Позиционные системы счисления отличные от десятичной кратко

Обновлено: 06.07.2024

Представить нашу жизнь без цифр сложно – числа помогают выражать, измерять, отслеживать не только различные физические показатели, но и оценивать знания, степень распространения болезни и многое другое. А как человечество пришло к цифрам, почему все используют одинаковые знаки и существуют ли другие варианты счета.

План урока:

А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

Все существующие системы делят на 2 группы:

Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 1254₈, 01100111₂. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

Непозиционные СС, их особенности

Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).

Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

Символы следует писать по убыванию слева направо.
Нежелательно записывать подряд более 3 одинаковых знаков.
Положение цифры обозначает, какой ее вклад – отрицательный, если она стоит слева от большего числа, положительный – справа.

Таблица римских цифр

Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.

Основные позиционные СС, правила перевода

Двоичная система счисления

Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.

Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.

Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:

Деление на основу СС до тех пор, пока не останется в остатке значение меньше значения основы.
Записать остатки, от последнего к первому.
Первый ноль можно не писать.

0 111 0100 1100₂

Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.

А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.

Альтернативный способ преобразования для гуманитариев

Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:

Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579

Обратно еще проще. Подсчитать количество знаков – это будет степень 2 в степени -1. И так далее. А проще при помощи той же таблицы:

Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.

Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).

Пример: Перевести 579₈ из десятичной в восьмеричную систему счисления:

Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:

1103₈ = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 579₁₀

Альтернативный вариант таблицы степеней

Шестнадцатеричная СС

Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.

Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.

Алгоритм преобразования чисел в 16СС

Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.

В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).

Арифметика для 2СС

Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:

Особенности арифметики СС с разными основами:

при сложении чисел двух 1 в двоичной системе переполняется младший разряд (сумма = или ˃ основания СС), то единица переходит к большему разряду;
если есть 0-1=1, идет заимствование из старшего разряда;
умножать 2СС удобнее всего в столбик, учитывая 4 основные правила;
заем единиц в 2СС при отнимании/делении, тогда она дает промежуточным разрядам по 1, а для занимаемого разряда сразу 11.

Примеры арифметических операций:

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.

Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

Сравнение систем

СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.

Сравнительная таблица разных систем счисления:

Перевод числа 75 в разные системы:

Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:

Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.

Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 1001000011₂

001 001 000 011

Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:

Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.

Сравнительный перевод дробей в СС

Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:

Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.

Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:

Таблицы истинности

При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.

Основные логические операции

Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.

Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:

Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.

Так выражаются условия для всех логических операций.

Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.

– р – ичная система. Для записи чисел в р-ичной системе необходимо р знаков.

Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называют его представление в виде: , где принимают значения 0, 1,2, , р-1.

Задача. Сосчитать число клеток в фигуре в 3 – ичной и 5 –ричной системе счисления.

В 3- ичной системе используются знаки 0, 1, 2.

Счет: 1 один, 2 – два, 10 – один, ноль; 11 – один, один; 12 – один, два; 20 – два, ноль; 21 – два, один; 22 – два, два; 100 – один, ноль, ноль. Всего: 100₃

В 5 – ричной системе: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Всего: 14₅

Сравнение происходит также как и в десятичной системе счисления. 2101₃

Т.о. запись числа находят так: Число х делят ( в 10 –ной системе) на основание р; остаток, полученный при делении дает последнюю цифру а₀ в р-ичной записи числа х; неполное частное снова делят на р, новый остаток дает предпоследнюю цифру р –ичной записи числа х; продолжив деление найдем все цифры р – ичной записи числа х.

2436 = 304*8+4 = (38*8+0)*8 +4 = 38*8 2 + 0*8 +4 =(4*8 +6)*8 2 + 0*8 +4 = 4*8 3 + 6*8 2 + 0*8 + 4 = 4604₈

Показать делением уголком. 2436| 8

6 4 отсюда с последнего частного, а затем остатков идет запись числа 4608 в восмиричной системе счисления.

Пример.Выполним действия в указанных системах счисления:

Пример. Переведем число в систему счисления с новым основанием:

а) 10 212з в десятичную систему счисления;

б) 285 из десятичной системы в четверичную.

Решение, а) Для перевода числа 10 212з в десятичную систему счисления воспользуемся способом умножения. Для этого представим число в виде суммы разрядных единиц:

10 212₃ = 1 • З 4 + 0 • З 3 + 2 • З 2 + 1 • 3 + 2,

а затем выполним в новой десятичной системе счисления все действия, указанные в правой части равенства. При этом получим 10 212₃ = 104.

б) При переводе числа 285 в четверичную систему счисления удобнее использовать способ деления. Для этого разделим с остатком 285 на 4 — основание новой системы счисления, затем полученное частное снова разделим на 4 и т.д., пока деление возможно. Запись остатков в обратном порядке и даст нам представление числа 285 в четверичной системе счисления. Все действия при этом будут выполняться в наиболее привычной для нас десятичной системе счисления.

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число p≥2. Система счисления с основанием p называется p-ичной. Так, если p = 2, то – двоичной, если p = 8 – восьмеричной, если р = 10 – десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1, 2, . p – 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятеричной – при помощи символов 0, 1, 2, 3, 4.

Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде: х = аn рn+ аn-1 рn-1 + . + +a1p+ а0 (1), где коэффициенты аn , аn-1, … , а1 ,а0 принимают значения 0, 1, 2, …, p-1 и а n≠ 0.

Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р ≠ 10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 21013

Решение. Однозначные числа в ней – это 0, 1, 2, 3, 4. Число 5 записывается 10. Число 6 имеет вид 115, так как 6 = 1·5 + 1 = 115. Число 7 имеет вид 125, так как 7 = 1·5 + 2 = 125. Число 8 имеет вид 135, так как 8 = 1·5 + 3 = 135. Число 9 имеет вид 145, так как 9 = 1·5 + 4 = 145. Число 12 имеет вид 225, так как 12=2·5+2=225. Число 16 имеет вид 315, так как 16 = 3·5 + 1 = 315.

1. Позиционные системы счисления отличные от десятичной

• Основанием позиционной системы
счисления может быть любое число
p≥2.
• P=2 – двоичная система
• P=3 – троичная система
• P=8 – восьмеричная система

3. Определение

• Записью натурального числа x в
системе счисления с основанием p
называется его представление в виде:
x an p n an 1 p n 1 an 2 p n 2 . a1 p a0
где коэффициенты a n , a n 1 . a1 , a0
принимают значения 0,1,2,…,p-1 и
an≠ 0

4. Теорема

• Пусть p≥2 – заданное натуральное число.
Тогда любое натуральное число x
представимо, и притом единственным
образом в виде:
n 1
x an p an 1 p an 2 p
n
n 2
. a1 p a0
____________
Краткая запись числа x =
an an 1 . a1a0 p

5. Доказательство:

n
p
• 1. Разделим число x на
Имеем:
Далее
x an p n x1
x1 an 1 p
n 1
x2
i
Процесс деления остатка на p основание системы – конечен.
Следовательно, число x представимо в виде
суммы разрядных слагаемых.

• 2. Единственность представления
числа х в виде суммы разрядных
слагаемых следует из единственности
деления с остатком.

7. Например:

• На числовой прямой троичная система
счисления может быть представлена:
100
х
0 1 2 10 1112 20 21 22

10. Задание №1

• Сравнить числа x и y, если
x 2110 3
y 20113
Следовательно, x>y
т.к. выполняется 3 условие теоремы о
сравнении чисел в десятичной системе
счисления.

11. Задание №2 Найти сумму чисел в троичной системе.

Запишем числа согласно алгоритму
сложения
1 2 23
2 0 23
_________
Используя таблицу сложения в троичной системе,
имеем:

12. Таблица сложения в троичной системе счисления

14. Задание № 3

15. Ответ:

16. Задание №4. Запишите в десятичной системе числа:

17. Ответы:

18. Вывод:

Чтобы число, записанное в p-ичной
системе, представить в десятичной,
нужно:
1. Записать число в виде суммы
разрядных слагаемых в p-ичной
системе счисления.
2. Выполнить записанные действия в
десятичной системе счисления.

19. Задание №5. Запишите число в p-ичной системе счисления:

20. Ответ :

• Разделим число 35 на 2 – основание системы.
Имеем: 35=2·17+1
• Затем-частное 17разделим на 2-основание системы
Имеем: 17=2·8+1
• Затем частное 8 разделим на 2
Имеем: 8=2·4+0
• Затем частное 4 разделим на2
Имеем: 4=2·2+0
• Затем частное 2 разделим на 2
Имеем: 2=2·1+0.
• Последнее частное 1 меньше делителя 2.
• Процесс деления закончен

22. Ответ:

• Разделим 124 разделим на 5
Имеем: 124=5·24+4
• Разделим частное 24 на 5
Имеем 24=5·4+4
Последнее частное 4

В качестве основания может быть принято любое натуральное число р≥2.

Система счисления с основанием р называется р-ичной. В р-ичной системе числа записываются с помощью р цифр. Например, в семиричной системе используется семь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Если основание р>10, то используется обозначение 0, 1, 2 … 9, (10), (11).

В 13-ичной системе пользуются цифрами 0, 1, 2 … 9, (10), (11), (12).

Записью произвольного натурального числа х в системе счисления с основанием р называется представление его в виде х=an*р n +an-1*р n -1 + … a₁*p+a₀ (1)

где 0≤a_j≤p-1, (j=0,1,2…n)

Формулу (1) также записывают коротко x= an an-1 … a₁ a₀_p

Пр. 3546₇ – это запись в 7-ичной системе и она означает 3*7 3 +5*7 2 +4*7+6=1308

Если число записано в 10-ичной системе, то индекс 10 не ставят

Пр. 23851₁₀=2*10 4 +3*10 3 +8*10 2 +5*10+1

Вопрос №5. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.

Хотя десятичная система вытеснила из обихода все остальные системы не десятичной системы также играют большую роль. В компьютере для записи применяется двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы записи чисел.

В системе счисления с основанием рместо занимаемой цифрой называется разрядом. Разряды читаются с права на лево.

Число х=а_na_n_-1…a₁a₀_pсодержит а₀1 разряда, а₁-2 разряда и т.д.

Каждые р-единиц одного разряда образует единицу следующего старшего разряда.

Сложение, вычитание, умножение и деление чисел в любой позиционной системе производится аналогично выполнению этих действий десятичной системы. Для выполнения сложения и вычитания удобно сначала составить таблицу сложения.

Пр.Таблица сложения в 5-ичной системе.

При сложении слагаемое записывается поддругим, так чтобы цифры одинаковых разрядов стояли одной вертикали. Если при сложении получается двухзначное число, то в результат записывается лишь последняя цифра, а первая цифра запоминается и прибавляется к результату сложения чисел следующего разряда.

1₅
+
4₅
3	0₅

1₅
+	4₅
3₅
3₅

2₇

3₇

5₇

Пр.

2₈

5₈

(11)	8₁₃
-
(10)	5₁₃
3₁₃

Пр.Составим таблицу умножения чисел в пятеричной системе.

Вопрос №6. Переход от одной системы счисления в другую.

Пример1: записать число в 5-ичной системе счисления.

Основание новой системы – число 5. В восьмеричной системе это число записывается числом 5.

Чтобы перевести число в 5-ичную систему, необходимо и остаток 3. Затем 1063:5=160 и остаток 3. Далее 160:5=26 и остаток 2. 26:5=4 и остаток 2.

Остатки 3, 3, 2, 2, 4 в новой 5-ичной системе записываются этими же числами, но их следует записывать в обратном порядке.

Необходимо учитывать, что

Пример 2: записать число в 7-ичной системе.

Основание новой системы – число 7, в троичной системе она записывается как

Чтобы перевести число в 7-ичную систему, необходимо и остаток 12. Затем 1000:21=10 и остаток 20.

Числа 5, 6, 3 в 7-ичной системе записываются в этой системе также, но в обратном порядке:

Каждая позиционная система характеризуется некоторым числом, который называют основанием системы.