Предел функции на бесконечности кратко
Обновлено: 05.07.2024
Число $b$ называется пределом функции $y=f(x)$ на бесконечности или при $x \rightarrow \infty$, если для любого $\forall \epsilon>0$ существует число $\delta=\delta(\epsilon)>0$ такое, что для всех $x \in D(f)$ из того, что $|x|>M$, выполняется неравенство $|f(x)-b| \lt \epsilon$.
Бесконечно большая функция
Функция $f(x)$ называется бесконечно большой в точке $a$, если для любого $M>0$ существует такое $\delta=\delta(M)>0$, что для любого $x \in D(f)$, удовлетворяющего неравенству $0 \leq |x-a| \leq \delta$, выполняется неравенство: $|f(x) \geq M|$. В этом случае пишут: $\lim _ f(x)=\infty$
Бесконечно большой функцией в точке 0 является функция $f(x)=\frac$
Функция $f(x)$ называется бесконечно большой при $x \rightarrow \infty$, если для любого $M>0$ существует такое число $\delta=\delta(\epsilon)>0$ такое, что для всех $x$ из области определения функции $D(f)$, которые удовлетворяют неравенству $|x|>\delta$, выполняется неравенство $|f(x)|>M$: $\lim _ f(x)=\infty$
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Функция $y=e^x$ является бесконечно большой функцией при $x \rightarrow \infty$.
В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.
Понятие предела
В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое + ∞ или бесконечно малое - ∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида + ∞ или - ∞ не стоит заменять просто на ∞ .
Запись предела функции имеет вид lim x → x 0 f ( x ) . В нижней части мы пишем основной аргумент x , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x 0 он будет стремиться. Если значение x 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x 0 стремится к бесконечности (не важно, ∞ , + ∞ или - ∞ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.
Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. lim x → x 0 f ( x ) = A , то его называют конечным пределом, если же lim x → x 0 f ( x ) = ∞ , lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ или lim x → x 0 f ( x ) = - ∞ , то бесконечным.
Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
Что такое предел функции
В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.
Число A является пределом функции f ( x ) при x → ∞ , если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).
Запись предела функции выглядит так: lim x → ∞ f ( x ) = A .
При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Запись выглядит как lim x → ∞ f ( x ) = ∞ .
Докажите равенство lim x → ∞ 1 x 2 = 0 с помощью основного определения предела для x → ∞ .
Решение
Начнем с записи последовательности значений функции 1 x 2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x = 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0 . См. на картинке:
Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.
x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.
Вычислите предел lim x → ∞ e 1 10 x .
Решение
Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f ( x ) = e 1 10 x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1 , 10 ; 1 , 49 ; 2 , 45 ; 4 , 95 ; 12 , 18 ; . . . ; 22026 , 46 ; . . .
Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x = - 1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0 , 90 ; 0 , 67 ; 0 , 40 ; 0 , 20 ; 0 , 08 ; . . . ; 0 , 000045 ; . . . x = 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . . , 10 2 , . . . → ∞
Поскольку она тоже стремится к нулю, то f ( x ) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.
Ответ: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , п р и x → + ∞ 0 , п р и x → - ∞ .
Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.
Число B является пределом функции f ( x ) слева при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются меньше a ( x n a ).
Такой предел на письме обозначается как lim x → a - 0 f ( x ) = B .
Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.
Число B является пределом функции f ( x ) справа при x → a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции x n , сходящейся к a , если при этом ее значения остаются больше a ( x n > a ).
Этот предел мы записываем как lim x → a + 0 f ( x ) = B .
Мы можем найти предел функции f ( x ) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. lim x → a f ( x ) = lim x → a - 0 f ( x ) = lim x → a + 0 f ( x ) = B . В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.
Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.
Докажите, что существует конечный предел функции f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 в точке x 0 = 2 и вычислите его значение.
Решение
Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n 2 :
f ( - 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 , 667 ; 2 , 667 ; 0 , 167 ; - 0 , 958 ; - 1 , 489 ; - 1 , 747 ; - 1 , 874 ; . . . ; - 1 , 998 ; . . . → - 2
Поскольку приведенная последовательность сводится к - 2 , мы можем записать, что lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2 .
Далее докажем наличие предела справа: запишем аргументы в последовательности, которая будет сходиться к x 0 = 2 , если x n > 2 :
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:
f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = - 7 , 333 ; - 5 , 333 ; - 3 , 833 ; - 2 , 958 ; - 2 , 489 ; - 2 , 247 ; - 2 , 124 ; . . . , - 2 , 001 , . . . → - 2
Данная последовательность также сходится к - 2 , значит, lim x → 2 + 0 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .
Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 в точке x 0 = 2 существует, и lim x → 2 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .
Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к x n 2 , синие – к x n > 2 ).
Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и lim x → 2 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .
Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.
Определения конечных и бесконечных пределов функции на бесконечности по Коши. Определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Примеры решений задач, в которых, используя определение Коши, требуется показать, что предел на бесконечности равен заданному значению, .
Конечный предел функции на бесконечности
Определение предела по Коши
Число a называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к бесконечности ( ), если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K , на которой функция определена (здесь K – положительное число);
2) для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0 , существует такое число Nε > K , зависящее от ε , что для всех x, |x| > Nε , значения функции принадлежат ε - окрестности точки a :
|f ( x ) – a| .
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .
Также часто используется следующее обозначение:
.
Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.
Односторонние пределы
Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.
Левый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к минус бесконечности ( ) определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к плюс бесконечности ( ) :
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
; .
Бесконечный предел функции на бесконечности
Определение бесконечного предела по Коши
Предел функции f ( x ) при x стремящемся к бесконечности ( ), равен бесконечности, если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K , на которой функция определена (здесь K – положительное число);
2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число NM > K , зависящее от M , что для всех x, |x| > NM , значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f ( x ) | > M .
Бесконечный предел при x стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.
Определение предела функции по Гейне
Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f ( x ) в точке x 0 :
,
если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки x 0 , на которой функция определена (здесь или или );
2) для любой последовательности < xn > , сходящейся к x 0 : ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность < f ( xn )> сходится к a :
.
Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x 0 : или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.
Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения двух примеров, в которых, используя определение Коши, нужно показать, что пределы имеют определенные значения:
⇓;
⇓, ⇓, где .
Пример 1
Все примеры ⇑ Используя определение Коши показать, что
.
Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции . Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение. ;
.
Корни уравнения:
; .
Поскольку , то и .
Поэтому функция определена при . Это мы будем использовать в дальнейшем.
Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на –1 :
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при , и .
Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем . Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .
Пример 2
Все примеры ⇑ Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1) ;
2) .
1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности
Поскольку , то функция определена для всех x .
Выпишем определение предела функции при , равного минус бесконечности:
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M , имеется число , так что при ,
.
Это означает, что .
2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности
Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:
.
Выпишем определение правого предела функции при :
.
Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .
Поскольку это выполняется для любого положительного числа , то
.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Число \(a\) называют пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) , если для любого \(\varepsilon\gt 0\) найдется соответственное ему \(\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0\), такое, что для всех аргументов \(x,\ 0\lt |x-x_0|\lt \delta\) выполняется неравенство \(|f(x)-a|\lt\varepsilon\). \begin \lim_f(x)=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0: \forall x,\ 0\lt|x-x_0|\lt \delta\Rightarrow |f(x)-a|\lt \varepsilon \end
Пусть функция \(f(x)\) задана на множестве \(\chi\), в котором для любого числа \(\delta\) найдётся элемент, лежащий правее его. В этом случае число \(a\) называют пределом функции \(f(x)\) на плюс бесконечности , если для любого \(\varepsilon\gt 0\) найдется соответственное ему \(\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0\), такое, что для всех аргументов, лежащих правее \(\delta\), справедливо неравенство \(|f(x)-a|\lt \varepsilon\). \begin \lim_f(x)=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0:\ \forall x\in \chi, x\gt \delta\Rightarrow |f(x)-a|\lt \varepsilon \end
Пусть функция \(f(x)\) задана на множестве \(\chi\), в котором для любого числа \(\delta\) найдётся элемент, лежащий левее его. В этом случае число \(a\) называют пределом функции \(f(x)\) на минус бесконечности , если для любого \(\varepsilon\gt 0\) найдется соответственное ему \(\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0\), такое, что для всех аргументов, лежащих левее \((-\delta)\), справедливо неравенство \(|f(x)-a|\lt \varepsilon\). \begin \lim_f(x)=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0:\ \forall x\in \chi, x\gt -\delta\Rightarrow |f(x)-a|\lt \varepsilon \end
п.2. Свойства предела функции
п.3. Раскрытие неопределенностей \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) и \(\left[\infty-\infty\right]\)
Для пределов функций правила раскрытия неопределенностей \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) и \(\left[\infty-\infty\right]\) аналогичны правилам для пределов последовательностей (см. §37 данного справочника).
Чтобы раскрыть неопределенность \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) от частного двух многочленов \(P_k(x)\) и \(Q_p(x)\), нужно вынести за скобки x в максимальной степени \(m=max(k,p)\).
В общем случае, это правило справедливо не только для целых, но и для рациональных, а также действительных степеней k и p.
Чтобы раскрыть неопределенность вида \(\left[\infty-\infty\right]\), рекомендуется умножить и разделить функцию от x под знаком предела на сопряженное выражение.
п.4. Раскрытие неопределенности \(\left[\frac00\right]\)
Чтобы раскрыть неопределенность \(\left[\frac00\right]\) возникшую при \(x\rightarrow x_0\) в рациональном дробном выражении, рекомендуется вынести в числителе и знаменателе множители \((x-x_0)\) и сократить их.
Чтобы раскрыть неопределенность \(\left[\frac00\right]\) возникшую при \(x\rightarrow x_0\) в иррациональном дробном выражении, рекомендуется умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение, а затем вынести в числителе и знаменателе множители \((x-x_0)\) и сократить их.
п.5. Примеры
Пример 1. Докажите, используя определение предела функции в точке:
a) \( \lim_(3x+1)=4 \)
| ε | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| \(\delta(\varepsilon)\) | 0,033 | 0,0033 | 0,00033 | 0,000033 | 3,3·10 -6 | 3,3·10 -7 |
Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 мы находим \(\delta(\varepsilon)=\frac\), при этом из \(0\lt|x-1|\lt\delta(\varepsilon)\Rightarrow |(3x+1)-4|\lt\varepsilon\).
Что и требовалось доказать.
Выбираем в качестве \(\delta(\varepsilon)\) меньшую оценку \(\delta_2\): \begin \delta(\varepsilon)=min(5-\sqrt;\sqrt-5)=\delta_2=\sqrt-5\\ 0\lt|x-5|\lt\sqrt-5\\ \delta(\varepsilon)=\sqrt-5 \end Например:
| ε | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| \(\delta(\varepsilon)\) | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 10 -6 | 10 -7 |
Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 мы находим \(\delta(\varepsilon)=\sqrt-5\), при этом из \(0\lt|x-1|\lt\delta(\varepsilon)\Rightarrow |(x^2-1)-24|\lt\varepsilon\).
Что и требовалось доказать.
Читайте также: