Понятие дроби и положительного рационального числа в начальной школе

Обновлено: 05.07.2024

Цель исследования – разработать и апробировать на практике дидактические материалы, способствующие формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы.
В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:
- выявить теоретические положения, лежащие в основе пропедевтике формирования понятия рационального числа на начальном этапе изучения математики;
- выявить методические приемы, способствующие формированию понятия доли и дроби на уроках математики;
- разработать и апробировать на практике методическое обеспечение уроков математики, направленных на пропедевтику формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.

Содержание

Введение…………………………………………………………………
Глава 1 Теоретические основы формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы
1.1 Исторический аспект происхождения дробей……. ……………
1.2 Понятие рационального числа и действий над рациональными числами в курсе математики ……………………………………………
1.3. Положительные рациональные числа……………………………
1.4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел…………………………
Глава 2 Методические аспекты формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы…………………………………
2.1. Методика формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы…..………………………………………
2.2 Формирование понятия доли и дроби в вариативных программах обучения математики ……………………………………
2.3 Дидактическое обеспечение уроков математики в 4 классе по формированию понятия доли и дроби…………………………………
Заключение…………………………………………………………………
Список используемой литературы………………………………………..

Прикрепленные файлы: 1 файл

ВКР Жидких.doc

Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с [48].

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b b.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а чисел нет наименьшего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.

Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел,

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е, это такая операция, которая удовлетворяет условию: а : b = с тогда и только тогда, когда a = bс.

Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями :

Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.

1.4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

Покажем, что множество рациональных чисел является расширением множества натуральных чисел.

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.

Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N с Q+.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом т. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно т·п раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью . Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числа m.

Следовательно, N с Q+.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде

следующих дробей: и т.д.

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 2.

Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть а и b - натуральные числа, а + b - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как

Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.

Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ выполняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа т и n и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

Обратно, если дана дробь то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и n:

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно n, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число т не кратно n, то разделим т на n с остатком: т = nq + r, где r 4,623, так как 4,623 = 4,62300, а 4,62517 > 4,62300, так как 462517 > 462300.

Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к действиям над натуральными числами.

Умножение и деление десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также сводятся к соответствующим действиям над натуральными числами.

Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01. Ее называют процентом и обозначают 1%. Запись р% обозначает .

Например, 25% - это дробь , или 0,25.

Проценты были введены, когда не существовало десятичных дробей. Чтобы производить расчеты по займам, определяли прирост капитала из расчета 100 денежных единиц. Этот прирост и называли числом процентов (рго сеntum - на сто).

Простота сравнения и выполнения действий над десятичными дробями приводит к следующему вопросу: любую ли дробь вида можно записать в виде конечной десятичной дроби, т.е. дроби, у которой после запятой стоит конечное число цифр? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя п на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Так, например, дробь можно записать в виде десятичной: она несократима и 80 = 2 4 ·5. Дробь – несократима, но 15 = 3·5. Поскольку в разложение знаменателя этой дроби входит множитель, отличный от 2 и 5, то дробь нельзя записать в виде десятичной.

Дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Но, деля 1 на 3, получаем, что 0,3 неравенств, говорят, что дроби соответствует бесконечная десятичная дробь 0,33. 3. . Это означает, что если отбросить в бесконечной дроби все цифры, начиная с некоторой, то будем иметь число, меньшее , а если в полученном числе увеличить последнюю цифру на 1, то будет число, большее .

Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной, приписав к ней справа последовательность нулей. Например, дробь 0,25 можно записать так: 0,25000. 0. Здесь для всех цифр, начиная с некоторой, получится число, не превосходящее 0,25 (например, если оставить лишь одну цифру после запятой, то получится 0,2, меньшее 0,25, а если оставить три цифры после запятой, то будет число 0,250, равное 0,25). Если же после отбрасывания увеличить последнюю цифру на 1, то имеем число, большее 0,25 (например, 0,3 или 0,251).

Бесконечные десятичные дроби, которые получаются при записи положительного рационального числа, обладают особенностью - они являются периодическими. Это значит, что, начиная с некоторой цифры, они образуются бесконечным повторением одной и той же группы

цифр. Например, число – выражается бесконечной десятичной дробью 0,272727. 27. а число – бесконечной десятичной дробью 0,1454545. 45. Для краткости первую из дробей пишут в виде 0,(27), а вторую - в виде 0,1(45). В скобки заключают повторяющуюся группу цифр, которую называют периодом этой дроби. Отметим, что вместо 0,(27) можно было написать и 0,2(72), но эта запись более длинная. Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме.

Теорема. Любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство. Пусть рациональное число представлено несократимой дробью Чтобы преобразовать ее в десятичную, надо выполнить деление натурального числа т на натуральное число п. При этом будут остатки, меньшие n, т.е. числа вида 0, 1,2, . n-1. Если хотя бы один из остатков окажется равным нулю, то после деления получится конечная десятичная дробь (или, что то же самое, бесконечная десятичная дробь, заканчивающаяся последовательностью нулей). Если же все остатки отличны от нуля, то деление будет представлять собой бесконечный процесс, но количество различных остатков конечно, и поэтому, начиная с некоторого шага, какой-то остаток повторится, что приведет к повторению цифр в частном.

Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.

Пусть x - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок.

Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е -буквой Е. Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е, и отрезка х, который короче отрезка е (рис. 3.), т.е. пЕ

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Понятие дроби и положительного рационального числа

Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е. Если отрезок а состоит из m отрезков, равных n –ой части отрезка е, то длина отрезка а может быть представлена в виде m / n • е.

Решим практическую задачу по измерению длины отрезка а с помощью единичного отрезка е.

Для этого отложим е на отрезке а. Видим, что длина отрезка а больше, чем 2е , но меньше, чем 3е .

Среди натуральных чисел нет числа, которое бы соответствовало длине отрезка а при измерении его меркой е. Тогда, измеряя длину отрезка а другой меркой е 1 , такой, что е = 2е 1 получим а = 5е 1 .

Вернёмся к первоначальному измерению отрезка меркой е.

а= 5 • е 1 =5 • ½ е = 5/2 е

Получили дробное число 5/2, так как при измерении отрезка а меркой е мы использовали два натуральных числа 5 и 2. Половина отрезка е укладывается в отрезке а ровно 5 раз. Поэтому условимся длину отрезка а записывать в виде 5/2 е , где е – длина единичного отрезка, а символ 5/2 называется дробью.

3. Существенные свойства понятия с примерами

1. Дробь m / n называется правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной , если её числитель больше знаменателя или равен ему.

2. Теорема

Для того чтобы дроби m / n и p / q выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство m • q = n • p

3. Две дроби m / n и p / q называются равными, если выполняется равенство m • q = n • p

Из этого определения и теоремы следует, что

две дроби равны тогда и только тогда когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Равенство дробей является отношением эквивалентности.

5. Основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

6. Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель делятся только на единицу, то есть являются числами взаимно простыми, то дробь называется несократимой.

Из этого свойства следует правило сокращения дробей:

Сократить дробь – это значит заменить дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

7. Приведение дробей к общему знаменателю – это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Общим знаменателем двух дробей m / n и p / q является общее кратное чисел n и q , а наименьшим общим знаменателем – НОК ( n , q )

1. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Дробь 2/4 или 3/6 – это различные записи одного и того же рационального числа. Для краткости мы говорим, что 2/4 – это рациональное число.

Если рациональное число а представлено дробью 2/5, а рациональное число в – дробью 4/10, то а = в, так как 2/5 = 4/10 (по правилу сокращения дробей).

Если положительное рациональное число а представлено дробью m / n , а положительное рациональное число в - другой дробью p / q , то а = в тогда и только тогда, когда m • q = n • p .

3. Если положительное рациональное число а представлено дробью m / n , а положительное рациональное число в - другой дробью p / n , то их суммой называется число а+в, которое представляется дробью m + p / n .

Таким образом, по определению,

m / n + p / n = m + p / n .

4. Если положительное рациональное число а представлено дробью m / n , а положительное рациональное число в - дробью p / q , то их произведением называется число а • в, которое представляется дробью m • p / n • q .

Таким образом, по определению,

m / n • p / q = m • p / n • q

5. Пусть а и в – положительные рациональные числа. Считают, что число в меньше а (в

Нажмите, чтобы узнать подробности

Понятие дроби связано с расширением множества целых чисел до множества рациональных чисел. Теоретически считается, что знакомство младших школьников с долями и дробями имеет целью расширение их представлений о числе. Дроби не являются натуральными числами (поскольку не являются целыми) - это числа рациональные. Можно провести работу по сопоставлению этих двух видов чисел и знакомству с некоторыми сходными операциями с этими числами (соотнесение с предметом моделью, запись, сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

- В математике рассматривается два подхода определеннию понятия дроби - аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический - на измерения отрезков.

Для ознакомления с решением задач лучше предлагать задачи, которые легко иллюстрировать. При решении других задач достаточно воспользоваться чертежом: число изобразить отрезком, который учащиеся делят на заданное число равных частей, обозначают долю, после чего выполняют решение устно или письменно.

В дальнейшем задачи на нахождение доли числа должны включаться для устной и письменной работы.

Задачи на нахождение числа по его доле вначале надо брать такие, чтобы их можно было непосредственно иллюстрировать.

Далее задачи на нахождение числа по его доле и задачи на нахождение доли включаются и премежении и предлагаются как для устного, так и для письменного решения. Заметим что лучше включать задаче с конкретным содержанием, чтобы учащиеся конкретно представляли долю величины. Задачи на нахождение числа по его доле, являются обратной по отношению к задаче на нахождение доли величины. Задачи решают, сопровождая их наглядным изображением ситуации.

Ознакомить детей с долями значит сформировать у них конкретные представления о долях, т. е. научить детей образовывать доли практически.

Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные бумаги; можно использовать рисунки фигур, выполненные на бумаге или в диапозитивах(круги, прямоугольники, треугольники, брускн, отрезки и т. п.). Очень важно, чтобы пособия были не только у учителя, но и у каждого из учащихся. Правильные представления о долях, а позднее о дробях будут сформированы тогда, когда ученики будут своими руками получать, например, половину круга, квадрата, четверть отрезка.










По определению дробь - это числа вида m/n, где m и n - целые числа, причем n не равно 0. Программой начальных классов не предусмотрено формирование понятия дроби как числа. Сведения о дробях ребенок получает только через практические действия над реальными объектами, величинами, множествами и описание этих действий на языке специальных символов (дробей).

Сформированность представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие операции: 1) записывать дробь, ориентируясь на объект или рисунок; 2) сравнивать дроби с опорой на объект или рисунок; 3) находить "дробь от числа" (делением объекта или множества на разные части); 4) восстанавливать число по известной его дроби (обратная операция).

Все эти умения формируются на основе принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.

Дроби (доли) в 3 классе

Запись вида 1/ 2, 1/4 подразумевает, что объект разделили на две или четыре равных части и взяли одну из них. Детям сообщается словесном название полученной части: одна двенадцатая доля; одна шестая доля. Используя рисунок круга, разделенного на несколько равных частой дети сравнивают доли, обозначая результат словом.

Дроби в 4 классе

Дроби величин

Задания, требующие нахождения дробей (долей) величин и величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.

Доля - это одна из нескольких равных частей величины. Результаты действия с дробями, ребенок формирует как результаты операций над объектами, данными предметной модели или рисунки.

Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше, чем знаменатель, например 5/4, 7/3, 11/9 и т. п.

В ряде альтернативных учебников ( Л. Г. Петеосон) практикуются задания, в которых дети должны действовать с неправильными дробями : сравнивать их, расставлять по возрастанию и т. Д.

Посмотрите внимательно. Что это?

Не удивляйтесь, именно эта сладость поможет вам познакомиться с темой сегодняшнего урока.

У вас на столах лежат макеты шоколад. Представим ситуацию. Миша вышел гулять на улицу мама дала ему шоколадку. Миша решил поделиться шоколадом с 7-ю своими друзьями.

(Учитель раздает макет шоколада)

Давайте проанализируем данную ситуацию.

Что мама дала Мише?

Сколько друзей было у Миши?

На сколько частей нужно поделить шоколадку.

Итак, давайте разделим шоколад так, чтобы хватило всем. (учитель раздает макет шоколада)

Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы [28.01.13]

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

История развития математики тесно связана с измерением величин. Однако, как показала практика, для этих целей натуральных чисел недостаточно; довольно часто единица величины не укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело к возникновению дробных чисел – что явилось основой введения понятия рационального числа.

В V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. В связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.

Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики.

Понятие рационального числа в начальных классах в явном виде не вводится. На этом этапе изучения математики идет пропедевтическая работа, направленная на формирование данного понятия. Младшие школьники знакомятся с понятием доли числа и с дробными числами. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие доли и дроби и обучать младших школьников выполнять с ними простейшие действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Объект исследования – процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования – пропедевтика формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.

Цель исследования – разработать и апробировать на практике дидактические материалы, способствующие формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы.

Гипотеза исследования: пропедевтическая работа, направленная на формирование понятия дроби как рационального числа будет успешной, если учитель:

- изучил теоретические основы введения понятия рационального числа в курсе математики;

- определил методику ознакомления младших школьников с понятиями доли и дроби;

- подобрал дидактические средства, способствующие формированию понятия доли и дроби в процессе обучения математики в четвертом классе.

В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:

- выявить теоретические положения, лежащие в основе пропедевтике формирования понятия рационального числа на начальном этапе изучения математики;

- выявить методические приемы, способствующие формированию понятия доли и дроби на уроках математики;

- разработать и апробировать на практике методическое обеспечение уроков математики, направленных на пропедевтику формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.

Для решения поставленных задач использованы методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и научно - методической литературы по проблеме исследования, опрос, опытно – практическая работа.

Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.

Глава 1 Теоретические основы формирования понятия доли и дроби

1.1 Исторический аспект происхождения дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида , которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной [21].

Исторически дроби возникли в процессе измерения. В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Список используемой литературы

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Читайте также: