Правила кирхгофа для разветвленных цепей кратко

Обновлено: 02.07.2024

Введём понятие узла. Узел – точка цепи, в которой сходится не менее трёх проводников.

Тогда разветвлённой цепью назовём цепь, имеющую один или более узлов.

Для расчёта таких цепей используются два правила Кирхгофа.

Рис. 1. Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа: сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла (рис. 1). A — узел в цепи постоянного тока. Путь в цепи протекают токи — . Тогда, исходя из первого правила Кирхгофа:

  • где
    • — сумма токов, входящих в узел,
    • — сумма токов, выходящих из узла.

    Рис. 2. Второе правило Кирхгофа (цепь)

    Второе правило Кирхгофа касается такого понятия как контур. Назовём контуром замкнутый участок цепи, содержащий любые элементы цепи. Для визуализации правила введём произвольную цепь с узлами (рис. 2). Пусть наша цепь содержит резисторы — , конденсатор ёмкостью и два источника ЭДС , с собственными внутренними сопротивлениями и соответственно.

    Рис. 3. Второе правило Кирхгофа (Контур)

    По нашей схеме нарисуем контуры (рис. 3). В цепе можно выделить 3 контура обхода: для определённости, красный, синий и зелёный.

    Расставим токи для каждого из элементов, обладающих сопротивлением (рис. 4). Направление силы тока выбираем случайным образом.

    Рис. 4. Второе правило Кирхгофа (Сила тока)

    Тогда второе правило Кирхгофа — сумма падений напряжений на каждом из элементов контура равно сумме ЭДС в этом контуре.

    • где
      • — напряжение,
      • — сила тока,
      • — сопротивление.

      Тогда второе правило Кирхгофа формульно:

      • где
        • — сумма ЭДС в контуре,
        • — сумма падений напряжения в контуре.

        Тогда составим второе правило Кирхгофа для контуров на рис. 3 при нескольких условиях:

        • ток считать положительным при совпадении направления обхода и отрицательным при несовпадении;
        • ЭДС считать положительным при направлении обхода совпадающим с генерацией тока в источнике (от плюса к минусу) и отрицательным в обратном случае.

        Итак, зелёный контур:

        Для синего контура:

        Для красного контура:

        Вывод: правила Кирхгофа (1) и (3) можно использовать для любого вида цепей, однако наибольшую пользу они приносят в случае разветвлённых цепей, в которых есть узлы. При использовании правил необходимо опираться на следующие идеи:

        Чтобы расчеты сложных электрических цепей с неоднородными участками не вызывали трудности, существует упрощение с помощью применения правил Кирхгофа, которые рассматривают как обобщение закона Ома на случай разветвленных цепей.

        В таких цепях выделяют узловые точки, называемые узлами, где сходятся не менее трех проводников, как изображено на рисунке 1 . 10 . 1 . Токи, поступающие в узел, считают положительными, а вытекающие – отрицательными.

        Рисунок 1 . 10 . 1 . Узел электрической цепи. I 1 , I 2 > 0 ; I 3 , I 4 0 .

        Правила Кирхгофа. Примеры

        В узлах цепи с постоянным током не происходит накопление зарядов. Получаем первое правило (закон) Кирхгофа:

        Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла разветвленной цепи равняется нулю:

        I 1 + I 2 + I 3 + . . . + I n = 0 .

        Данное правило принято считать следствием закона сохранения электрического заряда.

        Наличие разветвленной цепи позволяет выделить несколько замкнутых путей, которые состоят из однородных и неоднородных участков. Их принято называть контурами.

        На участках с выделенным контуром могут протекать различные токи. Рисунок 1 . 10 . 2 наглядно показывает пример такой цепи, соответствующей 1 закону Кирхгофа. Она состоит из двух узлов a и d , в которых сходятся одинаковые токи. Только один из заданных узлов будет независимым.

        Рисунок 1 . 10 . 2 . Пример разветвленной электрической цепи. Цепь содержит один независимый узел ( a или d ) и два независимых контура (например, a b c d и a d e f ).

        В предложенной цепи выделяют три контура вида a b c d , a d e f и a b c d e f . Независимыми считаются только два: a b c d и a d e f . Последний из вышеперечисленных не имеет никаких новых участков.

        Второе правило Кирхгофа – это следствие обобщенного закона Ома.

        Запись обобщенного закона Ома для участков контура a b c d принимает вид:

        Для b c : I 1 R 1 = ∆ φ b c - δ 1 .

        Для d a : I 2 R 2 = ∆ φ d a - δ 2 .

        Сумма левых и правых частей равенств с условием ∆ φ b c = - ∆ φ d a преобразует выражение:

        I 1 R 1 + I 2 R 2 = ∆ φ b c + ∆ φ d a - δ 1 + δ 2 = - δ 1 - δ 2 .

        Таким же образом можно записать для a d e f контура:

        - I 2 R 2 + I 3 R 3 = δ 2 + δ 3 .

        Формулировка 2 правила или закона Кирхгофа: алгебраическая сумма сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока этого участка равняется сумме ЭДС вдоль этого контура.

        Модель постоянного тока

        Оба правила Кирхгофа для всех узлов и контуров разветвленной цепи дают необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов электрической цепи. Цепь, изображенная на рисунке 1 . 10 . 2 , рассматривается как система уравнений для определения трех неизвестных I 1 , I 2 и I 3 :

        I 1 R 1 + I 2 R 2 = - δ 1 - δ 2 ,

        - I 2 R 2 + I 3 R 3 = δ 2 + δ 3 ,

        - I 1 + I 2 + I 3 = 0 .

        То есть применение этих правил помогает свести расчет электрической цепи постоянного тока к решению системы. Процесс не вызывает трудностей, но зачастую приходится работать с громоздкими выражениями простых цепей. При получении отрицательного значения силы тока на участке цепи говорят о противоположном направлении тока, относительно выбранного.

        Модель постоянного тока

        Рисунок 1 . 10 . 4 . Модель цепи постоянного тока.

        Модель постоянного тока

        Рисунок 1 . 10 . 5 . Модель конденсаторов в цепях постоянного тока.

        Электронное учебное пособие по разделам курса физики Электростатика. Электродинамика. Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны

        1. Электростатика. Электрические заряды


        Слово электричество возникло от греческого слова электрон янтарь, который электризуется при натирании о шерстяную материю. В природе известны два рода электрических зарядов, которые условно названы положительным и отрицательным зарядами. Известно также их взаимодействие: одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.

        Электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов равных примерно , Этим зарядом является заряд отрицательно заряженной частицы, получившей название электрон. Электрон имеет массу покоя, равную приблизительно . Кроме отрицательно заряженного электрона имеются частицы, обладающие элементарным положительным зарядом. Устойчивой частицей, обладающей элементарным положительным зарядом, является протон. Протон представляет собой ядро атома водорода – самого легкого элемента таблицы Менделеева. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона . Протон – это частица, которая входит в состав ядер всех элементов и определяет заряд ядра. Электроны в атомах образуют электронную оболочку атома. Они могут покинуть электронную оболочку атома или молекулы, превращая их в положительный ион, могут также присоединиться к другому атому или молекуле, превращая эти частицы в отрицательный ион. Передача электронов может происходить не только между атомами или молекулами, но и между телами, например, при их соприкосновении. Такое явление называется электризацией тел соприкосновением. При электризации в одних телах возникает избыток электронов, такие тела заряжаются отрицательно, в других телах их недостаток, такие тела заряжаются положительно. Однако во всех случаях выполняется один из фундаментальных законов физики – закон сохранения электрических зарядов: алгебраическая сумма зарядов частиц или тел, образующих электрически изолированную (замкнутую) систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе. Под электрически изолированной системой понимается система тел (частиц), которая не обменивается зарядами с телами, не входящими в эту систему.

        На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, для расчета которых удобно использовать правила Кирхгофа (рис. 4.22).


        Рис. 4.22. Г. Кирхгоф (1824–1887) — немецкий физик

        Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда и того естественного требования, чтобы при стационарных процессах ни в одной точке проводника не накапливались и не уменьшались заряды. Это правило относится к узлам, то есть к таким точкам в разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников.

        Первое правило Кирхгофа гласит:

        Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, то есть количество зарядов, приходящих в данную точку цепи в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время


        При этом токи, подходящие к узлу и отходящие от него, имеют противоположные знаки (рис. 4.23).


        Рис. 4.23. Сумма токов, сходящихся в узле равна нулю

        Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому замкнутому контуру разветвленной цепи.

        Второе правило Кирхгофа гласит:

        В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре (рис. 4.24)



        Рис. 4.24. Пример разветвленной электрической цепи.
        Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef)

        Правила Кирхгофа позволяют определить силу и направление тока в любой части разветвленной цепи, если известны сопротивления ее участков и включенные в них ЭДС. Число уравнений, составляемых по первому и второму правилам Кирхгофа, должно равняться числу искомых величин. Используя первое правило Кирхгофа для разветвленной цепи, содержащей m узлов и n ветвей (участков), можно написать (m – 1) независимых уравнений, а используя второе правило, (n – m + 1) независимых уравнений.

        Приведем пример расчета токов в разветвленной цепи (рис. 4.25).


        Рис. 4.25. Пример разветвленной цепи

        Направления действия ЭДС показаны синими стрелками. В этой цепи у нас имеется два узла — точки b и d (m = 2), и три ветви — участок b–а–d с током I1, участок b–d с током I2 и участок b–c–d с током I3 (n = 3). Значит, мы можем написать одно (m – 1 = 2 – 1 = 1) уравнение на основе первого правила Кирхгофа и два (n – m + 1 = 3 – 2 + 1 = 2) уравнения на основе второго правила Кирхгофа. Как же это делается на практике?

        Шаг первый. Выберем направления токов, текущих в каждой из ветвей цепи. Как эти направления выбрать — совершенно неважно. Если мы угадали, в окончательном результате значение этого тока получится положительным, если нет и направление должно быть обратным — значение этого тока получится отрицательным. В нашем примере мы выбрали направления токов как показано на рисунке. Важно подчеркнуть, что направления действия ЭДС не произвольны, они определяются способом подключения полюсов источников тока (см. рис. 4.25).

        Шаг второй. Записываем первое правило Кирхгофа для всех узлов кроме одного (в последнем узле, выбор которого произволен, это правило будет выполняться автоматически). В нашем случае мы можем записать уравнение для узла b, куда входит ток I2 и выходят токи I1 и I3

        Шаг третий. Нам осталось написать уравнения (в нашем случае - два) для второго правила Кирхгофа. Для этого надо выбрать два независимых замкнутых контура. В рассматриваемом примере имеются три такие возможности: путь по левому контуру b–a–d–b, путь по правому контуру b–c–d–b и путь вокруг всей цепи b–a–d–c–b. Достаточно взять любые два из них, тогда для третьего контура второе правило Кирхгофа будет выполнено автоматически. Направление обхода контура роли не играет, но при обходе ток будет браться со знаком плюс, если он течет в направлении обхода, и со знаком минус, если ток течет в противоположном направлении. Это же относится к знакам ЭДС.

        Возьмем для начала контур b–a–d–b. Мы выходим из точки b и движемся против часовой стрелки. На нашем пути встретятся два тока, I1 и I2, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода. ЭДС также действует в этом же направлении. Поэтому второе правило Кирхгофа для этого участка цепи записывается как

        В качестве второго замкнутого пути для разнообразия выберем путь b–a–d–c–b вокруг всей цепи. На этом пути мы встречаем два тока I1 и I3, из которых первый войдет со знаком плюс, а второй — со знаком минус. Мы встретимся также с двумя ЭДС, из которых войдет в уравнения со знаком плюс, а — со знаком минус. Уравнение для этого замкнутого пути имеет вид

        Шаг четвертый. Мы нашли три уравнения для трех неизвестных токов в цепи. Решение произвольной системы линейных уравнений описывается в курсе математики. Для наших целей (цепь достаточна проста) можно просто выразить I3 через I1 из уравнения (4.47)

        и подставить (4.48), (4.49) в уравнение первого правила Кирхгофа (4.45). Это уравнение содержит лишь неизвестное I1, которое находится без труда

        Подставляя это выражение в (4.48), (4.49), находим соответственно токи I2, I3

        Шаг пятый. В найденные формулы подставляют численные значения, коль скоро они заданы. Подсчитаем для примера токи в нашей цепи при одинаковых сопротивлениях R1 = R2 = R3 = 10 Ом, но разных ЭДС Имеем:

        Последнее значение получилось отрицательным при данных численных характеристиках цепи. Значит, на самом деле направление тока обратно показанному на рисунке. Это естественно: мощный левый источник посылает ток 0,75 А, часть которого (0,45 А) ответвляется в среднюю ветвь, а остаток — 0,3 А — продолжает течь в том же направлении, чему не может воспрепятствовать маломощная правая батарея.

        Примечание. Правила Кирхгофа позволяют в принципе рассчитать сколь угодно сложные цепи. Но вычисления могут быть довольно сложными. Поэтому рекомендуется сначала поискать возможную симметрию цепи. Иногда из соображений симметрии более или менее очевидно, что какие-то токи равны между собой или какие-то напряжения равны нулю (и тогда данный участок цепи можно исключить из рассмотрения). Если такое возможно, вычисления существенно упрощаются.

        В нашем примере мы пренебрегли внутренним сопротивлением источников тока. При их наличии они также должны включаться в уравнения второго правила Кирхгофа.

        Пример. Два одинаковых источника тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r соединяются в батарею. Возможны два варианта соединения — последовательное и параллельное (рис. 4.26). При каком соединении ток в нагрузке R будет наибольшим?


        Рис. 4.26. Последовательное (1) и параллельное (2) соединение источников тока

        Решение. Расчет особенно прост для последовательного соединения: уравнение первого правила Кирхгофа отсутствует, так как в цепи нет узлов. Единственное уравнение второго закона дает

        Для упрощения расчета параллельного соединения примем во внимание, что из соображений симметрии токи через источники должны быть равны и совпадать по направлению. Тогда первое правило Кирхгофа дает

        Второе правило Кирхгофа, записанное для пути через нижний источник и нагрузку, имеет вид

        Отсюда следует, что

        Сравнивая (4.53) и (4.56), находим, что при R > r ток последовательной батареи больше (Iпосл > Iпарал) а при R < r он меньше (Iпосл < Iпарал) тока от параллельной батареи. При равенстве внутреннего сопротивления и нагрузки R = r обе батареи дают одинаковый ток.

        Читайте также: