Предел функции в школе

Обновлено: 02.07.2024

Цели: дать понятие предела функции; рассмотреть простейшие его свойства.

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

1. Найдите сумму геометрической прогрессии 9, 3, 1, 1/3, .

2. Решите уравнение 2х + 4х2 + 8х3 +. = 3 (где |х|

3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(16).

1. Найдите сумму геометрической прогрессии 8, 3, 1/2, 1/8, .

2. Решите уравнение 3х + 6х2 + 12х3 + . -2 (где |х|

3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(24).

III. Изучение нового материала

Понятие и строгое определение предела функции достаточно сложные, и многие студенты их не воспринимают и не умеют ими пользоваться. Поэтому на этом занятии мы попытаемся дать некие представления о пределе функции и его свойствах, не вводя строгого определения предела. Все-таки при этом попытаемся связать предел функции с пределом последовательности (что обсуждалось ранее).

1. Предел функции на бесконечности

Будем рассматривать поведение функции у = f (х) при х → +∞. Пусть область определения такой функции D ( f ) = [а; +∞). Возьмем последовательность аргументов х n = а + n (где n ∈ N ) и соответствующую ей последовательность значений у n = f ( xn ) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Разумно считать, что число b является и пределом функции у = f (х) при стремлении x к плюс бесконечности. Для описания этой математической модели используют запись При этом прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f (х). Другими словами, при х → +∞ значения функции у = f (х) практически равны числу b .

Найдем предел функции

Рассмотрим последовательность аргументов х n = n (где n ∈ N ).

Очевидно, что при n → ∞ аргументы х n → +∞. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид: Предел такой последовательности легко вычисляется: Тогда и предел данной функции

Аналогично можно дать определение предела функции у = f ( x ) при х → -∞. Пусть область определения этой функции D ( f ) = (-∞; а]. Рассмотрим последовательность аргументов х n = а - n (где n ∈ N ), которая при n → ∞ стремится к -∞ (т. е. х n → -∞). Возьмем соответствующую ей последовательность значений у n = f (х n ) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Тогда будем считать, что число b является и пределом функции у = f (х) при стремлении х к минус бесконечности, т. е. При этом прямая у = b будет горизонтальной асимптотой графика функции у = f ( x ).

Если выполнены соотношения то их объединяют одной записью или еще более короткой записью (читают: предел функции у = f (х) при стремлении х к бесконечности равен b ).

Так как предел функции связан с пределом последовательности, то при вычислении подобных пределов используются аналогичные теоремы.

1) Для любого натурального показателя т справедливо соотношение

2) Если то:

а) предел суммы равен сумме пределов, т. е.

б) предел произведения равен произведению пределов, т. е.

в) предел частного равен частному пределов (при с ≠ 0), т. е.

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е.

В силу этих теорем вычисление пределов функции похоже на вычисление пределов последовательностей.

Найдем

Преобразуем данную функцию Для этого выражение умножим и разделим на сопряженную величину: Теперь легко вычислить предел функции: Отсюда и

2. Предел функции в точке

Такое понятие характеризует поведение функции у = f (х) в окрестности точки х = а. При этом в самой точке х = а функция может и не существовать. Попробуем сформулировать понятие предела функции у = f ( x ) в точке х = а. Рассмотрим последовательности аргументов которые сходятся к точке а, т. е. х n → а при n → ∞. Также рассмотрим соответствующие последовательности у n = f (х n ) значений функции. Пусть Тогда разумно считать, что число b является пределом функции у = f ( x ) в точке х = а. При этом используют запись (читают: предел функции у = f ( x ) при стремлении х к а равен b ).

Обсудим три часто встречающиеся ситуации (см. рисунок).

За исключением точки х = а, функции одинаковы, пределы этих функций также равны. Отличие функций состоит в следующем: в случае а функция существует во всех точках и предел функции равен ее значению в точке а (т. е. b = f ( a )); в случае б функция не определена в точке а (т. е. f ( a ) не существует); в случае в функция определена во всех точках, но b ≠ f ( a ).

Таким образом, графический смысл предела заключается в следующем: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению х = а, то соответствующие значения функции все меньше и меньше будут отличаться от предела b .

Заметим, что положение еще сложнее. Обсудим функцию, график которой приведен на рисунке.

Функция у = f ( x ) определена во всех точках. Что касается предела функции, то ситуация усложняется. Видно, что при стремлении х к а слева (т. е. при х a ) при стремлении х к а справа (т. е. при х > a ) Поэтому начинает возникать понятие одностороннего предела функции. Сейчас мы не имеем возможности углубляться в эти понятия. Однако помните, что функции и их графики могут быть очень непривычными и сложными. Чтобы их характеризовать, и приходится вводить все более и более сложные понятия.

Обсудим теперь очередное понятие - непрерывность функции y = f ( x ) в точке х = а. Ранее мы говорили, что функция непрерывна, если ее график представляет собой сплошную линию (без разрывов, выколотых точек и т. д.). Таковой является функция а на рис. а-в.

Определение 1. Функцию у = f ( x ) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции при стремлении хка равен ее значению в этой точке, т. е.

Докажем, что функция у = х2 непрерывна в любой точке х = а.

Сначала найдем предел функции Рассмотрим последовательность (где n ∈ N ), сходящуюся к а. Тогда так как и С другой стороны, f ( a ) = а2. Видно, что Поэтому по определению данная функция у = x 2 непрерывна в любой точке х = а.

Функция у = f ( x ) непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

В курсе математического анализа доказано утверждение: если выражение f ( x ) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f ( x ) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f ( x ).

Понятие непрерывности функции помогает вычислять пределы функции, так как

Найдем

Данная функция определена в точке х = 1. Поэтому

Вычислим

Функция определена в точке х = π /6. Получим:

Если функция у = f (х) не определена в точке х = а, то предел функции также можно вычислить.

Найдем

При x = 4 числитель и знаменатель функции равны нулю, а делить на нуль нельзя. Поэтому сократим дробь: Теперь вычислим предел этой функции: Заметим, что выражения совпадают при х ≠ 4. Причем для вычисления предела функции при x → 4 саму точку x = 4 исключают из рассмотрения.

Вычислим

1-й способ. Поступим аналогично предыдущему примеру и сократим дробь. Для этого числитель и знаменатель умножим на величину Получим:

2-й способ. Введем новую переменную Тогда при х → 3 величина и х = z 2 - 1. Имеем:

При вычислении некоторых пределов полезно помнить, что (первый замечательный предел).

Найдем

Используем формулу понижения степени и теоремы о пределах:

Вычислим

Представим функцию в виде

При вычислении предела функции в точке, как и при вычислении предела последовательности и предела функции на бесконечности, используют теорему о пределах. Если то:

3. Приращение аргумента. Приращение функции

Для характеристики поведения функции у = f ( x ) вблизи точки х0 необходимо знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятие приращений аргумента и функции.

Определение 2. Пусть функция у = f ( x ) определена в точках х0 и х0 + Δх. Величину Δх называют приращением аргумента (при переходе от точки х0 к точке x 0 + Δх), а разность Δ f = f (х0 + Δх) - f (х0) называют приращением функции.

Обсудим геометрический смысл введенных понятий приращений аргумента и функции.

Рассмотрим график функции у = f ( x ) и две точки A ( x 0 , f ( x 0 )) и B (( x 0 + Δх; f ( x 0 + Δх)), принадлежащие графику. Проведем через эти точки секущую l . В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС = Δх и ВС = Δ f Угловой коэффициент к секущей l равен tg а = Δ f /Δ x . (Напомним, что угловой коэффициент прямой у = k х + b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.)

Разумеется, введенные понятия используются в физике и технике. Запишем, например, среднюю скорость движения тела за промежуток времени [ t 0 ; t 0 + Δ t ]. При движении тела по прямой средняя скорость где x ( t ) - координата тела.

По аналогии со средней скоростью движения тела выражение называют средней скоростью изменения функции f ( x ) на промежутке [х0; х0 + Δх].

Найдем приращения аргумента Δх и функции Δ f в точке х0 = 3, если f ( x ) = 3х2 и:

Используя рассмотренные понятия, получим:

Найдем приращение Δ f функции f (х) в точке х0, если приращение аргумента равно Δх и:

Используя понятие приращения функции, получим:

Дан квадрат со стороной а. Найдем погрешность Δ S , допущенную при вычислении площади S = а2 этого квадрата, если погрешность при измерении стороны квадрата равна Δх.

По определению приращения аргумента х = а + Δх, тогда приращение функции

В заключение еще раз обсудим непрерывность функции у = f ( x ) в точке х = а. Ранее данное определение значило, что функция непрерывна, если Так как х → а, то приращение аргумента Δх = х - а → 0. При этом f (х) → f ( a ), т. е. приращение функции Δ f = f ( x ) - f (а) → 0 или Заметим, что из примеров 10-12 следует, что для фиксированной точки а приращение функции Δ f зависит только от приращения аргумента, т. е. Δ f является функцией Δх.

Определение 3. Функция у = f ( x ) непрерывна в точке х = а, если при Δх = х - а → 0 величина Δ f = f ( x ) - f ( a ) → 0.

Покажем, что функция f (х) = х2 непрерывна в любой точке х - а.

Рассмотрим приращение аргумента Δх = х - а, тогда х = а + Δх. Найдем и приращение функции Очевидно, что Тогда f (х) = х2 непрерывна в любой точке х = а.

IV. Контрольные вопросы

1. Понятие о пределе функции на бесконечности.

2. Предел функции в точке х = а.

3. Дайте определение приращения аргумента и приращения функции.

4. Чему равен угловой коэффициент секущей к графику функции?

5. Запишите определение средней скорости движения тела.

6. Что называют средней скоростью изменения функции?

7. Непрерывность функции в точке х = а.

8. Непрерывность функции на промежутке X.

V. Задание на уроках

§ 26, № 1; 3; 5 (а, в); 7 (б, г); 8 (б); 10 (а, 6); 11; 12 (в, г); 14 (а); 15 (в, г); 17 (а, б); 18 (в); 19 (а); 21 (в, г); 23 (а); 24 (б).

VI. Задание на дом

§ 26, № 2; 4; 5 (б, г); 7 (а, в); 8 (г); 10 (в, г); 12 (а, б); 13; 14 (б); 15 (а, б); 17 (в, г); 18 (б); 19 (б); 21 (а, б); 23 (б); 24 (г).

VII. Творческое задание

Ответы:

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ predel_funktsii.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Понятие предела функции ГБПОУ МО СП СЭТ Преподаватель математики Крылова И.К.

Тип занятия – комбинированный урок, включающий в себя повторение пройденного материала, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного. Цели занятия: Образовательные: повторить понятие предела числа, предела функции; научиться вычислять пределы функции; систематизировать полученные знания, активизировать самоконтроль, взаимоконтроль.

Развивающие: развивать умения анализировать собственные потребности, выбора соответствующей позиции на каждый этап урока с последующим анализом своей деятельности. Воспитательные: воспитывать: - познавательный интерес к математике; - информационную культуру и культуру общения; - самостоятельность, способность к коллективной работе.

План: I. Повторение материала. 1. Понятие функции. 2. Предел функции в точке. 3. Основные теоремы о пределах. 4. Замечательные пределы и формулы в помощь для вычисления пределов. II. Закрепление материала. 1. Решение простых пределов. 2. Раскрытие неопределённостей.

I. Повторение материала. 1. Понятие функции. Определение. Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) . В этом случае х называется аргументом, а у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.

2. Предел функции в точке. Определение. Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию |х — x0|

Выбранный для просмотра документ Предел ОТКРЫТЫЙ.docx

ПЛАН ЗАНЯТИЙ № 1-2

Тип занятия – комбинированный урок, включающий в себя повторение пройденного материала, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели занятия:

Образовательные:

повторить понятие предела числа, предела функции; научиться вычислять пределы функции; систематизировать полученные знания, активизировать самоконтроль, взаимоконтроль.

развивать умения анализировать собственные потребности, выбора соответствующей позиции на каждый этап урока с последующим анализом своей деятельности.

Воспитательные:

- познавательный интерес к математике;

- информационную культуру и культуру общения;

- самостоятельность, способность к коллективной работе.

1. Организация занятия

Мобилизация учебной деятельности учащихся: доброжелательный настрой учителя и учащихся, быстрое включение класса в деловой ритм, организация внимания всех учащихся

Методы проверки: устный опрос, диалоговые технологии.

I . Повторение материала.

1. Понятие функции.

2. Предел функции в точке.

3. Основные теоремы о пределах.

4. Замечательные пределы и формулы в помощь для вычисления пределов.

II . Закрепление материала.

1. Решение простых пределов.

2. Раскрытие неопределённостей.

I . Повторение материала.

1. Понятие функции.

Определение . Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) .

В этом случае х называется аргументом, а у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.

2. Предел функции в точке.

Определение. Число А называется пределом функции f в точке x ₀ , если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x ₀ , удовлетворяющих условию

|х — x ₀ | ₀ , выполняется неравенство |f (x) — A|

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (х α ), показательная функция (a x ), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

Примеры функций, имеющих предел в точке

у = x 2

Предел функции при x → 2 равен 4 (при x → 2 значения функции → 4).

Предел функций при x →0 равен 0.

3. Основные теоремы о пределах.

Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют конечные пределы в точке a , причем

То

Если B ≠ 0 и если g ( x ) ≠ 0 в δ-окрестности точки a .

4. Замечательные пределы и формулы в помощь для вычисления пределов.

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое (+∞) или бесконечно малое (–∞) число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем ввиду сразу оба этих её смысла, однако запись вида +∞ или –∞ не стоит заменять просто на ∞ .

Запись читается >. Чаще всего – именно х , хотя вместо > на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ∞ ).
3) Функции под знаком предела, например:

то есть выражение > следует понимать так – > последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

В нижней части мы пишем основной аргумент х , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению х ₀ он будет стремиться. Если значение х ₀ является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение х ₀ стремится к бесконечности (не важно, +∞ или –∞ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

если последовательность её значений будет сходиться к А для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).


Запись предела функции выглядит так:

предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (отрицательной или положительной).

Если нельзя определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

РЕШЕНИЕ:


Подставляем вместо х бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю.

Для наглядности и убедительности можно подставить вместо х супербольшое число. При делении получите супермалое число.

Если две функции f ( x ) и g ( x ) равны в некоторой окрестности точки х ₀ , за исключением, может быть самой точки х ₀ , то либо они имеют один и тот же предел при

Формула справедлива для любого конечного числа функций.

– предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, то есть

Формула справедлива для любого конечного числа функций.

– предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, то есть

Непосредственное применение теоремы о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию.

Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

где х ₁ = 2, х ₂ = –0,5 – корни квадратного трёхчлена. Теперь сократим дробь и вычислим предел данной функции:

Подставим бесконечность в функцию. Что получается вверху ? Бесконечность. А внизу ? Тоже бесконечность. Таким образом получилась так называемая неопределённость вида

и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый приём решения, который и рассмотрим .

Необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х 2 .

Рассмотрим группу пределов, когда х стремится к конечному числу, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращённого умножения.

Решаем предел дальше. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно, либо в задании опечатка.

Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это надо делать. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела.

встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести –1 за скобки).

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное что, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Сначала подставляем 3 в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.

которую нужно устранять.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределённости

Можно сказать что ( a – b ) в числителе уже есть. теперь для применения формулы осталось организовать ( a + b ) (которое и называется сопряжённым выражением).
Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение :

не пропала, корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, её можно превратить в постоянное число, подставив тройку под корни

Число надо вынести за значок предела.
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь.

Сначала подставляем –2 в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.

Функциюy = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим функции, графики которых изображены на рисунках 1-3.

Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

Ответим на несколько вопросов, касаемых данных функций.

Чем они отличаются друг от друга?

Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = а.

Как ведет себя функция в точке х = а на первом графике?

Для функции у=f(х) при х = а значение функции не существует, функция в указанной точке не определена.

Как ведет себя функция в точке х = а на втором графике?

Для функции у=f(х) при х = а значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке.

Как ведет себя функция в точке х = а на третьем графике?

Для функции у=f(х) при х = а значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть b.

Если мы исключим точку х = а из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

В общем случае эта запись выглядит следующим образом:.

А теперь ответим на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = а?

Непрерывной будет третья функция.

Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.

Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).

Правило 1. Предел суммы равен сумме пределов:

Правило 2. Предел произведения равен произведению пределов:

Правило 3. Предел частного равен частному пределов:

Перейдем к практической части.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Вычислить:

выражение х 3 – 2х 2 + 5х +3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х 3 – 2х 2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

.

Решение: функция определена в любой точке , в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х=2. Имеем:

Пример 3. Вычислить.

если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

Значит, функции и тождественны при условии . Но при вычислении предела функции при саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит,

Читайте также:

  
• Школьный портал диагностическая работа
  
• Правление царевны софьи кратко презентация
  
• Философия эпохи возрождения этапы особенности учение н кузанского кратко
  
• Инновационные методы обучения в начальной школе
  
• Больная 40 лет педагог начальной школы обратилась с жалобами на удушливый приступообразный кашель