Представление информации в различных системах счисления кратко

Обновлено: 17.05.2024

Наиболее распространенные - числовые данные могут быть представлены в различном виде. Вид этот определяется используемой системой счисления.

Система счисления (СС) – совокупность приемов и правил представления чисел в виде конечного числа символов. СС имеет свой алфавит (упорядоченный набор цифр и букв) и совокупность операций образования чисел из этих символов.

Системы счисления разделяют на не позиционные и позиционные.

Не позиционная система счисления – это система, в которой цифры не меняют своего количественного эквивалента в зависимости от местоположения (позиции) в записи числа. К не позиционным системам счисления относится, например, система римских цифр, основанная на употреблении латинских букв:

Значение числа в этой системе определяется как сумма или разность цифр в числе (если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается, а если после - прибавляется). Например, число 1998 записывается как MCMXCVIII.

Не позиционные системы счисления обладают следующими недостатками:

- сложность представления больших чисел (больше 10000);

- сложность выполнения арифметических операций над числами, записанными с помощью этих систем счисления.

Таблица 3 – Сравнение записи чисел в трёх системах счисления

Десятичная

Восьмеричная

Двоичная

Наиболее используемой системой счисления является десятичная система счисления, а для представления чисел в большинстве современных ЭВМ используется двоичная система счисления

Правило перевода числа из десятичной системы в двоичную систему счисления: перевод целой части – делением на основание системы, в которую переводим (на 2), а дробной части – умножением на это основание. Операции выполняются в десятичной системе. Остатки от деления собираются в обратном порядке.

Пример: перевести число 100 в двоичную систему счисления (рисунок 2).

Решение: представим перевод числа в виде столбца, каждая строка которого содержит частное и остаток от деления данного числа на основание двоичной системы счисления n = 2.

Рисунок 2 – Перевод числа из десятичной системы в двоичную

В результате получим число 1100100₂ – результат перевода числа 100₁₀ в двоичную систему счисления (индекс – основание системы счисления).

Как было уже сказано, в вычислительной технике используется двоичная система счисления (данные представляются в виде закодированной последовательности двоичных сигналов). Это обеспечивает высокую надёжность и помехоустойчивость вычислительной системы, так как в ней реализованы устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями (чем проще устройство, тем оно надежнее).

При этом для описания логики функционирования аппаратных и программных средств используется алгебра логики (Булева алгебра). Она оперирует с логическими переменными, которые могут принимать тоже только два возможных значения (true — истина и false - ложь). Это очень удобно, так как обеспечивается универсальность (однотипность) процесса обработки информации на компьютере.

Лекция 2.

Системы счисления разделяют на не позиционные и позиционные.

Не позиционные системы счисления обладают следующими недостатками:

- сложность представления больших чисел (больше 10000);

- сложность выполнения арифметических операций над числами, записанными с помощью этих систем счисления.

Таблица 3 – Сравнение записи чисел в трёх системах счисления

Десятичная

Восьмеричная

Двоичная

Пример: перевести число 100 в двоичную систему счисления (рисунок 2).

Рисунок 2 – Перевод числа из десятичной системы в двоичную

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

пронумеровать разряды исходного числа;
записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. С числами связано еще одно важное понятие — система счисления.

Система счисления — это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить нанепозиционные и позиционные.

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек.

В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и так далее. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками — цифрами. Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз — знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает; поэтому они называются непозиционными системами счисления.

Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

На Руси вплоть до XVIII века, использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы (славянского алфавита) имели цифровое значение, если над ними ставился специальный знак ~ титло. Например Ã — 1, — 4, — 100.

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны при умножении и делении.

Идея позиционной системы счисления впервые возникла в древнем Вавилоне.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

С позиционной десятичной системой счисления вы знакомы с раннего детства, только, возможно, не знали, что она так называется.

Позиционный тип этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные величины.

333 = 3x100 + 3x10 + 3.

32478 = 3 х 10000 + 2 х 1000 + 4 х 100 + 7 х 10 + 8 =

= 3 х 10 4 + 2 х 10 3 + 4 х 10 2 + 7 х 10 1 + 8 х 10 0 .

Отсюда видно, что всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

26,387 = 2 х 10 1 + 6 х 10 0 + 3 х 10 -1 + 8 х 10 -2 + 7 х 10 -3

Системы счисления, используемые в ЭВМ

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавитиз n цифр. Обычно для этого при n n первых арабских цифр, а при n >10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Представление информации в различных системах счисления

Системы счисления Система счисления - совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Системы счисления В непозиционных системах счисления вес цифры (то есть тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 357,6 первый символ 3 означает 3 сотни; второй символ 5 означает 5 десятков, третий символ 7 означает 7 единиц, а четвертый символ 6 означает 6 десятых долей единицы.

Системы счисления Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных символов, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. В настоящее время, кроме хорошо известной нам десятичной системы счисления, в вычислительной технике используются двоичная, восьмеричная, и шестнадцатеричная системы счисления. Все применяемые в настоящее время системы счисления позиционные.

Десятичная СС В десятичной системе счисления для изображения чисел используются 10 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Поэтому основанием десятичной системы счисления является число 10. Например: число 123. 3 - три единицы, 2 - два десятка, 1 - одна сотня.

Десятичная СС Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Десятичная СС В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. так, в развернутой форме запись 123 в десятичной СС будет следующим образом: 2 1 0 12310 = 1*102 + 2*101 + 3*100

Двоичная СС В двоичной системе счисления для изображения чисел используется 2 символа: 0, 1. Поэтому основанием двоичной системы счисления является число 2. Например, число 5 в двоичной СС в полной форме записывается следующим образом: 5 = 1*22+0*21 +1*20 В сокращенной и более привычной форме число 5 в двоичной системе записывается так: 510 = 1012

Системы счисления В восьмеричной системе счисления для изображения чисел используются 8 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основанием восьмеричной системы счисления является число 8. В шестнадцатеричной системе счисления для изображения чисел используются 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F, где: А = 10; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15. Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16.

Перевод чисел из одной СС в другую. Для преобразования чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную необходимо записать число в полной форме и вычислить его значение.

Перевод чисел из одной СС в другую. Число представляется в виде суммы произведений ЦИФРЫ на ВЕС РАЗРЯДА. Вес разряда – это основание СС в степени равной номеру разряда. Разряды нумеруются от разряда единиц- влево. Разряд единиц имеет номер 0.

Перевод из двоичной СС в десятичную Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа. Возьмем любое число, например, 10112. Запишем его в полной форме и произведем вычисления: Т. е число 11 десятичной системы счисления эквивалентно числу 1011 в двоичной системе счисления. 10112 = 1*23+ 0*22+ 1*21+ 1*20= 1*8+ 0*4+ 1*2+ 1*1= 1110 3 2 1 0

Практика 101112=?10 101112=1*24+0*23+1*22+1*21+1*20=16+0+4+2+1=2310 1100112=?10 1100112=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+0+0+2+1=5110 11100112=?10 11100112=1*26+1*25+1*24+0*23+0*22+0*21+1*20=64+32+16+0+0+2+1=11510 268=?10 268=2*81+6*80=16+6=2210

Перевод чисел из десятичной СС Перевод чисел из десятичной СС в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную более сложен. Рассмотрим алгоритм перевода чисел из десятичной СС в двоичную. Исходное десятичное число многократно (до тех пор, пока частное не станет равным нулю) делится на основание двоичной системы, т.е. на 2. Если при делении образуется остаток, то в соответствующий двоичный разряд записывается 1, если делится без остатка, то записывается 0. Запись остатков в двоичное число ведется слева направо, т.е. от младшего разряда к старшим.

Перевод чисел из десятичной СС В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную СС: 1910=100112 Перевод чисел из десятичной СС в восьмеричную и шестнадцатеричную происходит аналогично. 0 2 4 2 2 2 1 19 2 18 9 2 8 4 0 1 1

Практика 7310=?2 7310=10010012 7310=?8 7310=1118 7310=?16 7310=4916

Практика 1100112=?10 1100112=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+0+0+2+1=5110 11100112=?10 11100112=1*26+1*25+1*24+0*23+0*22+0*21+1*20=64+32+16+0+0+2+1=11510

Практика 710=?2 710=1112 910=?2 910=10012 1310=?2 1310=11012 6710=?2 6710=10000112

Домашнее задание: Выучить термины Решить ряд примеров: 1110102 = ?10 100011112 = ?10 9910 = ?2 9910 = ?8 9910 = ?16

Читайте также: