Предел функции в точке кратко

Обновлено: 05.07.2024

Число \(a\) называют пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) , если для любого \(\varepsilon\gt 0\) найдется соответственное ему \(\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0\), такое, что для всех аргументов \(x,\ 0\lt |x-x_0|\lt \delta\) выполняется неравенство \(|f(x)-a|\lt\varepsilon\). \begin \lim_f(x)=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0: \forall x,\ 0\lt|x-x_0|\lt \delta\Rightarrow |f(x)-a|\lt \varepsilon \end

Пусть функция \(f(x)\) задана на множестве \(\chi\), в котором для любого числа \(\delta\) найдётся элемент, лежащий правее его. В этом случае число \(a\) называют пределом функции \(f(x)\) на плюс бесконечности , если для любого \(\varepsilon\gt 0\) найдется соответственное ему \(\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0\), такое, что для всех аргументов, лежащих правее \(\delta\), справедливо неравенство \(|f(x)-a|\lt \varepsilon\). \begin \lim_f(x)=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0:\ \forall x\in \chi, x\gt \delta\Rightarrow |f(x)-a|\lt \varepsilon \end

Пусть функция \(f(x)\) задана на множестве \(\chi\), в котором для любого числа \(\delta\) найдётся элемент, лежащий левее его. В этом случае число \(a\) называют пределом функции \(f(x)\) на минус бесконечности , если для любого \(\varepsilon\gt 0\) найдется соответственное ему \(\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0\), такое, что для всех аргументов, лежащих левее \((-\delta)\), справедливо неравенство \(|f(x)-a|\lt \varepsilon\). \begin \lim_f(x)=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0:\ \forall x\in \chi, x\gt -\delta\Rightarrow |f(x)-a|\lt \varepsilon \end

п.2. Свойства предела функции

п.3. Раскрытие неопределенностей \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) и \(\left[\infty-\infty\right]\)

Для пределов функций правила раскрытия неопределенностей \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) и \(\left[\infty-\infty\right]\) аналогичны правилам для пределов последовательностей (см. §37 данного справочника).

Чтобы раскрыть неопределенность \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) от частного двух многочленов \(P_k(x)\) и \(Q_p(x)\), нужно вынести за скобки x в максимальной степени \(m=max(k,p)\).
В общем случае, это правило справедливо не только для целых, но и для рациональных, а также действительных степеней k и p.

Чтобы раскрыть неопределенность вида \(\left[\infty-\infty\right]\), рекомендуется умножить и разделить функцию от x под знаком предела на сопряженное выражение.

п.4. Раскрытие неопределенности \(\left[\frac00\right]\)

Чтобы раскрыть неопределенность \(\left[\frac00\right]\) возникшую при \(x\rightarrow x_0\) в рациональном дробном выражении, рекомендуется вынести в числителе и знаменателе множители \((x-x_0)\) и сократить их.

Чтобы раскрыть неопределенность \(\left[\frac00\right]\) возникшую при \(x\rightarrow x_0\) в иррациональном дробном выражении, рекомендуется умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, а затем вынести в числителе и знаменателе множители \((x-x_0)\) и сократить их.

п.5. Примеры

Пример 1. Докажите, используя определение предела функции в точке:
a) \( \lim_(3x+1)=4 \)

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(\delta(\varepsilon)\)	0,033	0,0033	0,00033	0,000033	3,3·10 -6	3,3·10 -7

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 мы находим \(\delta(\varepsilon)=\frac\), при этом из \(0\lt|x-1|\lt\delta(\varepsilon)\Rightarrow |(3x+1)-4|\lt\varepsilon\).
Что и требовалось доказать.

Выбираем в качестве \(\delta(\varepsilon)\) меньшую оценку \(\delta_2\): \begin \delta(\varepsilon)=min(5-\sqrt;\sqrt-5)=\delta_2=\sqrt-5\\ 0\lt|x-5|\lt\sqrt-5\\ \delta(\varepsilon)=\sqrt-5 \end Например:

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(\delta(\varepsilon)\)	0,01	0,001	0,0001	0,00001	10 -6	10 -7

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 мы находим \(\delta(\varepsilon)=\sqrt-5\), при этом из \(0\lt|x-1|\lt\delta(\varepsilon)\Rightarrow |(x^2-1)-24|\lt\varepsilon\).
Что и требовалось доказать.

Это определение предела функции на языке последовательностей.

Число называется пределом функции при , стремящемся к (или, что тоже самое, в точке ), если для любой последовательности _> \right\>" width="37" height="19" />
, сходящейся к (_>\ne a\ \forall n" width="83" height="19" />
), последовательность соответствующих значений функции _> \right) \right\>" width="66" height="19" />
сходится к :

Задание	Доказать равенство , пользуясь определением предела функции по Гейне.
Доказательство	Согласно определению предела функции по Гейне:

Пусть <\mathop<\lim >>\,_>=\infty" width="105" height="25" />
, докажем, что <\mathop<\lim >>\,f\left( _> \right)=0" width="125" height="26" />
. Предел значений функции

Поскольку последовательность _> \right\>" width="37" height="19" />
является бесконечно большой (ее предел равен бесконечности), то последовательность _>> \right\>" width="43" height="34" />
– бесконечно малая, а это означает, что ее предел равен нулю. Тогда

Что и требовалось доказать.

Определение предела функции в точке по Коши

Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что при всех таких, что выполняется неравенство :

Задание	Доказать равенство , пользуясь определением предела функции по Коши.
Доказательство	Согласно определению предела функции по Коши, имеем, что

То есть необходимо найти такое положительное , которое будет удовлетворять выше приведенным условиям.

Преобразуем последний модуль:

Далее используем тот факт, что модуль суммы не превышает суммы модулей:

Выделим в полученном выражении полный квадрат:

И по определению это должно быть меньше :

Итак, имеем, что с одной стороны

а с другой (по определению) –

Тогда делаем вывод, что в качестве можно взять

Что и требовалось доказать.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны, то есть если число служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.

Замечание 2. Понятие предела функции в точке – локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием и высотой , с точкой пересечения диагоналей , что все точки графика данной функции на интервале , за исключением, быть может, точки , лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Учитывая то, как будут раскрываться модули, а также тот факт, стремится слева или справа к значению , для записанных выше выражений можно построить следующую таблицу:

Во втором столбце записаны условия, накладываемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как необходимо эти условия трактовать в определениях предела функции по Гейне и Коши соответственно.

Примеры решения задач

Задание	Сформулировать с помощью неравенств утверждение . Привести соответствующий пример.
Решение	Из таблицы берем строки 4 (соответствует ) и 9 (соответствует ). Тогда утверждение для определения предела функции по Гейне с помощью неравенств запишется в виде:

Аналогично, для определения предела функции по Коши имеем:

(рис. 2).

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое - ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или - ∞ не стоит заменять просто на ∞ .

Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f ( x ) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или - ∞ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f ( x ) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f ( x ) = ∞ , lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ или lim x → x 0 f ( x ) = - ∞ , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Число A является пределом функции f ( x ) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f ( x ) = A .

При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как lim x → ∞ f ( x ) = ∞ .

Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:

Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f ( x ) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞

Поскольку она тоже стремится к нулю, то f ( x ) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными ­ – отрицательных.

Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → - ∞ .

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Число B является пределом функции f ( x ) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a ( x n a ).

Такой предел на письме обозначается как lim x → a - 0 f ( x ) = B .

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Число B является пределом функции f ( x ) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a ( x n > a ).

Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f ( x ) = B .

Мы можем найти предел функции f ( x ) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f ( x ) = lim x → a - 0 f ( x ) = lim x → a + 0 f ( x ) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Докажите, что существует конечный предел функции f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.

Решение

Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n 2 :

f ( - 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; - 0 , 958 ; - 1 , 489 ; - 1 , 747 ; - 1 , 874 ; . . . ; - 1 , 998 ; . . . → - 2

Поскольку приведенная последовательность сводится к - 2 , мы можем записать, что lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .

Далее докажем наличие предела справа: запишем аргументы в последовательности, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n > 2 :

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = - 7 , 333 ; - 5 , 333 ; - 3 , 833 ; - 2 , 958 ; - 2 , 489 ; - 2 , 247 ; - 2 , 124 ; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2

Данная последовательность также сходится к - 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n 2 , синие – к x n > 2 ).

Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Рассмотрим функцию, график которой изображён на рисунке:

Для заданного случая предел функции y = f ( x ) при стремлении \(x\) к \(a\) равен \(b\). Записывают: lim x → a f ( x ) = b .

Эта запись отражает следующее: при выборе значений аргумента наиболее близко к значению \(x=a\), соответствующие значения функции приближаются всё ближе к предельному значению \(b\).

То есть f ( x ) ≈ b при \(x\), попадающем в достаточно малую окрестность точки \(a\). Причём, чем меньшая окрестность выбирается, тем точнее приближённое равенство.

Обратим внимание, что сама точка \(x=a\) при этом не рассматривается.

Функцию y = f ( x ) называют непрерывной в точке \(x=a\) , если выполняется соотношение:

lim x → a f ( x ) = f ( a ) .

То есть функция y = f ( x ) является непрерывной в точке \(x=a\), если предел функции y = f ( x ) при \(x\), стремящемся к \(a\), равен значению функции в точке \(x=a\).

Функцию y = f ( x ) называют непрерывной на промежутке \(X\), если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Функция y = f ( x ) , составленная из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений , является непрерывной в любой точке области определения.

Даны определения пределов функции в конечной точке по Коши. Рассмотрены определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Также приводятся определения бесконечных пределов в конечной точке. Разобраны примеры решений задач, в которых требуется показать, что предел равен заданному значению, используя определение Коши.

Определение предела функции по Коши

Конечный предел функции в конечной точке

Определение конечного предела функции по Коши
Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x ₀ , если
1) существует такая проколотая окрестность конечной точки x ₀ , на которой функция определена;
2) для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует такое число δ_ε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих проколотой δ_ε - окрестности точки x ₀ : 0 |x – x ₀ | , значения функции принадлежат ε - окрестности точки a :
|f ( x ) – a| .
Предел функции обозначается так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы

Функция может быть определена не с двух сторон от точки , а в некоторой левой окрестности точки , при или в некоторой правой окрестности, при . Также функция может иметь разрыв в точке . Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

Бесконечный предел функции в конечной точке

Определение бесконечного предела функции по Коши
Предел функции f ( x ) при x → x ₀ равен бесконечности, если
1) существует такая проколотая окрестность конечной точки x ₀ , на которой функция определена;
2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число δ_M > 0 , зависящее от M , что для всех x , принадлежащих проколотой δ_M - окрестности точки x ₀ : 0 |x – x ₀ | , значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f ( x ) | > M .
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Аналогичным образом вводятся определения односторонних пределов.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f ( x ) в точке x ₀ :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x ₀ , на которой функция определена;
2) для любой последовательности < x_n > , сходящейся к x ₀ : ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность < f ( x_n )> сходится к a :
.

Если в качестве окрестности взять левостороннюю окрестность точки x ₀ , то получим определение левого предела. Если правостороннюю – то получим определение правого предела.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения задач, в которых нужно показать существование пределов, используя определение предела по Коши.
⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Используя эпсилон и дельта - рассуждения показать, что
.

Введем обозначения:
.
Выпишем определение конечного предела функции в точке по Коши:
.
Преобразуем разность:

.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при , и .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .

Пример 2

Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
.

Введем обозначение:
.
Выпишем определение предела функции в точке , равного бесконечности, по Коши:
.
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от .
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при , и .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .

Пример 3

Все примеры ⇑ Используя определение предела по Коши показать, что
.

Введем обозначение:
.
Выпишем определение левого предела в точке , равного , по Коши:
.
В нашем случае .
Выразим многочлены в числителе и знаменатели через многочлены от .
;

.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при , и .

Поскольку всегда можно уменьшить, то возьмем . Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Читайте также:

  
• Санитарно гигиенические требования это кратко
  
• Атлетическая гимнастика работа на тренажерах кратко
  
• Из курса всеобщей истории вспомните где и когда существовала деспотическая форма правления кратко
  
• Методика работы по совершенствованию двигательных умений и навыков в доу
  
• Модернизация системы образования в россии особое внимание школы педагогов