Правила приближенных вычислений в математике кратко

Обновлено: 07.07.2024

При решении задач по электротехнике и электронике числовые значения, с которыми приходится иметь дело, большей частью являются приближенными. Задачи с приближенными данными следует решать, учитывая правила приближенных вычислений.

Правила приближенных вычислений состоят в следующем.

1.Учитывать количество значащих цифр, необходимых для соблюдения определенной точности вычислений. Значащими называют все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях: а) когда он стоит между значащими цифрами; б) когда он стоит в конце числа и известно, что единицы соответствующего разряда в данном числе нет. Например:

1603 - 4 значащих цифры;

1,03 - 3 значащих цифры;

1,00 - 3 значащих цифры;

0,00103 - 3 значащих цифры.

2. Так как с помощью вычислений получить результат более точный, чем исходные данные невозможно, то достаточно производить вычисления с числами, содержащими не более знаков, чем в исходных данных.

3. При сложении или вычитании приближенных чисел, имеющих различную точность, более точное должно быть округлено до точности менее точного. Например:

9.6 + 0.176 = 9.6 + 0,2 = 9.8

100,8 - 0,427 = 100,8 -0.4 = 100.4

4. При умножении и делении следует в полученном результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр. Например:

0.637 × 0.023 = 0.0132 но не 0.0132496;

6.32 : 3 = 2 но не 2.107.

5. При возведении в квадрат или куб нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число. Например:

1.25 2 = 1.56, но не 1.5625;

1.01 3 = 1.03, но не 1.030301 .

6. При извлечении квадратного и кубического корней в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число. Например:

10 1/2 = 3.1, но не 3.162 ;

10 1/3 = 2.1, но не 2.154.

7. При вычислении сложных выражений соблюдаются правила в зависимости от вида производимых действий.

8. Когда число мало отличается от единицы, можно пользоваться ниже приведенными приближенными формулами.

Если a, b , c малы по сравнению с единицей (меньше 0.1), то:

(1±a) ×(1±b) ×(1±c) = 1 ± a ± b ± c ;

(1±a) 1/2 = 1± a/2 ; (1±a) n = 1± n × a;

1/ (1±a) n = 1 + n × a;

е а = 1+a; ln(1±a) =±a - a 2 /2;

Соблюдая эти правила, студент сэкономит время на вычислениях при решении задач по электротехнике и электронике.

Основные законы и формулы электротехники

Сила тока I = dq/dt

Закон Ома для замкнутой цепи I = e/ (R + r)

Закон Джоуля -Ленца для пост. тока Q = I 2 R t

То же для тока, зависящего от времени Q = ò I 2 (t)Rdt

Сопротивление однородного проводника R = r ℓ /S

Первый закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа

Ток через индуктивность i=

Ток через емкость i=C

Реактивное сопротивление индуктивности X_L=ωL

Реактивное сопротивление емкости X_C=

Полное реактивное сопротивление

последовательно соединенных элементов

Мощность в цепи переменного тока:

активная P = I·U cos φ

реактивная Q = I·U sin φ

Мощность в трехфазных цепях при симметричной нагрузке

Среднее значение в цепи переменного тока А_ср = 2А_мах/π ≈ 0,637 А_мах

Действующее значение в цепи переменного тока А = А_мах/ ≈ 0,707 А_мах,

В практической деятельности люди постоянно имеют дело со значениями разных величин: длины, площади, объема, массы, температуры и так далее.

Числа, встречающиеся на практике, бывают двух видов. Одни дают истинное значение величины, другие – только приблизительное. Первые называют точными , вторые – приближенными .

Точное значение величины удается найти лишь в некоторых случаях.

Можно точно указать число вагонов железнодорожного поезда.

Точно подсчитать, сколько учеников есть одновременно в классе.

В книге 512 страниц, число 512 – точное.

В шестиугольнике 9 диагоналей, число 9 – точное.

В классе есть 29 учеников, число 29 – точное.

Однако по большей части приходится иметь дело лишь с приближенными значениями величин.

Чаще всего удобно пользоваться приближёнными числами вместо точных, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря, верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются нам в жизни на практике. Приближённые числа могут получаться, прежде всего, при счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.

Лишь приблизительно оценивают :

– количество зрителей телепередачи,

– количество перелетных птиц,

– количество деревьев в лесу.

Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 – приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, а с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.

Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 – приближённое, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.

Приближенные значения получаются в результате измерений.

Можно ли измерять длину рейки точно ? Нет. Даже если услышите, что длина какой-то рейки равняется, например, 9,42783 м , не верьте этому. Ведь длину такой рейки с точностью до сотой миллиметра нельзя измерять. Результат каждого измерения – приближенное значение величины.

Невозможно, точно измерять длину стержня. Ведь измерение мы проводим с помощью какого-то прибора (линейки, штангенциркуля, микрометра, оптиметра (оптико-механический измерительный прибор) и тому подобное), а точность измерения прибором всегда ограничена. Кроме того, изготовляя прибор в заводских условиях, гарантируют лишь ту или другую степень точности его изготовления. Наконец, выполняя измерение, мы можем допускать ошибки, связанные с нашим опытом работы и личными качествами.

Невозможно точно измерять площадь земельного участка, температуру воздуха, скорость полета самолета и так далее.

Приближенные значения получают при округлении истинных значений величин.

Приближённые и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берётся только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах .

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа.

Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной.

Для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3 , 6 , 7 , а сомнительными 1 и 4 . В записи приближённого числа оставляют только верные цифры. Дробь будет выглядеть таким образом – 3,67 .

Число 2,19563 в расчете, который не нуждается высокой точности, можно округлить, заменив его числом 2,196 или даже числом 2,20 , которые являются приближенными значениями числа 2,19563 с излишком.

Итак, в разных случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и к приближённому числу.

Границы значения величины.

Всякое измерение (длины, веса и так далее) выполняется только приблизительно. Иногда, даже в тех случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и небольшая разность.

Рассмотрим процесс определения массы детали с помощью рычажных весов и набора гирь, наименьшая из которых имеет массу 1 г.

Обозначим массу детали в граммах через m , тогда результат взвешивания можно записать в виде двойного неравенства :

Заменив потом гирю 10 г гирей 5 г , и убедимся, что масса детали больше 25 г,

Положив на чашу весов с гирьками еще 2 г , заметим, что масса детали меньше чем 27 г.

Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали в граммах :

26 г – приближённое значение с недостачей,

27 г – приближённое значение с излишком.

Другими словами, мы установили границы значения массы в граммах. Число 26 – нижняя граница, число 27 – верхняя граница.

Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна 2 г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа 25 г и 27 г, то есть масса была бы определена менее точно.

Зная пределы значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая зависит от первой.

Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины а стороны равностороннего треугольника :

5,4 ≤ а ≤ 5,5.

Надо найти пределы периметра Р .

Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле :

Р = 3а .

Из условия, что а ≥ 5,4 выплывает, что 3а ≥ 16,2 .

Из условия, что а ≤ 5,5 выплывает, что 3а ≤ 16,5 .

Числа 16,2 и 16,5 – приближенные значения периметра (в см) с недостачей и излишком:

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Записать решение можно и так :

5,4 ≤ а ≤ 5,5,

5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Пусть известны границы какого-то числа х :

Надо оценить значение выражения 1 /_х .

Из условия задачи определяем, что х – число положительное .

Поскольку х ˃ 3 , то

Поскольку х , то

Выходит, что

Заменим границы значения выражения 1 /_х десятичными дробями. Число 1 / ₆ можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением с недостачей), а число 1 / ₃ – лишь больше (приближением с излишком). Поскольку

то границами значения выражения 1 /_х могут быть десятичные дроби 0,1 и 0,4 .

Заменив нижнюю границу числом 0,1, а верхнюю – числом 0,4 , мы расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения 1 /_х.

по известным правилам округления, то получили бы, что

Но тогда неизвестное нам точное значение выражения 1 /_х могло бы очутиться вне полученных границах.

Способ записи приближённых чисел.

Приближённые значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности приближения.

На рулоне обоев написано, что его длина равна

Эта запись означает, что длина рулона равна 18 м с точностью до 0,3 м, то есть точное значение длины может отличаться от приближённого значения, равного 18 м, не более чем на 0, 3 м. Другими словами длина рулона должна находиться между

18 – 0,3 = 17,7 м и

18 + 0,3 = 18,3 м .

Если измеряя длину х некоторой рейки, выявили, что она больше чем 6,427 м и меньше чем 6,429 м, то записывают :

х = 6,428 ± 0,001 м.

Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью до

0,001 м (одного миллиметра).

При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40 , запись 0,02 от 0,0200 и так далее.

Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения предшествующей цифры ).

Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398 , но не 2,421 и не 2,382 .

То же отличие производится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны, если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в виде 380 , а в виде 38 ∙ 10 . Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) верна.

Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47 ∙ 10 2 , или это число можно также записать в виде 4,7 ∙ 10 3 и так далее.

Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.

В числе 0,00385 три значащие цифры.

В числе 0,03085 четыре значащие цифры,

В числе 2500 – четыре,

В числе 2,5 ∙ 10 3 – две.

Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.

Через то, что мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.

Вычисления с приближенными данными.

Вычисления с приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами, можно так же получить приближённые числа.

При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном данном числе.

х ≈ 17,2 и у ≈ 8,407 .

Найдём приближённое значение суммы х и у .

х + у ≈ 25,607 .

Из данных приближённых значений 17,2 и 8,407 менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то есть до десятых, получим:

х + у ≈ 25,6 .

х ≈ 6,784 и

у ≈ 4,91 .

Найдём приближённое значение разности х и у .

х – у ≈ 1,874 .

Из данных приближённых значений 6,784 и 4,91 менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть. до сотых, получим :

х – у ≈ 1,87 .

Найдите разность приближенных значений

х = 1,52 ± 0,01 и

у = 0,27 ± 0,02 .

Данным приближенным значением отвечают двойные неравенства

1,51 ≤ х ≤ 1,53 и

0,25 ≤ у ≤ 0,29.

Умножим все части последнего двойного неравенства на –1 , получим

– 0,29 ≤ – у ≤ – 0,25.

Прибавив это двойное неравенство к первому, получим

1 ,22 ≤ х – у ≤ 1 ,28, или

х – у = 1,25 ± 0,03.

Несколько иначе поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление производится с учётом относительной точности данных. В этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде

а × 10 n ,

и множитель а результата округляют, оставляя в нём столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.

х ≈ 0,86 и

у ≈ 27,1 .

Найдём приближённое значение произведения х и у .

Перемножив 0,86 и 27,1, получим :

Запишем данные числа и результат в стандартном виде :

23,306 = 2,3306 × 10 1 .

В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71 две цифры после запятой. Округлим число 2,2306 по первому данному, то есть до десятых. Получим :

ху ≈ 2,3 × 10 1 = 23.

х ≈ 60,2 и

у ≈ 80,1 .

Найдём приближённое значение произведения х и у .

Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так далее долями.

В произведении получаем 4822,02 . Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.

Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,23 и 80,14 . Тогда точное произведение будет 4826,8322 , так что цифра единиц в приближённом произведении (2) отличается от точной цифры (6) на 4 единицы.

х ≈ 563,2 и

у ≈ 32 .

Найдём приближённое значение частного х и у .

Разделив 563,2 на 32 , получим:

х : у ≈ 17,6 .

Запишем данные числа и результат в стандартном виде :

563,2 = 5,632 × 10 2 ;

Из этой записи видно, что число 1,76 следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим :

х : у ≈ 1,8 × 10 ≈ 18.

При умножении и делении приближённых чисел нужно в результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом данном с наименьшим числом значащих цифр.

Таким образом, при сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.

Теория приближённых вычислений позволяет:

– зная степень точности данных, оценить степень точности результатов ещё до выполнения действий ;

– брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов ;

– рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

Правила приближенных вычислений.При вычислениях чаще всего проводят алгебраические действия не с точными величинами, а с их приближенными значениями.

При этом руководствуются следующими правилами.

1.В записи приближенного числа с помощью десятичной дроби оставляют только верные знаки.

2.При сложении или вычитании приближенных чисел в результате (в сумме или разности) необходимо оставлять столько десятичных знаков, сколько их дано в компоненте с наименьшим числом этих знаков.

3.При умножении и делении приближенных чисел в результате (произведении или частном) оставляют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

Значащими цифрами каждого числа будут все его цифры, за исключением нулей, стоящих впереди первой цифры, отличной от нуля. По числу нулей, стоящих впереди числа, определяют разряд первой отличной от нуля цифры в данном числе.

4.При возведении приближенных чисел в квадрат или куб в результате необходимо оставлять столько значащих цифр, сколько их в основании степени; однако последняя цифра при этом, особенно при возведении в куб, будет все же менее надежна, чем последняя цифра основания.

5.При извлечении квадратного или кубического корня из приближенного числа в результате берут столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число; при этом последняя цифра квадратного и особенно кубического корня будет получаться более надежной, чем последняя цифра подкоренного числа.

6.Однозначные выражения вычисляют при помощи логарифмов по таблицам логарифмов с числом десятичных знаков на один больше наименьшего числа значащих цифр, содержащихся в приближенном данном; в окончательном результате последнюю значащую цифру отбрасывают.

7.Если для вычисления искомой величины требуется провести ряд разных действий, то в этом случае во всех промежуточных результатах необходимо сохранять лишь на одну цифру больше, чем это указано в правилах 2. 4, отбрасывая эту лишнюю цифру только в окончательном результате.

8.Если некоторые данные, участвующие в вычислении, имеют десятичные знаки (при сложении и вычитании) или значащие цифры (при умножении, делении, возведении в степень или извлечении корня) больше, чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя лишь одну лишнюю цифру против числа, заданного с наименьшим числом значащих цифр.

9.При вычислении следует помнить о той точности, которую можно получить или которая необходима в каждом конкретном случае.

10. Для получения результата с п цифрами для вычисления необходимо брать за исходные данные столько цифр, сколько согласно правилам 2. 5 дает (n + 1) цифр результата.

Правила округления.В большинстве случаев вычислительной практики приходится пользоваться как окончательным результатом не тем числом, которое получилось от вычисления. Полученный результат оставляют с меньшим числом цифр, пользуясь при этом округлением.

Иногда применяют округление при пользовании различными таблицами. Числа надо округлять так, чтобы ошибки округления по своему абсолютному значению не превышали половины единицы последнего оставленного знака в данном числе. Такое округление называют округлением с поправкой.

При этом способе округления руководствуются следующими правилами:

если первая из отбрасываемых цифр больше пяти (5) единиц, то последнюю оставляемую в числе цифру увеличивают на единицу;

если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти (5) единиц, то последнюю оставляемую в числе цифру сохраняют без изменения;

если в числе последней цифрой является цифра пять (5), то предшествующую ей цифру увеличивают на единицу только в том случае, если она нечетная.

Например, число 193,29863. После округления будет 193,299 или 193,30.

87,8242-87,824 или 87,82. Если числа 35,965 и 49,875 точные, то после округления они будут 35,97 и 49,88.

Для способа округления с поправкой максимальная погрешность не превышает половины единицы цифры последнего разряда в оставленном числе.

Список используемой литературы

1. Баздырев Г. И., Лошаков В. Г., Пупонин А. И. и др. Земледелие. — М.: Колос, 2000. — 552 с.: ил.

2. Дубенок Н. Н., Шуляк А. С. Землеустройство с основами геодезии. — М.: КолосС, 2004. — 320 с: ил.

При этом руководствуются следующими правилами.

1.В записи приближенного числа с помощью десятичной дроби оставляют только верные знаки.

При этом способе округления руководствуются следующими правилами:

Например, число 193,29863. После округления будет 193,299 или 193,30.

87,8242-87,824 или 87,82. Если числа 35,965 и 49,875 точные, то после округления они будут 35,97 и 49,88.

Список используемой литературы

1. Баздырев Г. И., Лошаков В. Г., Пупонин А. И. и др. Земледелие. — М.: Колос, 2000. — 552 с.: ил.

2. Дубенок Н. Н., Шуляк А. С. Землеустройство с основами геодезии. — М.: КолосС, 2004. — 320 с: ил.

При проведении вычислительных операций над приближенными числами пользуются правилами приближенных вычислений.

1. Правило сложения (вычитания). При сложении или вычитании приближенных чисел в результате (в сумме или разности) необходимо оставлять столько десятичных знаков, сколько их дано в компоненте с наименьшим числом этих знаков.

Примечание. Для того, чтобы при сложении (вычитании) приближенных чисел получить сумму (разность)с n верными десятичными знаками, нужно каждое исходное слагаемое округлить до (n+1) - го десятичного знака. В случае вычитания близких чисел может быть потеря точности, поэтому следует избегать действия вычитания близких чисел.

2. Правило умножения (деления). При умножении (делении) приближенных чисел с разным числом значащих цифр в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет менее точное из данных чисел (менее точным считается то число, которое имеет меньше значащих цифр).

Примечание. Для того, чтобы результат последовательных действий умножения (деления) получить с n верными цифрами необходимо числа, с которыми производятся действия, взять с (n+1) или (n+2) верными цифрами.

3. Правило возведения в степень.При возведении приближенных чисел в степень в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.

Например: 1,23 2 = 1,5129 ≈ 1,51; 1,27 3 ≈ 2,05.

4. Правило извлечения корня.При извлечении корня n-ой степени из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

Например: .

1. Если для вычисления искомой величины требуется произвести ряд различных действий, то в этом случае во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем это указано в выше приведенных правилах, отбрасывая эту лишнюю цифру только в окончательном результате.

2. Если некоторые величины, участвующие в вычислении, имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно округляют (по правилу с поправкой или по дополнению), сохраняя при этом на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим числом значащих цифр.

При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, который отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. Например, при сложении чисел получим

При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Например, вместо выражения следует вычислять выражение .

В окончательном результате следует оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.

В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше.
Такое же правило соблюдается и при делении приближенных чисел.

При возведении в квадрат или куб следует в результате оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, .

При извлечении квадратного или кубического корней в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении. Например,

При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий. Например,

Сомножитель 5,3 имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:

Окончательный результат округлили до двух значащих цифр.

Правила построения графиков

Возможно построения двух видов графиков: в общем виде без числовых данных и с цифровыми данными.

Построение графика с цифровыми данными производят в следующей последовательности:

1. Графики следует вычерчивать только на подходящей специальной бумаге (например, на миллиметровой).

2. Для заданного диапазона изменения аргумента определяют максимальное и минимальное значения функции на границах требуемого диапазона изменения аргумента.

Так, для построения графика X = 4t 2 - 6t + 2 в диапазоне изменения t от 0 до 2 с, имеем:

3. Выбрать размер листа для графика так, чтобы вокруг поля координатного угла и надписей масштабов оставались свободные поля шириной 1,5 – 2 см.

4. Выбрать линейный масштаб координатных осей по округленным границам интервалов так, чтобы длины отрезков осей для функций и аргументов были примерно одинаковыми, но чтобы деления интервалов на счетные части образовывали шкалы, удобные для отсчета любых значений величин. Определить масштаб для построения графика таким, чтобы поле листа было максимально использовано. Для этого выбрать размер листа для графика таким образом, чтобы вокруг поля координатного листа и надписей масштабов остались свободные поля шириной 1,5 – 2 см. Далее определяют масштаб для построения графика. Например, для вышеприведенного примера поле для построения графика оказалось равным полю школьной тетради, то для построения графика можно использовать по горизонтали (ось абсцисс) 10-12 см, а по вертикали (ось ординат) 8 – 10 см. Таким образом, получим масштабы m_x и m_y для осей x и y соответственно:

5. С началом координат совместить наименьшие округленные значения аргумента
(по оси абсцисс) и функции (по оси ординат).

6. Строят оси графика, нанося на них ряд чисел с постоянным шагом в виде арифметической прогрессии и обозначают цифрами через равные промежутки, удобные для отсчета значения. Эти обозначения не следует располагать слишком часто или редко. Цифры на осях графика должны быть простыми, их не надо связывать с расчетными значениями. Если числа очень большие или очень маленькие, то их умножают на постоянный сомножитель типа 10 n (n – целое число), вынося этот сомножитель к концу оси. Вместо цифровых обозначений у концов осей помещают символы аргумента и функции с наименованием единиц их измерения, отделенными запятой. Например, при построении оси давлений Р в диапазоне от 0 до 0,003 Н/м 2 целесообразно умножить Р на 10 3 , а ось изобразить следующим
образом (рис. 7):

На график наносят расчетные или экспериментально полученные значения величин, руководствуясь таблицей значений величин. Для построения гладкой кривой достаточно рассчитать
5 – 6 точек. При теоретических расчетах точки на графике не выделяются (рис. 8а).

Экспериментальный график строится как аппроксимированная кривая по точкам (рис. 8б).

7. При построении графиков по экспериментальным данным необходимо на графике указывать экспериментальные точки. При этом каждое значение величины должно быть показано с учетом доверительного интервала. Доверительные интервалы откладываются от каждой точки в виде отрезков прямых (горизонтальных для аргументов и вертикальных для функций). Полная длина этих отрезков в масштабе графика должна быть равной удвоенной абсолютной погрешности измерения. Опытные точки можно изображать в виде крестиков, прямоугольников или эллипсов с размерами по горизонтали 2Dх и с размерами по вертикали 2Dy. При изображении доверительных интервалов функций и аргументов на графиках концы вертикальной и горизонтальной черточки с точкой посередине
изображают оси площади рассеяния значений (рис. 9).

Если в масштабе графика черточки доверительных интервалов за малостью нельзя изобразить, точку значений окружают маленькой окружностью, треугольником или ромбиком. Отметим, что экспериментальные кривые следует проводить гладкими, с максимальным приближением к доверительным интервалам экспериментальных значений. Рассмотренный пример на рис. 9 иллюстрирует наиболее распространенную форму графиков, которые придется строить студенту при обработке опытных данных.

Графическое изображение величин представляет собой своеобразный язык, обладающий наглядностью и большой информативностью при условии правильного, неискаженного пользования им. Поэтому полезно ознакомиться с примерами
ошибок в оформлении графиков, представленных на рис. 10.

Графики двух функций одного аргумента, например F(e) и K(e), можно совмещать на общей оси абсцисс. В этом случае масштабы осей ординат строят слева для одной и справа для другой функции. Принадлежность графика к одной или другой функции показывают стрелками (рис. 11а).

Графики одной функции при различных значениях постоянной всегда совмещают на одной плоскости координатного угла, кривые нумеруют и под графиком выписывают значения постоянных (рис. 11б).

2.5. Приставки для образования наименований кратных и дольных единиц

Перечисленные в табл. 6 множители и приставки используются для образования кратных и дольных единиц от единиц Международной системы единиц (СИ), системы СГС, а также от внесистемных единиц, допущенных государственными стандартами. Приставки рекомендуется выбирать таким образом, чтобы числовые значения величин находились в пределах от 0,1 до 1 . 10 3 . Например, для выражения числа 3 . 10 8 м/с лучше выбрать приставку мега, а не кило и не гига. С приставкой кило получим: 3 . 10 8 м/с = 3 . 10 5 км/с, т.е. число, большее, чем 10 3 .
С приставкой гига получим: 3 . 10 8 м/с = 0,3 . Гм/с, число, хотя и большее 0,1, но не целое. С приставкой мега получим: 3 . 10 8 м/с = 3 . 10 2 Мм/с.

Кратность и дольность	Название	Обозначение
10 12	тера	Т
10 9	гига	Г
10 6	мега	М
10 3	кило	к
10 1	дека	да
10 -1	деци	д
10 -2	санти	с
10 -3	милли	м
10 -6	микро	мк
10 -9	нано	н
10 -12	пико	п

Обозначение приставки пишется слитно с обозначением единицы, к которой она присоединяется. При сложном наименовании производной единицы СИ приставку присоединяет к наименованию первой единицы, входящей в произведение или числитель дроби. Например: кОм . м, но не Ом . км.

В виде исключения из этого правила допускается присоединение приставки к наименованию второй единицы, входящей в произведение или в знаменатель дроби, если ими являются единицы длины, площади или объема. Например: Вт/см 3 , В/см, А/мм 2 и др.

Читайте также: