Понятие преобразования плоскости кратко

Обновлено: 18.05.2024

Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением . Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным . Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Поворот вокруг точки

Движением называется отображение плоскости на себя при которром сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Докозательство : пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда выполняются равенства

A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A', B', C' следовтельно точки A', B', C' должны быть вершинами треуголька, следовтельно точки A', B', C' не должны лежать на одной прямой.

Отрезок движение переводится в отрезок.

При движении луч переходит в луч, прямая в пррямую.

Треугольник движением переводится в треугольник.

Движение сохраняет величины углов.

При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

Композиция двух движений также является движением.

Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:

Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

На плоскости существуют четыре типа движений:

Поворот вокруг точки

Рассмотрим подробнее каждый вид.

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X' и Y', что XX'=YY' или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса . Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y' соответственно. Тогда выполняется равенство XX'=YY'. Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X'Y', откуда получаем, что во-первых XY=X'Y', то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X'Y', то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.

Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX'. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X', симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).

Возьмем любые две точки A(x 1 , y 1 ) и B(x 2 , y 2 ) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A'(x 1 ,- y 1 ) и B'(x 2 , -y 2 ). Вычисляя растояния A'B' и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол ( ) в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол - углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X' и Y'. Покажем, что X'Y'=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X'OY' равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY' равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY'):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X'Y'=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X'Y' будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX', OY'. Поэтому и в этом случае X'Y'=XY. Итак, поворот является движением.

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с цетром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серидиной отрезка XX'.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно,пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовтельно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные .То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответсвуют точки X' и Y', то

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,

Учитывая это находим вектор X'Y':

Таким образом X'Y'=-XY.

Даказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."

О симметрии фигур

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична) , если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

Например, фигура обладает поворотной симметрией , если она переходит в себя некоторым поворотом.

Рассмотрим симметрию некоторых фигур:

Отрезок имеет две оси симметрии (серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок) и центр симметрии (середина).

Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет однуось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120°.

У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота .

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противополжной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

Любая прямая, проходящая через центр окружности является ее осью симметрии, окружность также обладает поворотной симметрией, причем угол поворота может быть любым.

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k , если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на k . Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффффициентом k перешли в точки A' и B', то

Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB.

Из равнетсва A'B' = kAB следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.

Отметим, что любое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения.

Некоторые свойства гомотетии

Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

Гомотетия сохраняет величину углов.

Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k 1 и k 2 ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.

Подобие отрезок переводит в отрезок.

Подобие сохраняет величину углов.

Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны

В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k 2 .

Композиция подобий с коэффициентами k 1 и k 2 есть подобие с коэффициентом k 1 k 2 .

Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/k.

Аффинные преобразования

. . Глава II.Аффинные 2.1 Аффинные плоскости Аффинным α называется такое плоскости, которое всякую прямую .

Композиции преобразований

. логическим продолжением темы композиций геометрических плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно .

Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах

. инверсии (с положительной степенью). Значит, всякое плоскости, задаваемой формулой , есть обобщенная инверсия . , то и для нее все очевидно. ■ 2º. плоскости, представляющее собой последовательно выполненную дважды .

Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

. прямолинейных координат преобразуются точки плоскости. В аффинных плоскости особую роль играют . порядка можно описать любое аффинное плоскости. Считая, h = 1, сравним две записи:  (x * y * 1) = (x y 1)  .

Трансформация преобразований

. , решаемых с помощью трансформации В основном в работе рассматриваются плоскости, если не оговорено иное . сдвига движением Сдвигом называется аффинное плоскости, при котором произвольная точка А смещается .

Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

. z этой точки М. Известно, что аффинное плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах .

Преобразования в России в начале XX века

. хх века План Смысл в России в начале хх в. . итоги. Признание невозможности реформ. №1 Смысл в России в начале ХХв. Столыпин пришёл . идея конфискации помещичьей земли находилась в плоскости практического решения, а в настоящий .

Преобразования фигур

. точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости . гомотетии переводит точку A в точку A’ на . . Точка X' называется симметричной точке X относительно плоскости a, а которое переводит X в симметричную ей точку .

Преобразования плоскости, движение

- 1 - Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè Îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ Îòîáðàæåíåì ïëîñîñòè íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðîçîâàíèå, ÷òî êàæäîé òî÷êå èñõîäíîé ïëîñêîñòè ñîïîñòàâëÿåòñÿ êàêàÿ-òî òî÷êà ýòîé æå ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ëþáàÿ ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè îêàçûâàåòñÿ .

Трёхмерная компьютерная графика

. части - нулевая матрица. Аналогично уравнения плоскостей задаются следующим образом: [ВТ][VТ . проецирование на некоторую двумерную плоскость. Полное перспективное приводит к искажению трехмерного тела .

Геометрические преобразования

Отображением плоскости на себя называется такое преобразование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразуется в фигуру F ', то говорят что фигура F - образ фигуры F ,а фигура F - прообраз фигуры F '. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F ,а затем фигура F переводится в фигуру F ", то отображение , переводящее F в F " называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f , то можно задать отображение обратное отображению f , которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния . Движение имеет ряд важных свойств:

1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство : пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда выполняются равенства

A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполняться неравенства треугольника:

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A', B', C' следовательно точки A', B', C' должны быть вершинами треугольника, следовательно точки A', B', C' не должны лежать на одной прямой.

2. При движении отрезок переводится в отрезок.

3. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.

4. Треугольник движением переводится в треугольник.

5. Движение сохраняет величины углов.

6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

7. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

8.Композиция двух движений также является движением.

9.Движение переводит плоскость в плоскость.

Докажем это свойство. Пусть α - произвольная плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость α'.

Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость α переходит в плоскость α'. Пусть X - произвольная точка плоскости α. проведем через нее какую-нибудь прямую a в плоскости α, пересекающую треугольник ABXC в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a'. Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y' и Z', принадлежащие треугольнику A'B'C', а значит, плоскости α'. Итак прямая a' лежит в плоскости α'. Точка X при движении переходит в точку X' прямой a', а значит, и плоскости α', что и требовалось доказать.

1.осевая симметрия 2. параллельный перенос 3.поворот вокруг точки 4.центральная симметрия

Осевая симметрия

Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серединным перпендикуляром отрезка XX'. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответствует единственная точка X', симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия является движением,используя метод координат: примем прямую a за ось Оx декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x; -y).

Возьмем любые две точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A'(x₁,- y₁) и B'(x₂, -y₂). Вычисляя расстояние A'B' и AB, получим:

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением. Осевая симметрия является наложением. Следовательно, при осевой симметрии каждый отрезок отображается на равный ему отрезок, прямая – на прямую, луч – на луч, треугольник – на равный ему треугольник, а угол – на равный ему угол. Осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию.

Параллельный перенос

Из определения движения следует, что последовательное выполнение двух движений является движением. Выясним, какое движение получается в результате последовательного выполнения двух осевых симметрий с различными осями l и m .

Обозначим буквой d расстояние между параллельными прямыми l и m и введем систему координат так, чтобы ось O х совпала с прямой l , а прямая m имела уравнение y = d . Рассмотрим произвольную точку M ( x ; y ). При симметрии относительно прямой l она перейдет в точку N ( x ;- y ). Точка N в свою очередь при симметрии относительно прямой m перейдет в такую точку M ₁ , что прямая m окажется серединным перпендикуляром к отрезку NM ₁ . Поэтому середина отрезка NM ₁ имеет координаты ( x ; d ), а значит ,сама точка M ₁ – координаты ( x ; y +2 d ). Итак, в результате последовательного выполнения двух осевых симметрий произвольная точка M ( x ; y ) перешла в точку M ₁ ( x ; y +2 d ), то есть в такую точку M ₁ ,что MM ₁ = a .

Отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит в такую точку M ₁ , что вектор MM ₁ равен данному вектору а , называется параллельным переносом на вектор а. Итак, результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на вектор, перпендикулярный к этим осям ,длина которого равна удвоенному расстоянию между осями.

Очевидно, верно и обратное утверждение: любой параллельный перенос можно представить как результат последовательного выполнения двух осевых симметрий. Отсюда следует, что параллельный перенос является движением, сохраняющим не только величину угла, но и его ориентацию.

Поворот

Поворот плоскости относительно центра O на данный угол ( )в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответствие такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых и, в-третьих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопоставляются точки X' и Y'. Покажем, что X'Y'=XY.

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовательно . Кроме того, OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовательно X'Y'=XY.

Центральная симметрия

Если оси двух симметрий взаимно перпендикулярны, то в результате последовательного выполнения этих симметрий получится поворот на 180°,т.е движение, сопоставляющее каждой точке плоскости симметричную ей точку относительно данной точки(точки пересечения осей). Такое движение называется центральной симметрией. Можно также отметить, что результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с совпадающими осями является так называемое тождественное отображение – движение, оставляющее все точки плоскости неподвижными.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные . То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответствуют точки X' и Y', то

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,

Учитывая это, находим вектор X'Y':

X'Y'=OY' - OX'= - OY+OX= - (OY - OX)= - XY

Таким образом X'Y'= - XY.

Доказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."

Подобие

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

1)подобие отрезок переводит в отрезок

2)подобие сохраняет величину углов

3) Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны

4) В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k 2 .

5)Композиция подобий с коэффициентами k₁ и k₂ есть подобие с коэффициентом k₁k₂.

6)Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/ k .

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

Гомотетия

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не исключается и возможность k

При k = - 1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование.

Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k . Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффициентом k перешли в точки A ' и B ', то

Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда O A ' = k O A , O B ' = k O B . Поэтому A ' B ' = O B ' - O A ' = k O B - k O A = k ( O B - O A ) = k A B .

Из равенства A ' B ' = k A B следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом |k|.

Некоторые свойства гомотетии

1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

2. Гомотетия сохраняет величину углов.

3. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k₁ и k₂,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.

Использование движений при решении задач

Решение многих задач значительно упрощаются , если использовать движения.

Рассмотрим применение простейших движений плоскости, таких как параллельный перенос, симметрия и вращение (поворот) при решении задач элементарной геометрии на вычисление и доказательство.

При решении задач используются основные свойства движения. Так, всякое движение переводит:

прямую в прямую, а параллельные прямые – в параллельные прямые,

отрезок – в отрезок, а середину отрезка – в середину отрезка,

угол – в равный ему угол,

точки, не лежащие на одной прямой – в точки, не лежащие на одной прямой,

полуплоскость – в полуплоскость.

В четырехугольнике ABCD (рис.1) AB = , BC = 3, CD = 2 , Ð BAD = Ð CDA = 60 ° . Найти углы ABC и BCD.

Решение. Рассмотрим параллельный перенос на вектор .

Получим равнобедренную трапецию ABED, у которой AB = ED = , а Ð ABE =120 ° . Тогда CE = CD – ED = .

В треугольнике BCE имеем 9 = x2 + 3 – 2x Cos60 ° (по теореме косинусов), где BE = x.

Отсюда x2 - x - 6 = 0 и x = 2 . Замечая, что BE2 = BC2 + CE2, получим Ð BCD = 90 ° , а Ð CBE = 30 ° . Тогда Ð ABC = 120 ° + 30 ° = 150 ° .

Пусть A1, B1, C1 – середины сторон треугольника ABC (рис.2), O1, О2, O3 – центры окружностей, вписанных в треугольники AC1B1, C1BA1, СВА1. Найти углы треугольника O1O2O3, если AB = 4, AC = 4 , Ð BAC = 30 ° .

Сначала по теореме косинусов найдем сторону BC треугольника ABC: BC=4.

Следовательно, треугольник ABC будет равнобедренным и Ð BCA=30 ° . Рассмотрим параллельный перенос на вектор . Так как :A ® B1, B1 ® C, C1 ® A1, то отображает треугольник AB1C1 в треугольник B1CA1. Тогда :O1 ® O3. Отсюда следует, что O1O3||AC. Аналогично рассмотрим параллельный перенос на вектор и параллельный перенос на вектор .

:O1 ® O2 Þ O1O2||AB, :O3 ® O2 Þ O2O3||BC.

Прямая , проходящая через середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD, не являющего трапецией, образует со сторонами AD и CD равные углы. Доказать, что AD = CB.

Пусть M и H – середины сторон AB и CD (рис.3). Рассмотрим сначала параллельный перенос на вектор и параллельный перенос на вектор . : D ® H, A ® A1, Þ AD||A1H, AD = A1H; :C ® H, B ® B1 Þ BC ||B1H, BC=B1H. Так как по условию Ð 1= Ð 2, а Ð 1 = Ð 3 и Ð 2= Ð 4 как накрест лежащие углы, то Ð 3= Ð 4.

Затем рассмотрим центральную симметрию относительно точки M. Так как ZM : A ® B, то луч AA1 отобразится в луч BB1 , так как AA1 ||BB1||DC. ZM : A1 ® B1, так как AA1 = DH = HC = BB1. В треугольнике A1B1H медиана MH является биссектрисой. Следовательно, треугольник A1B1H равнобедренный, т. е. A1H=B1H. Тогда и AB = CB.

Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F", то говорят, что фигура F" - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F". Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F", а затем фигура F" переводится в фигуру F"", то отображение, переводящее F в F"" называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением . Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным . Пусть фигура F" получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Докозательство : пусть движение переводит точки A, B, C в точки A", B", C". Тогда выполняются равенства

A"B"=AB , A"C"=AC , B"C"=BC (1)

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A"C"+B"C"=A"C". А из этого следует, что точка B" лежит между точками A" и C". Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A", B", C" лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A", B", C" следовтельно точки A", B", C" должны быть вершинами треуголька, следовтельно точки A", B", C" не должны лежать на одной прямой.

Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:

Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

На плоскости существуют четыре типа движений:

Рассмотрим подробнее каждый вид.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X" и Y", что XX"=YY" или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса . Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X" и Y" соответственно. Тогда выполняется равенство XX"=YY". Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X"Y", откуда получаем, что во-первых XY=X"Y", то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X"Y", то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Точки X и X" называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX". Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X", симметричная X относительно a.

Возьмем любые две точки A(x 1 , y 1 ) и B(x 2 , y 2 ) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A"(x 1 ,- y 1 ) и B"(x 2 , -y 2 ). Вычисляя растояния A"B" и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X", что, во-первых, OX"=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX" откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол - углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X" и Y". Покажем, что X"Y"=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X"OY" равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY" равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY"):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX"=OX, и OY"=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X"Y"=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X"Y" будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX", OY". Поэтому и в этом случае X"Y"=XY. Итак, поворот является движением.

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с цетром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X", что точка O является серидиной отрезка XX".

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно,пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X". Тогда угол XOX"=180 градусов, как развернутый, и XO=OX", следовтельно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX", то, очевидно,

Учитывая это находим вектор X"Y":

Таким образом X"Y"=-XY.

О симметрии фигур

Например, фигура обладает поворотной симметрией , если она переходит в себя некоторым поворотом.

Рассмотрим симметрию некоторых фигур:

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противополжной стороны.

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X" и Y", что X"Y"=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F" с коэффициентом k , если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F".

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X", что OX" = kOX, причем не ислючается и возможность k

Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на k. Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффффициентом k перешли в точки A" и B", то

Пусть точка O- центр гомотетии. Тогда OA" = kOA, OB" = kOB. Поэтому A"B" = OB" -OA" = kOB-kOA = k(OB-OA) = kAB.

Из равнетсва A"B" = kAB следует, что A"B" = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.

Определение 1 . Преобразованием плоскости называют правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.

Из определения 1 вытекает, что, если F – преобразование плоскости α , а M – произвольная точка плоскости , то F(M) тоже является точкой плоскости α .

Определение 2 . Точку F(M) называют образом точки M при преобразовании F , а точку M называют прообразом точки F(M) при преобразовании F.

Аналогично определяются образы и прообразы любых фигур на плоскости при преобразовании F.

Определение 3 . Преобразование плоскости называют взаимно однозначным преобразованием плоскости на себя , если разные точки имеют разные образы, и каждая точка плоскости имеет прообраз.

Другими словами, при взаимно однозначном преобразовании плоскости на себя разные точки плоскости переходят в разные точки этой же плоскости, и в каждую точку плоскости переходит какая-то точка этой плоскости.

Определение 4 . Произведением (композицией) двух преобразований называют преобразование, которое получается в результате последовательного выполнения этих преобразований.

Таким образом, если F и G – два преобразования, то произведением этих преобразований будет такое преобразование H, которое произвольную точку A плоскости переводит в точку A' этой плоскости, определяемую по формуле:

Движения плоскости

Определение 5 . Движением плоскости называют такое преобразование плоскости, при котором расстояние между двумя любыми точками плоскости равно расстоянию между их образами.

Следующие преобразования являются движениями плоскости:

1. Параллельный перенос (сдвиг) на заданный вектор

При параллельном переносе плоскости на заданный вектор (рис.1) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнено равенство

Замечание . Движение, при котором каждая точка плоскости остаётся на своём месте, называют тождественным преобразованием . Тождественное преобразование можно рассматривать как параллельный перенос на вектор, равный нулю.

2. Поворот вокруг заданной точки, называемой центром поворота, на заданный угол

При повороте плоскости вокруг точки O на угол φ (рис. 2) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены равенства

3. Центральная симметрия (симметрия относительно заданной точки, называемой центром симметрии)

При центральной симметрии плоскости относительно точки O произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что серединой отрезка AA' является точка O – заданный центр симметрии (рис.3).

4. Осевая симметрия (симметрия относительно заданной прямой, называемой осью симметрии)

При осевой симметрии относительно прямой PQ ( ось симметрии ) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что, во-первых, прямая AA' перпендикулярна прямой PQ , а, во-вторых, точка пересечения прямых AA' и PQ является серединой отрезка AA'

5. Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии относительно заданной прямой и параллельного переноса на заданный отличный от нуля вектор, параллельный этой прямой)

Если прямая PQ – ось симметрии, а параллельный перенос задаётся вектором параллельным прямой PQ , то результат скользящей симметрии можно условно изобразить так, как показано на рисунке 5.

Движения плоскости, сохраняющие ориентацию. Движения плоскости, изменяющие ориентацию. Теорема Шаля

Рассмотрим на плоскости произвольный равносторонний треугольник и обозначим его вершины буквами A, B и C так, чтобы при обходе по сторонам треугольника в направлении

треугольник оказывался расположенным слева (рис.6). При таком обозначении вершин обход треугольника будет осуществляться против часовой стрелки.

Предположим теперь, что некоторое движение F переводит треугольник ABC в треугольник A'B'C', у которого

Поскольку каждое движение плоскости сохраняет расстояния между точками, то треугольник A'B'C' также будет равносторонним, однако возможны следующие два случая.

В первом случае при обходе по сторонам треугольника A'B'C' в направлении

треугольник A'B'C' располагается слева, и обход производится против часовой стрелки (рис.7).

Во втором случае при обходе по сторонам треугольника A'B'C' в направлении

треугольник A'B'C' располагается справа, и обход производится по часовой стрелке (рис.8).

Определение 6 . Если при движении F осуществляется первый случай, то такое движение называют движением, сохраняющим ориентацию плоскости ( движением 1-го рода, собственным движением ). Если при движении F осуществляется второй случай, то такое движение называют движением, изменяющим ориентацию ( движением 2-го рода, несобственным движением ).

Классификацию всех движений плоскости даёт следующая теорема Шаля.

Теорема Шаля . Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, является или параллельным переносом, или поворотом. Любое движение плоскости, изменяющее ориентацию, является или осевой симметрией, или скользящей симметрией.

Аффинные преобразования плоскости

Определение 7 . Аффинным преобразованием плоскости называют такое взаимно однозначное преобразование плоскости на себя, при котором образом любой прямой на плоскости является прямая.

Поскольку каждое движение плоскости переводит прямые линии в прямые линии, то каждое движение является аффинным преобразованием.

Однако аффинные преобразования не ограничиваются движениями плоскости. Следующие преобразования также являются аффинными преобразованиями плоскости:

1. Сжатие (растяжение) к прямой с заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

При сжатии (растяжении) плоскости к прямой PQ с заданным коэффициентом сжатия k (рис.9) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены следующие условия:

прямая AA' перпендикулярна прямой PQ ;
если обозначить буквой A" точку пересечения прямых AA' и PQ , то будет справедливо равенство

Замечание 1 . В случае, когда | k | , рассматриваемое аффинное преобразование называют сжатием к прямой PQ , если же | k | > 1 , то это преобразование называют растяжением .

Замечание 2 . Будем использовать для рассматриваемого сжатия (растяжения) обозначение

2. Сжатие (растяжение) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия (растяжения)

Пусть PQ и MN – две взаимно перпендикулярных прямых, а числа k₁ и k₂ – коэффициенты сжатия (расширения) плоскости в направлении прямых PQ и MN соответственно. Тогда сжатием (растяжением) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям PQ и MN с коэффициентами k₁ и k₂ (рис.10) называют композицию сжатий (растяжений).

3. Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называют такое аффинное преобразование, при котором произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены следующие условия:

точка A' лежит на прямой AO ;
справедливо равенство

Замечание . Рассмотрим две произвольных взаимно перпендикулярных прямых PQ и MN, пересекающихся в точке O. Тогда гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k совпадёт со сжатием (растяжением) по направлениям PQ и MN с коэффициентами, равными k . Другими словами, гомотетия является композицией сжатий (растяжений):

4. Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

Преобразованием подобия с коэффициентом подобия k называют аффинное преобразование, представленное в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения (рис. 12).

Классификация аффинных преобразований плоскости

Справедлива следующая теорема о классификации аффинных преобразований плоскости.

Преобразованием плоскости называют правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости. Если каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторая точка из этой же плоскости, и если при этом любая точка плоскости оказывается сопоставленной определенной точке, то говорят, что это отображение плоскости на себя.

Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние, т. е. движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки \(A'\) и \(B'\) , что \(|A'B'|=|AB|\)

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.

Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.

Читайте также: