Понятие уравнения в начальной школе

Обновлено: 04.07.2024

Уравнение - равенство, содержащее букву латинского алфавита, значение которой нужно найти.

Решить уравнение - значит подобрать такое число, при котором равенство становится верным.

Любые уравнения решаются на основе зависимости между компонентами. Простые уравнения учащиеся начальной школы начинают решать уже 2 классе. По мере взросления, усложняются и уравнения, переходя от простых к сложным уравнениям в 4 классе начальной школы.

Простые уравнения во 2 классе решают на основе взаимосвязей между компонентами при сложении или вычитании. Важно соблюдать алгоритм решения уравнения.

Решение уравнения

Объяснение

чтобы найти первое слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое.

Вычисляю: 35 - 7 = 28

Проверяю: 28 + 7 = 35

чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Вычисляю: 20 + 13 = 33

Проверяю: 33 - 13 = 20

чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность

Вычисляю: 46 - 42 = 4

Проверяю: 46 - 4 = 42

Простые уравнения вида х • 6 = 72, х : 8 = 12, 64 : х = 16 решают на основе взаимосвязей между результатами и компонентами действий.

Решение уравнения

Объяснение

1) Читаю уравнение: произведение х и 6 равно 72.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

3) Вычисляю: х = 72 : 6

4) Проверяю: 12 • 6 = 72

1) Читаю уравнение: частное х и 8 равно 12.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

3) Вычисляю: х = 12 • 8

4) Проверяю: 96 : 8 = 12

1) Читаю уравнение: частное 64 и х равно 16.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

3) Вычисляю: х = 64 : 16

4) Проверяю: 64 : 4 = 16

Сложные уравнения в начальной школе состоят из нескольких арифметических действий. Алгоритм решения заключается в превращение сложного уравнения в простое.

Уравнения на нахождение неизвестного слагаемого

1)Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 12 • 4 = 48.

2) В уравнении х + 13 = 48 неизвестно первое слагаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

4) Вычисляю: х = 48 - 13

5) Проверяю: 35 + 13 = 12 • 4

Уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 51 : 17 = 3.

2) В уравнении х - 24 = 3 неизвестно уменьшаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

4) Вычисляю: х = 24 + 3

5) Проверяю: 27 - 24 = 51 : 17

Уравнения на нахождение неизвестного вычитаемого

640 - х = 180 + 120

640 - 340 = 180 + 120

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 180 + 120 = 300.

2) В уравнении 640 – х = 300 неизвестно вычитаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

4) Вычисляю: х = 649 – 300

5) Проверяю: 640 - 340 = 180+120

Уравнения на нахождение неизвестного множителя

5 • 77 = 131 + 254

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 131 + 254 = 385.

2) В уравнении 5 • х = 385 неизвестен второй множитель.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

4) Вычисляю: х = 385 : 5

5) Проверяю: 5 • 77 = 131 + 254

Уравнения на нахождение неизвестного делимого

64 000 : 8 = 800 • 10

1) Вычисляю значение выражения в правой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

Уравнения на нахождение неизвестного делителя

1) Вычисляю значение выражения вправой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимоеразделить на частное.

Как решать сложные уравнения в 4 классе подробно рассмотрено в статье по ссылке.

Математика – наука, которая нужна каждому человеку. В каждой области знания, в любой профессии нужна помощь математики.

Основная часть нашей жизни состоит из вычислений и подсчетов. Математика помогает развивать интеллект и находить решения в сложной задаче. Математика учит нас получать и приобретать знания, развивает внимание, логику, ясное мышление, умение делать выводы.

Уже с первого класса дети начинают задаваться вопросами: зачем мы изучаем математику? Чем она пригодиться в жизни?

Роль обучения в решении уравнений в начальной школе достаточно велика и ее сложно переоценить.

Во-первых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала.

Во-вторых, обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни, когда получить ответ на поставленный вопрос можно только владея навыками решения уравнений.

В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач, заранее подготавливаясь к изучению высших математических дисциплин.

Основные подходы к обучению решению уравнений:

Раннее ознакомление детей с уравнением и способами его решения (М.И.Моро, М.А.Бантова, И.Э.Аргинская, Л.Г.Петерсон и др.) – с 1-2 класса.

Методика изучения уравнений:

1) Подготовительный

Изучать уравнения дети начинают уже с первого класса, используя в помощь различные фигуры или предметы:

1. Какие записи верны?

3 + 5 = 8 7 + 2 = 10 10 – 4 = 5

Как изменить результат, чтобы записи стали верными??

2. Почитай выражение: 15 - в. Найди значение выражения, если в = 3, 4, 10, 11, 16.

3. Среди чисел, записанных справа, подчеркните то число, при подстановке которого в окошко, получится верное равенство.

□ - 2 = 4 1, 2, 3, 4, 5, 6

3) Формирование умения решать уравнения

Способы решения уравнений:

подбор (его применение на первых этапах является необходимым для того, чтобы учащиеся усвоили суть решения уравнения);
на основе знания зависимости между компонентами и результатом арифметического действия.

По программе И.И.Аргинской (система обучения Л.В.Занкова):

При проверке уравнения следует показать учащимся, что результат, полученный в левой части уравнения, нужно сравнить со значением в правой части. Необходимо добиться осознанного выполнения проверки.

4) Формирование умения решать задачи с помощью уравнений.

Процесс решения текстовой задачи с помощью уравнений состоит из следующих этапов:

1. Восприятие текста задачи и первичный анализ ее содержания.

2. Поиск решения:

выделение неизвестных чисел;

выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой;

переформулировка текста задачи с принятыми обозначениями;

запись полученного текста.

3. Составление уравнения, его решение, проверка, перевод найденного значения переменной на язык текста задачи.

4. Проверка решения задачи любым известным способом.

5. Формулирование ответа на вопрос задачи.

Формирование понятия уравнения у младших школьников

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Под аналитической записью понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную букву или число. Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

Введение записи о нахождении неизвестной величины с помощью уравнения берет начало с конкретной задачи. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого и его частей.

Для того, чтобы отыскать способы решения уравнения, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку не нужно помнить правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.

В процессе решения упражнений этого типа ученики приспосабливаются к тому, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое).

До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так: , ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквенные значения. Равенство вида 6 + х = 10 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением.

На первом этапе уравнения решаются на основе состава числа. Учитель знакомит учеников с понятием: неизвестное, уравнение; демонстрирует различные формы чтения записи, учит записывать уравнения под диктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.

На втором этапе решение уравнений происходит с использованием зависимости между компонентами. В данном случае при нахождении неизвестного можно использовать приём замены данного уравнения равноценным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф.

Примеры уравнений и замены их равноценными уравнениями с опорой на графы:

После того как дети научатся решать простейшие уравнения, предлагаются более сложные уравнения видов:

решение которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений.

Для решения таких уравнений требуются знания порядка действий в выражении, а также умение выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся последовательно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением.

Далее вводятся уравнения, в которых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное, например:

При решении таких уравнений требуется использовать дважды правила нахождения неизвестных. Рассмотрим.

Обучение решению таких уравнений требует долговременных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных . На начальных этапах полезны упражнения в объяснении решенных уравнений.

Кроме того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение.

Такая работа предостерегает от ошибок и способствует овладению умением решать уравнения.

Особое внимание следует уделять проверке решения уравнения. Ученики должны четко знать, усвоить последовательность и смысл действий, выполняемых при проверке: найденное число подставляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения.

Если получаются равные числа, значит, уравнение решено верно.

Дети могут выполнять проверку устно или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…

Уравнения используются также для решения задач. Существует правило составления уравнения:

1.Выясняется, что известно и неизвестно.

2.Обозначение неизвестного за х.

5.Полученное число истолковывается в соответствии с требованием задачи

Обязательным требованием для формирования умения решать задачи с помощью уравнений является умение составлять выражения по их условиям.

Поэтому вводится запись решения задач в виде выражения. Учащиеся упражняются в объяснении смысла выражений, составленных по условию задачи; сами составляют выражения по заданному условию задачи, а также составляют задачи по их решению, записанному в виде выражений.

Одним из сложных моментов является запись задачи в виде уравнения, поэтому вначале при составлении уравнения широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.

Для формирования у учащихся умения решать задачи алгебраическим способом необходимо, чтобы они могли решать уравнения, составлять выражения по задаче и осознавать сущность процесса “уравнивания неравенств”, т.е. преобразования неравенства в уравнение.

Уже на первых уроках дети, сравнивая два множества, устанавливают, в каком из них содержится больше элементов и что нужно сделать, чтобы в обоих множествах было одинаковое их количество.

Вместе с тем возможности использования алгебраического метода решения текстовых задач в начальных классах ограничены, поэтому арифметический способ остается в школе основным.

Таким образом можно сделать вывод о том, что изучение уравнений продолжается на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.

Методика работы над изучением уравнений в начальной школе

Роль обучения в решении уравнений в начальной школе достаточно велика и ее сложно переоценить.

Основные подходы к обучению решению уравнений:

Раннее ознакомление детей с уравнением и способами его решения с 1-2 класса.

Методика изучения уравнений:

Изучать уравнения дети начинают уже с первого класса, используя в помощь различные фигуры или предметы:

1. Какие записи верны?

3 + 5 = 8 7 + 2 = 10 10 – 4 = 5

Как изменить результат, чтобы записи стали верными??

2. Почитай выражение: 15 - в. Найди значение выражения, если в = 3, 4, 10, 11, 16.

⃝- 2 = 4 1, 2, 3, 4, 5, 6

3) Формирование умения решать уравнения

Способы решения уравнений:

подбор (его применение на первых этапах является необходимым для того, чтобы учащиеся усвоили суть решения уравнения);

на основе знания зависимости между компонентами и результатом арифметического действия.

По программе И.И.Аргинской (система обучения Л.В.Занкова):

с использованием числового ряда, например: х+3=8

по таблице сложения;

с опорой на десятичный состав, например: 20+х=25. Число 20 содержит 2 десятка, 25 – это 2 десятка и 5 единиц, значит х=5 единицам;

на основе зависимости между компонентами и результатом действий;

4) Формирование умения решать задачи с помощью уравнений.

Процесс решения текстовой задачи с помощью уравнений состоит из следующих этапов:

1. Восприятие текста задачи и первичный анализ ее содержания.

2. Поиск решения:

выделение неизвестных чисел;

выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой;

переформулировка текста задачи с принятыми обозначениями;

запись полученного текста.

4. Проверка решения задачи любым известным способом.

5. Формулирование ответа на вопрос задачи.

Список литературы:

Бантова, М.А., Бельтюкова, Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. М.: Просвещение 2004-335с.

Истомина, Н.Б. Методика обучения математики в начальных классах. Учебное пособие. М.: “Академия”, 2013г. – 288с.

В настоящее время сложно представить школьный курс математики без понятия уравнение. Большинство задач сводятся к решению и применению различных видов уравнений. При этом уравнения, являются одним из средств моделирования явлений из окружающего нас мира и знакомство с ними, а также они являются существенной частью математического образования.

Понятие уравнение относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом математики.

В словаре по педагогике под редакцией В.А. Мижерикова, дается следующее определение понятию уравнения – это два выражения, которые соединены знаком равенства и в них входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Е.А. Крапивина, говорит о том, что уравнение, представляет собой равенство, содержащее в себе неизвестное число, значение которого нужно найти.

И.А. Моргунова, указывает на то, что понятие уравнение, является равенством, которое выполняется только при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, которые входят в состав уравнения, могут быть неравноправными: одни могут принимать все свои допустимые значения, а другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными данного уравнения (как правило, их обозначают последними буквами латинского алфавита x, y, z, u, v, w).

Рассмотрев множество определений понятия уравнение можно сделать вывод, что уравнение – это вид равенства с неизвестной величиной, которая чаще всего обозначается латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.

Можно выделить основные признаки понятия уравнение:

- содержит букву, значение которой неизвестно и его надо найти

Решение уравнения представляет собой преобразование исходного уравнения к более простому уравнению, способ решения которого уже известен.

Решить уравнение – значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

Например, установим, является ли уравнением с одним неизвестным равенство х+0=х. Если требуется найти это неизвестное число, то рассматриваемое утверждение является уравнением. Если же рассматривать это равенство, как буквенную запись правила: при сложении любого числа с нулем получается то же самое число, то утверждение не является уравнением.

У уравнения х+0=х сколько угодно решений: любое число х является его решением. У уравнения a+3=4+a нет решений, а у уравнения a+3=4 одно решение: a=1

И.А. Моргунова, говорит о том, что уравнения имеют важное теоретическое значение, а также служат в практических целях. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального

мира сводится к решению различных видов уравнений.

По мнению А.В. Самойловой, знакомить учащихся в начальной школе с понятием уравнения надо как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи

компонентов и результатов действий.

Математические понятия, в свою очередь, являются важнейшей неотъемлемой частью науки и учебного предмета математики. В начальном курсе математики учитель старается знакомить младших школьников с большинством понятий наглядно, путём созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, опираясь при этом на жизненный опыт учащихся.

В.А. Далингер, считает, что внимание должно быть направлено на умение определять понятия, а не на их заучивание. Следует правильно донести до учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а затем происходит процесс, который представляет собой развитие понятий, который характеризуется как постепенное уточнение и усвоение содержания и объёма понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Как отмечает Г.Г. Кочеткова, формирование понятия, является длительным и сложным процессом, которому следует уделять достаточное внимание в образовательном процессе. Важным этапом при формировании понятий, является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Следует отметить, что бывает так, когда даётся словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе. Преувеличение роли при словесном определении, является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.

Совершенно иного мнения придерживается П. Я. Гальперин, который считает, что формирование понятия не следует растягивать во времени, что это можно осуществить в один приём, когда содержание нового понятия усваивается одновременно, в полном объеме и правильном соотношении признаков, сразу применяется на всем диапазоне намеченного обобщения.

Развитие математических понятий происходит от простого к сложному, или от конкретного к обобщенному. Развитие понятий может происходить поэтапно, при этом на новом уровне обобщения, углубляющем или расширяющем содержание развиваемого понятия.

В процессе усвоения научных знаний младшие школьники сталкиваются с разными видами понятий. Формирование понятия уравнения в начальной школе подготавливает младших школьников к более успешному изучению математики в дальнейшем.

Умение решать уравнения представляет большую сложность для младших школьников. Изучение уравнений в начальных классах обладает пропедевтическим характером. В этой связи крайне важной является подготовка детей в начальных классах к более глубокому изучению уравнений в старшей школе. В начальных классах в ходе работы над уравнениями проводится закрепление правил о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника и его площади, формирование вычислительных навыков и понимания связи между элементами действий, закрепление порядка действий и формирование умения решать текстовые задачи, осуществляется работа над формированием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения способствуют разнообразию видов заданий.

В начальных классах рассматриваются уравнения только с одной переменной.

Виды уравнений, рассматриваемых в начальных классах:

I. Простые уравнения: х – 4=6

II. Усложненные уравнения:

1. Уравнения, в которых переменная находится в правой части: 6= x-4

2. Уравнения, в которых правая часть представляет числовое выражение: х-4=36:6

3. Уравнения, в которых числовое выражение находится в обеих частях: х-(16:4)=4+2

4. Уравнения, в которых неизвестное входит в состав выражения с переменной: (х+5)-4=6

5. Уравнения, представленные комбинацией уравнений (1-4) (х+5)-4*2=36:6

6. Уравнения, в которых неизвестное находится в обеих частях 2*х-8=х+5 (только в программе Аргинской)

Проанализировав разные учебно-методические комплексы можно сделать вывод о том, что знакомство учащихся с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе.

Автор развивающего обучения Д.Б. Эльконин, предлагают знакомить учащихся с понятием уравнение с самого начала обучения математики, но при этом, не используя взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий.

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устные задания:

Как называются числа при сложении?
Как называются числа при вычитании?

Первое слагаемое – 20, второе слагаемое – 40. Найти сумму?
Найти сумму чисел 30 и 6.
Уменьшаемое – 48, вычитаемое 5. Чему равна разность?
Чему равна разность чисел 70 и 6?
Увеличить на 4 числа : 15, 20, 61.
Увеличить на 3 числа : 18, 30, 79.

На празднике было 12 девочек и 18 мальчиков. Сколько всего детей было на празднике?
В холодильнике яблок на 6 больше, чем апельсинов. Апельсинов – 9. Сколько яблок в холодильнике?
В кукольном театре 60 кукол. В утреннем спектакле занято 20 кукол. Сколько кукол не занято в спектакле?

III. Изучение новой темы.

С новой темой познакомится класс
Сегодня узнаем без сомненья
Имя этого выражения: х+4 = 12

А для этого нужно расшифровать слово, решив примеры.

У.: Записать число и классная работа в тетрадях.

У.: Примеры решить в тетрадях.

У.: Вам знакома такая запись: + 4=12 ?

Д.: Это пример с окошечком.

У.: А такая: a +4 ?

Д.: Это буквенное выражение.

У.: Что вы делали в первом случае?

Д.: Подбирали число чтобы запись была верной.

У.: Какое это число?

Д.: 8.

У.: что делали во втором случае?

Д.: вместо буквы подставляли число и вычисляли.

У.: Посмотрите на запись х+4=12

У.: На что оно похожа?

Д.: На пример с окошечком, на буквенное выражение.

У.: Что нам говорит знак =?

Д.: Равенство.

У.: Какое равенство? Все числа в нем известны?

Д.: Нет.

У.: Что неизвестно?

Д.: Первое число.

У.: как оно обозначено?

Д.: Латинской буквой.

У.: Если оно неизвестно, перед нами какая встает задача?

Д.: Найти, узнать какое это число.

У.: Найдите это число, чтобы равенство было верным.

Д.: Это число 8 (8+4=12).

У.: Что мы с вами сейчас сделали?

Вы решили уравнение.

У.: Сделаем вывод:

Уравнение – это ……(показать знак =)

Д.: Равенство.

У.: Которое содержит что? (показать на х)

Д.: Неизвестное число.

У.: Что надо сделать с неизвестным числом?

Д.: Его найти.

У.: Как обозначается неизвестное число?

Д.: Латинской буквой.

У.: Кто сможет сказать, что такое уравнение?

Д.: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.

У.: Что значит решить уравнение?

Плакат на доске: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число. Решить уравнение – найти такое число, чтобы равенство было верным.

У.: Число, которое мы находим в уравнении х – называется корнем уравнения.

У.: Решить уравнение можно с помощью подбора ( или зная взаимосвязь компонентов при сложении и вычитании)

IV. Физкультминутка (на дыхание).

Раз, два, три, четыре, пять!
Все умеем мы считать
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

V. Первичное закрепление нового материала.

а) У.: Среди данных выражений выбрать нужно уравнение и записать в тетрадь.

Читайте также: