поиску среднего арифметического. Нахождение средних величин облегчается, если временные промежутки ряда равны между собой. В этом случае устанавливается связь между соседними уровнями их началами и концами.

Сопоставление неравных промежутков проводится с помощью средних значений. Заранее в исследование закладывается предположение, что периоды дадут разные показатели. Только после этого осуществляется расчет средних величин.

Прогнозирование в динамических рядах всегда опирается на средние величины. Динамика так же исследуется, отталкиваясь от их значений. Значение скользящей средней применяется при расчете с применением сглаживания интервала. Средняя величина адаптируется под исследование, то есть выбирается оптимальное значение для следующего за изучаемым периода.

Составление прогнозов сопряжено с погрешностями. Средняя погрешность исследуется на основе скользящей средней, и рассматривается, как абсолютное отклонение. При оценке отклонений так же могут применяться квадратическая погрешность и средняя абсолютная процентная ошибка. Если исследователем принято решение об использовании средней скользящей, то на границах периода применяется сглаживание. То есть значениям присваивается один и тот же вес. Если используются разные веса, то важно принять их за единицу. Но эти значения имеют один существенный недостаток. Чтобы вычислить прогнозируемое значение, используются только последние значения рядов.

Снижение погрешностей прогноза может проводиться с помощью экспоненциального сглаживания. Для формулы расчет применяется коэффициент сглаживания, принимающий значения от 0 до 1. Получается, что прогноз для каждого следующего временного отрезка опирается на среднее значение предыдущего.

Получается, что в самом общем виде прогноз составляется с использованием каждого уровня ряда через умножение на соответствующие весы. Динамические ряды широко применяются для исследования экономических систем.

1. Методические указания по выполнению лабораторной работы

2. Пример выполнения лабораторной работы

3. Задание и порядок выполнения лабораторной работы

1. Методические указания по выполнению лабораторной работы

Необходимым условием регулирования рыночных отношений является составление надежных прогнозов развития социально-экономических явлений.

Базу для прогнозирования, т.е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем, создает выявление и характеристика основной тенденции развития социально-экономических явлений во времени.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровней явления во времени, свободное от случайных колебаний.

На практике для того чтобы построить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используют аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

, (1)

где – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом аппроксимирует (отображает) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть обоснован в теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также в графическом изображении эмпирических (фактических) уровней ряда динамики (линейной диаграмме).

Простейшей моделью, выражающей тенденцию развития явления, является уравнение прямой линии:

, (2)

где а - свободный член;

b - коэффициент приращения;

t - период времени.

Выравнивание по уравнению прямой линии используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими уровнями:

. (4)

Параметры а и b согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условий (4):

(5)

, (6)

где Yi – фактические (эмпирические) уровни ряда;

n – число членов ряда;

t – время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю (). При этом используют следующие формулы:

если ряд содержит нечетное число членов

, (8)

если ряд содержит четное число членов

, (9)

где k – порядковый номер года;

n – число лет в периоде.

При условии, что , система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

(10)

, (11)

(12)

. (13)

По рассчитанным параметрам записывают уравнение прямой линии для ряда динамики, представляющей собой трендовую модель искомой функции.

Подставляя в данное уравнение последовательно рассчитанные значения t, находят выровненные уровни .

Если расчеты выполнены правильно, то сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда, т.е. .

Затем выровненные значения уровней ряда динамики наносят на поле графика в виде линейной диаграммы.

Для определения прогнозных значений уровней ряда динамики на будущее используют метод экстраполяции.

Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция). Поскольку в действительности тенденция развития остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки.

На практике результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза.

Для определения границ интервалов используют формулу:

, (14)

где - точечная (дискретная) оценка прогнозного значения уровня ряда динамики в момент времени t, стоящего за пределами исследованного ряда динамики;

- остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n-m):

, (15)

n - число уровней ряда динамики;

m – число параметров модели тренда (для уравнения прямой m=2);

- коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости a.

Зная точечную оценку прогнозируемого явления, определяют вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

. (16)

2. Пример выполнения лабораторной работы

Задание на лабораторную работу.

Исходя из данных об объёмах производства продукции промышленными предприятиями области необходимо:

2.1 Установить характер изменения объёма производства продукции в 1993-2002 годах,построив на поле графика эмпирическую кривую уровней ряда динамики. Определить тип кривой, описывающей изменение объёмов производства продукции за 1993-2002 годы.

2.2 Построить математическую модель (уравнение), отражающую тенденцию производства продукции промышленными предприятиями области. Рассчитать параметры уравнения Тренда.

2.3 Построить на графике теоретическую кривую по выровненным уровням ряда динамики и сделать вывод о характере общей тенденции производства промышленной продукции в области. Результаты расчёта представить в таблице 2.

2.4 Используя метод экстраполяции, определить прогнозируемые объёмы производства промышленной продукции в области в 2003 году с доверительной вероятностью 95%.

Прогнозирование с использованием показателей средних характеристик ряда динамики

Одним из наиболее распространенных методов краткосрочного прогнозирования социально-экономических явлений и процессов является экстраполяция, т. е. распространение прошлых и настоящих закономерностей, связей, соотношений на будущее. Наиболее простым методом экстраполяции одномерных рядов динамики является использование средних характеристик: среднего уровня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

При использовании среднего уровня ряда динамики в прогнозировании социально-экономических явлений прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней ряда в прошлом:

Прогноз вычисляется на моментов времени вперед (период упреждения), т. е. до момента (горизонт прогнозирования). Получается прогностическая точечная оценка, которая, вообще говоря, не совпадает с фактическими данными. Поэтому для средней указывается доверительный интервал прогноза

где табличное значение -критерия Стьюдента с степенями свободы и уровнем доверия — средняя квадратичная ошибка средней:

Применение доверительного интервала для прогнозирования увеличивает степень надежности прогноза, но, тем не менее, прогнозируемый показатель равен среднему уровню. Чтобы учесть вариацию показателя вокруг средней в прошлом и будущем, для прогностической величины вычисляют доверительный интервал:

так как общая дисперсия, связанная с колебаемостью выборочной средней и варьированием уровней ряда вокруг средней, будет равна , где

Если общая тенденция развития динамического ряда является линейной или выполняется неравенство:

где — остаточная дисперсия, не объясненная экстраполяцией по среднему абсолютному приросту; — общий прирост показателя от начального уровня до конечного, то выполняется экстраполяция по среднему абсолютному приросту. Прогнозное значение уровня определяют по формуле:

где — уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции; -средний абсолютный прирост; — период упреждения.

Если развитие ряда динамики списывается геометрической прогрессией или показательной кривой, то экстраполяция выполняется по среднему темпу роста. Прогнозируемый уровень ряда определяется по следующей формуле:

где — средний темп роста; — уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции.

В качестве базового уровня для экстраполяции берется последний уровень ряда уп, так как будущее развитие начинается именно с этого уровня. В некоторых случаях в качестве базового уровня лучше брать расчетный уровень, соответствующий тренду, описывающему динамический ряд. Для этого определяют экспоненциальную кривую и на ее основе находят базовый уровень. Для выбора базового уровня можно прибегнуть к усреднению нескольких последних уровней, т. е. вычислить экспоненциальную или геометрическую среднюю нескольких последних уровней.

Отметим, что если уровни ряда динамики непрерывно возрастают за рассматриваемый период, то средний темп роста вычисляют по формуле

где — число цепных темпов роста; — произведение уровней динамического ряда; — цепной темп роста; — сумма порядковых номеров уровней динамического ряда; ух — начальный уровень ряда.

Если же уровни ряда динамики в одни годы растут, а в другие снижаются, то для вычисления среднего темпа роста можно воспользоваться следующей формулой:

Доверительный интервал прогноза по среднему темпу роста может быть построен в случае, когда средний темп роста определяется по экспоненциальной функции.

Указанные способы экстраполяции тренда динамического ряда являются весьма приближенными.

Пример 9.1.

Выпуск цемента за период с 1975 по 1990 г. характеризуется динамическим рядом, представленным в табл. 9.1.

Проиллюстрируем построение прогнозов с использованием средних характеристик данного ряда динамики: среднего уровня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

При экстраполяции на основе среднего уровня ряда используется принцип, при котором прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней в прошлом:

Доверительный интервал прогноза для средней вычислим по формуле (9.1):

Табличное значение -статистики Стьюдента с степенями свободы при уровне доверия равно . Среднее квадратичное отклонение, связанное с выборочной средней и варьированием уровней ряда вокруг средней,равно:

Подставив найденные значения в формулу (9.1), получим доверительный интервал (116,1639; 143,9561), который с доверительной вероятностью 0,95 включает прогнозируемое значение производства цемента равно: млн.т.

Считая, что общая тенденция производства цемента является линейной, прогноз производства цемента на 1991г. вычислим по среднему абсолютному приросту: . За базу экстраполяции примем среднее арифметическое трех последних уровней исходного динамического ряда:

Средний абсолютный прирост

Тогда прогнозное значение уровня на 1991г.

Экстраполяция по среднему темпу роста осуществляется по формуле

За базу экстраполяции примем среднее арифметическое трех последних уровней, т. е. . В этом случае прогнозируемый уровень ряда равен:

Доверительные интервалы прогноза по среднему абсолютному приросту и среднему темпу роста могут быть получены в том случае, когда общая тенденция развития является линейной или когда средний темп роста определяется с помощью статистического оценивания параметров экспоненциальной кривой.

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: