Правила действий с логарифмами кратко

Обновлено: 05.07.2024

Свойства логарифмов

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

Два очевидных следствия определения логарифма

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a ( b c ) = log a b + log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (5)

log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log 10 x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg ( x y ) = lg x + lg y ( x > 0, y > 0 ) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e - иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b = lg b lg a = ln b ln a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0 )

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 ($log_(32)$) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию положительно числа $a$ называется степень $c$, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить $b$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм - это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм $log_(6)$. Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

$$ log_(4) \lt log_(6) \lt log_(16);$$ $$ 1 \lt log_(6) \lt 2. $$

Значит $log_(6)$ принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть $0$. А основание не равно $1$, потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь $1$ в любой степени это будет $1$.

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
Разобраться в какую степень $x$ нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
$x$ и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм $9$ по основанию $3$: $log_(9)$

Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
Теперь надо разобраться в какую степень $x$ нужно возвести $3^1$, чтобы получить $3^2$ $$ (3^1)^x=3^2, $$ $$ 3^=3^2, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
Вот мы и решили: $$log_(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм $\frac$ по основанию $5$: $log_(\frac)$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1, \qquad \frac=\frac=5^;$$
В какую степень $x$ надо возвести $5^1$, чтобы получить $5^$: $$ (5^1)^x=5^, $$ $$ 5^=5^,$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
Получили ответ: $$ log_(\frac)=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм $4$ по основанию $64$: $log_(4)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^6$, чтобы получить $2^$: $$ (2^6)^x=2^, $$ $$ 2^=2^,$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac=\frac.$$
Получили ответ: $$ log_(4)=\frac.$$

Пример 4. Вычислить логарифм $1$ по основанию $8$: $log_(1)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^3$, чтобы получить $2^$: $$ (2^3)^x=2^, $$ $$ 2^=2^,$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac=0.$$
Получили ответ: $$ log_(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм $15$ по основанию $5$: $log_(15)$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1 \qquad 15= . ;$$ $15$ в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_(15).$$

Как понять, что некоторое число $a$ не будет являться степенью другого числа $b$. Это довольно просто – нужно разложить $a$ на простые множители.

$16$ разложили, как произведение четырех двоек, значит $16$ будет степенью двойки.

Разложив $48$ на простые множители, видно, что у нас есть два множителя $2$ и $3$, значит $48$ не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается - $lg(a)$.

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию $e$. Обозначение - $ln(x)$. Что такое $e$? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, $2,718281828459…$. Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием $e$ часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой $3$. Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой $4$. Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество

Рассмотрим два произвольных действительных числа a и b , удовлетворяющих условиям

Определение . Логарифмом числа b по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b .

Другими словами, логарифм числа b по основанию a – это такое число x , которое является решением уравнения

Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.

Для логарифма числа b по основанию a используется обозначение:

Таким образом, для всех действительных чисел a и b , удовлетворяющих условиям (1), справедливо равенство

которое часто называют основным логарифмическим тождеством .

Замечание . Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения (2) мы ищем показатель степени, а при решении уравнения

мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле

и в случае, когда a – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа b .

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Воспользовавшись тем, что число 81 является четвертой степенью числа 3 , получаем:

Задача . Доказать, что число

Решение . Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь

числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство:

Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:

следствием которого является равенство:

Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.

Свойства логарифмов

Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве a x = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.

Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:

то это равенство можно написать без знака логарифма

a x = N,

где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.

log_aN = x и a x = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:

x √ N = a или a = x √ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.

Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q

log_aN = q, значит a q = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение log_aN, получим

Выражение a log_aN = N называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0 и a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:

Логарифм числа равного основанию равен единице.

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a 1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

где M > 0, N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

log_a	M	= log_aM - log_aN ,
	N

где M > 0, N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

где N > 0, x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

log_a x √ N =	log_aN	=	1	log_aN .
	x		x

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

log_a x √ N = log_{a x} N =	1	log_aN .
	x

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

log_{a β} N α =	α	log_aN ,
	β

где N > 0, β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

log_bN =	log_aN	,
	log_ab

где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

Читайте также: