Планирование многофакторного эксперимента кратко

Обновлено: 02.07.2024

Основы планирования многофакторного эксперимента

1) управляющие (входные) , которые называются факторами;

2) выходные параметры , которые называются параметрами состояния;

3) - возмущающие воздействия.

Предполагается, что возмущающие воздействия не поддаются контролю и либо являются случайными, либо меняются во времени.

Каждый фактор имеет область определения, которая должна быть установлена до проведения эксперимента.

Комбинацию факторов можно представить как точку в многомерном пространстве, характеризующую состояние системы.

На практике целью многофакторного эксперимента является установление зависимости

описывающей поведение объекта. Чаще всего функция (6.2.1) строится в виде полинома

Целью эксперимента может быть, например, построение зависимости (6.2.1) при минимальном количестве измерений значений управляющих параметров .

На первом этапе планирования эксперимента необходимо выбрать область определения факторов . Выбор этой области производится исходя из априорной информации. Значения называются уровнями управляющего параметра.

Если выбрана линейная модель (6.2.2), то для построения аппроксимирующей функции достаточно выбрать основной уровень и интервал варьирования управляющего параметра .

Для линейной модели интервал варьирования можно определить как

а основной (нулевой) уровень - как среднее значение

Для упрощения планирования эксперимента принято вместо реальных (натуральных) уровней использовать кодированные значения факторов. Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать при помощи следующего преобразования

где - натуральное значение фактора; - интервал варьирования; - основной уровень; - кодированное значение. В результате принимает значения на границах , на основном уровне . Основная проблема состоит в выборе области варьирования, поскольку эта задача является неформализованной.

Рассмотрим полный факторный эксперимент на примере линейной модели (6.2.2). Если число факторов , то для проведения полного факторного эксперимента нужно опытов, где 2 - число уровней, которого достаточно для построения линейной модели.

Условие проведения этого эксперимента можно зафиксировать в матрице планирования (табл.5.3).

Очень важны общие свойства матрицы планирования:

1) симметричность матрицы относительно центра эксперимента: . Тогда .

2) условие нормировки , то есть сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов.

3) совокупность столбцов имеет следующее свойство , где .

4) Ротатабельность. Это означает, что точки (значения факторов) в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания выходного параметра должна быть одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (нулевого уровня) и не зависеть от направления.
Планирование эксперимента первого порядка для двух переменных.

План эксперимента первого порядка для двух переменных показан на рис.6.2. То есть искомая функция описывается модельно в виде плоскости

Расположение этой модели в пространстве показано на рис.6.2 поверхностью, проходящей через точки 1 – 2 – 3 – 4.

Необходимые уровни для полного факторного эксперимента расположены в плоскости . Для модели в виде гиперболоида этот план является предельно экономным. Для построения гиперболоида необходимо определить четыре коэффициента в модели (6.2.5). Это можно сделать, решая систему из четырех уравнений. Следовательно, необходимы все четыре опыта. В теории планирования эксперимента используется термин насыщенности.

Если рассматривать модель (6.2.4) в виде плоскости, то план эксперимента является ненасыщенным (избыточным), так как необходимо определить только три коэффициента , и . В случае модели (6.2.5) (насыщенный эксперимент) решение системы единственно, и поверхность гиперболоида пройдет через все четыре экспериментальных значения . Следствием этого является то, что насыщенный эксперимент не позволяет усреднить случайные погрешности и не дает сведения об их размере.

Для ненасыщенного плана (6.2.4) избыточное число опытов позволяет произвести усреднение и оценить размеры погрешности. Проведя плоскость через точки 1, 2 и 3, можно оценить погрешность, определив, на каком расстоянии от плоскости находится точка 4. Оценка Погрешность в других точках может быть оценена проведением плоскостей 1 – 3 – 4, 1 – 2 – 4 и 2 – 3 – 4. С другой стороны коэффициент наклона поверхности к оси может быть найден как из наклона прямой 1 – 2, так и из наклона прямой 3 – 4. Аналогично коэффициент при можно определить из наклона прямых 1 – 3 и 2 – 4.

Поскольку полученные таким образом значения и могут отличаться, ненасыщенный эксперимент позволяет провести их усреднение и оценить погрешность.

Если уравнение плоскости представить в виде

где ; , то мы переносим начало координат в точку с координатами . Тогда коэффициент находится усреднением всех четырех значений как высота центра плоскости 1 – 2 – 3 – 4.

Процесс переноса начало координат в центр пространства факторов с координатами очень важен при обработке данных любых экспериментов, описываемых моделью в виде гиперплоскости, так как позволяет получить более устойчивое усредненное значение для .

Важнейшим фактором является то, что в результате такого усреднения построенная плоскость удовлетворяет всем четырем значениям лишь в среднем. В любой точке может быть найдена погрешность отклонения экспериментальных данных относительно модели, и по этим четырем отклонениям можно вычислить СКО.

Таким образом, один из четырех опытов является избыточным и может быть исключен. Но тогда план эксперимента становится неротатабельным, то есть неравноточным по всем направлениям. Если исключена точка 4 на рис.6.2, то в направлении 3 – 2 в плоскости факторов будет обеспечена большая точность, чем в направлении 1 - 0. В этом случае для восстановления ротатабельности точки 1, 2 и 3 в плоскости факторов должны быть равноудалены как друг от друга, так и от центра, то есть располагаться в вершинах равностороннего треугольника с центром в точке 0. В общем случае для линейной модели (6.2.4), эксперимент содержащий конечное число опытов позволяет получить только оценки для коэффициентов , и . Подставив в уравнение модели (6.2.4) известные значения факторов и результаты опытов получим систему линейных алгебраических уравнений для определения . Если количество этих уравнений больше трех, то значения оценок , и могут быть получены при помощи МНК:

где - количество опытов. Здесь учтено, что принимают значения -1,+1.

Для вычисления коэффициентов линейной модели по формуле (6.2.7) получим:

Таким образом, для вычисления и можно использовать (6.2.8). Для определения в формуле (6.2.4) найдем среднее значение , равное , где , .

В случае симметричности матрицы планирования , откуда . Чтобы коэффициент модели вычислялся по единой формуле (6.2.7) в матрице планирования вводят фиктивную переменную , которая принимает значение во всех опытах и соответствует коэффициенту . Коэффициент при независимых переменных указывает на силу влияния факторов: чем больше значение имеет коэффициент , тем большее влияние оказывает соответствующий фактор. В этом смысле результат планирования эксперимента алогичны факторному анализу. Для пассивных экспериментов факторный анализ может использоваться в качестве априорных данных при планировании.

Планируя эксперимент, стремятся получить линейную модель, однако в выбранных интервалах варьирования априори не известно, что линейная модель адекватно описывает поведение системы.

Нелинейность связана со смешанным взаимодействием. Формула (6.2.5) всегда может быть оценена по полному факторному эксперименту. Для полного факторного эксперимента матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия приведена в табл.6.5.

Эксперимент, в процессе которого исследуется функциональная зависимость одной величины от нескольких других , называется многофакторным экспериментом.

Независимые переменные называются факторами, k - число факторов. Зависимая переменная y называется функцией отклика. С применением планирования многофакторного эксперимента приходится решать чаще всего две задачи: интерполяционную и задачу оптимизации.

Интерполяционной задачей называется задача построения уравнения регрессии , адекватного результатам опытов.

Задачей оптимизации называется задача отыскания таких значений факторов , при которых функция отклика y достигает экстремума.

Для решения указанных задач проводят опыты. Под опытом будем понимать прямое или косвенное измерение функции отклика y при фиксированных значениях факторов . Опыт может состоять как из однократного измерения, так и из n повторных измерений.

Совокупность опытов, необходимых для решения поставленной задачи (интерполяционной и оптимизации), называется планом эксперимента.

Фиксированное значение фактора будем называть его уровнем. Разность двух ближайших уровней фактора называется интервалом варьирования.

Совокупность численных значений, которые может принимать фактор, будем называть областью варьирования.

Выбор факторов, от которых зависит функция отклика, осуществляется на основе уже имеющихся результатов предыдущих исследований (так называемой априорной информации).

Выбирая факторы, надо следить за тем, чтобы они удовлетворяли следующим требованиям:

а) управляемости факторов;

б) совместности факторов;

в) независимости факторов друг от друга.

Область варьирования факторов задается путем введения ограничений на возможность изменения (варьирования) факторов. Ограничения бывают двух видов:

а) ограничения, накладываемые непосредственно на факторы (например, ;

б) ограничения, накладываемые на функциональные зависимости факторов. Выбор ограничивающих зависимостей, осуществляется из технических, технологических соображений, соображений, основанных на опыте предыдущих исследований или исследований в смежной области.

Выбор вида уравнения регрессии или вида модели осуществляется из следующих соображений. Наиболее удобными для последующих расчетов являются полиномиальные модели, т.е. модели, составленные из алгебраических многочленов.

Например, для трехфакторной функции отклика может быть выбрана линейная модель

неполная квадратичная модель

Полиноминальные модели более высоких порядков обычно не применяют. При отсутствии априорной информации о характере зависимости функции отклика от факторов следует выбрать наиболее простую линейную модель. Если линейная модель окажется неадекватной, следует перейти к модели более высокого порядка – неполной квадратичной, квадратичной.

При существенно нелинейной зависимости функция отклика от факторов применяются и другие виды моделей, например мультипликативные. Мультипликативная модель записывается в виде . Мультипликативная модель может быть преобразована в линейную модель заменой переменных

План эксперимента, необходимого для решения интерполяционной задачи, выбирают исходя из вида модели. Для линейной модели может быть применен наиболее простой план эксперимента – симметричный двухуровневый. Симметричный двухуровневый план предусматривает проведение опытов на двух уровнях, симметричных относительно некоторого уровня, выбранного в качестве исходного.

Для трехфакторной функции отклика обозначают - исходные уровни факторов; - верхние уровни; - нижние уровни; - интервалы варьирования. Верхние и нижние уровни факторов получают путем прибавления и вычитания из исходного уровня варьирования

План эксперимента может быть записан в виде таблицы, называемой матрицей планирования или репликой. Значения факторов записывают в реплику не в натуральном, а в кодированном (безразмерном) виде. Кодированные значения факторов будем обозначать . Кодированные и натуральные значения факторов связаны между собой соотношениями

где - исходный уровень и интервал варьирования j-го фактора; j – номер фактора.

В кодированном виде верхний уровень любого фактора всегда равен +1, а нижний равен –1. Исходный уровень любого фактора в кодированном виде всегда равен нулю. Интервал варьирования любого фактора в кодированном виде всегда равен 1. В качестве примера запишем матрицы планирования симметричного двухуровнего плана для двухфакторной и трехфакторной функции отклика (табл. 2.1 и табл.2.2 соответственно).

При решении интерполяционной задачи выбор исходных уровней и интервалов варьирования факторов осуществляется из следующих соображений. Полученное уравнение регрессии (модель) будет справедливо лишь для области, ограниченной верхними и нижними уровнями факторов, экстраполяция уравнения регрессии за их пределы неправомерно. Поэтому, определив область варьирования факторов, с помощью системы ограничивающих зависимостей, выбирают исходный уровень возможно ближе к центру области варьирования, а верхний и нижний уровни – ближе к границам.

Файлы: 1 файл

Контрольная работа - Математическое моделирование.doc

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курганский государственный университет

Кафедра "Инноватика и менеджмент качества"

Многофакторное планирование

экспериментов первого порядка

Контрольные задания

Кафедра: " Инноватика и менеджмент качества "

Дисциплина: «Математическое моделирование в инженерной

Составитель: канд. техн. наук, доцент В.Ф. Губанов

Следовательно, для реальных производственных условий, во многих случаях, быстрее и дешевле воспользоваться традиционными способами получения эмпирических формул, чем разрабатывать теоретические модели или хотя бы теоретико-экспериментальные.

Исходя из вышесказанного, целью контрольных заданий является обучение студентов применению математического аппарата обработки экспериментальных данных при достаточно распространенном многофакторном планировании экспериментов первого порядка.

На примере процесса выглаживания приводятся данные, отражающие количественные связи между режимами и условиями выглаживания и параметрами качества поверхностного слоя выглаженных деталей (научные исследования выполнялись на кафедре инноватики и менеджмента качества доцентами В.В. Марфицыным и В.Ф. Губановым). При этом в зависимости от номера варианта, рассматривается обработка данных полного факторного эксперимента или дробного факторного эксперимента.

В ходе выполнения контрольных заданий студенты должны определить коэффициенты уравнения регрессии и проверить адекватность уравнения регрессии.

Математический аппарат, необходимый для решения поставленной задачи, приведен в работе [1].

Для реализации многофакторной регрессионной модели Ra=f(h_з, s₀, n) процесса выглаживания термоупрочненной сталью (сглаживающий режим), отражающей количественные связи между натягом (h_з), подачей (s₀), частотой вращения шпинделя (n) и параметром шероховатости - Ra, был спланирован и поставлен эксперимент (180-220 НВ).

Была реализована реплика 2 3 . Интервалы варьирования принимались, исходя из реальных пределов колебания значений факторов, определенных в результате предварительных поисковых экспериментов.

Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов приведены в таблице 1. Матрица плана эксперимента и результаты измерений Ra (в виде логарифма) представлены в таблице 2.