Основы теории зубчатого зацепления кратко

Обновлено: 05.07.2024

Профили зубьев пары колес должны быть сопряженными, т. е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответствовать вполне определенный профиль зуба другого колеса. Чтобы обеспечить постоянство передаточного числа, профили зубьев зацепления нужно очертить такими кривыми, которые удовлетворяли бы требованиям основной теоремы зацепления.

Для доказательства теоремы рассмотрим пару сопряженных зубьев в зацеплении (рис. 85). Профили зубьев шестерни и колеса касаются в точке S, называемой точкой зацепления. Центры вращения Ο₁и О₂ расположены на неизменном расстоянии а _ω друг от друга. Зуб шестерни, вращаясь с угловой скоростью ω₁, оказывает силовое действие на зуб колеса, сообщая последнему угловую скорость ω₂. Проведем через точку S общую для обоих профилей касательную ТТ и нормаль NN. Окружные скорости точки S относительно центров вращения Ο₁и О₂ определяться как v₁ и v₂.

Рис. 85. Схема к доказательству основной теоремы

Разложим и на составляющие и по направлению нормали NN и составляющие и по направлению касательной ТТ. Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблюдение условия = в противном случае при произойдет врезание зубьев. Опустим из центров Ο₁и О₂ перпендикуляры Ο₁Β и О₂С на нормаль NN.

Основная теорема зацепления.

Из подобия треугольников ΔaSe и ΔBSO₁ / = 0₁B/0₁S, откуда

Из подобия треугольников ΔaSf и ΔCSO₂ / = O₂C/O₂S, откуда Но = , следовательно, ω₁·O₁B = ω₂·O₂C.

Нормаль NN пересекает линию центров Ο₁Ο₂ в точке П, называемой полюсом зацепления. Из подобия треугольников ΔО₂ПС и ΔΟ₁ΠΒ

Сравнивая отношения (1) и (2), получаем

Таким образом, основная теорема зацепления формулируется: для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профили их зубьев должны очерчиваться по кривым, у которых общая нормаль ΝΝ, проведенная через точку касания профилей, делит расстояние между центрами Ο₁Ο₂ на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Полюс зацепления Π сохраняет неизменное положение на линии центров О₁О₂, следовательно, радиусы r_w₁ и r_w₂ также неизменны.

Окружности радиусов r_w₁ и r_w₂ называют начальными. При вращении зубчатых колес начальные окружности перекатываются друг по другу без скольжения, о чем свидетельствует равенство их окружных скоростей ω₁ r_w₁ = ω₂ r_w₂, полученное из формулы (13.3).

Вытекающее из формулы равенство окружных скоростей свидетельствует о том, что при вращении зацепленных зубчатых колес окружности радиусов r_w₁ и r_w₂ перекатывают друг по другу без скольжения. Эти окружности называются начальными, а соответствующие им цилиндры в цилиндрической зубчатой передаче и конусы в конической зубчатой передаче — начальными цилиндрами и начальными конусами.

Из вышеизложенного следует, что начальная окружность проходит через полюс зацепления и катится по другой начальной окружности без скольжения. Диаметр начальной окружности обозначается d_w и называется начальным диаметром зубчатого колеса.

Из всего многообразия сопряженных профилей зубьев наиболее распространены эвольвентные, которые отличаются простотой и удобством изготовления зубьев и допускают возможность изменения в известных границах межосевого расстояния передачи без нарушения правильности зацепления зубчатых колес. Профили зуба эвольвентного зацепления образуются двумя симметричными эвольвентами.

Эвольвентой называется кривая, описываемая какой-либо точкой, лежащей на прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Перекатываемая по окружности прямая называется производящей прямой, а окружность, по которой перекатывается производящая прямая,— основной окружностью.

Профили зубьев колес должны быть сопряженными, т. е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответствовать вполне определенный профиль зуба другого колеса.
Чтобы выяснить, какова должна быть форма профиля зубьев пары колес, чтобы зацепление обеспечивало требуемое постоянство передаточного отношения, рассмотрим два зуба С и D , принадлежащих шестерне и колесу передачи и соприкасающихся в точке S (см. рисунок 2).

С – ведущее колесо с центром вращения О₁ , а D – ведомое колесо с центром вращения в точке О₂ . Расстояние a_w между центрами О₁ и О₂ неизменно.
Зуб шестерни, вращаясь с угловой скоростью ω₁ , оказывает давление на зуб колеса, сообщая ему угловую скорость ω₂ .

Проведем через точку S общую для обоих профилей касательную ТТ и нормаль NN .
Очевидно, что окружные скорости точки касания зубьев S относительно центров вращения О₁ и О₂ будут равны:

Разложим скорости v₁ и v₂ на составляющие v'₁ и v'₂ по направлению нормали NN и составляющие v''₁ и v''₂ по направлению к касательной ТТ .
Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблюдение условия v'₁ = v'₂ , иначе, если скорость точки касания на зубе шестерни будет меньше скорости точки касания на зубе колеса (т. е. v'₁ ) , то зуб шестерни отстанет от зуба колеса, если же точка касания на зубе шестерни будет больше точки касания на зубе колеса ( v'₁ > v'₂ ), произойдет врезание зубьев.

Опустим из центров О₁ и О₂ перпендикуляры О₁В и О₂С на нормаль NN .
Поскольку треугольники aeS и BSO₁ подобны, можно записать:

Из подобия треугольников afS и CSO₂ следует:

Нормаль NN пересекает линию центров О₁О₂ в точке П , называемой полюсом зацепления .
Из подобия треугольников О₂ПС и О₁ПВ следует:

Сравнивая соотношения (1) и (2), получим:

Это соотношение выражает основную теорему зацепления, которая может быть сформулирована следующим образом:
Для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профили их зубьев должны быть очерчены по кривым, у которых общая нормаль NN , проведенная через точку касания профилей, делит расстояние между центрами О₁О₂ на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Полюс зацепления П сохраняет неизменное положение на линии центров О₁О₂ , поэтому радиусы r_w2 и r_w1 также неизменны. Окружности радиусов r_w1 и r_w2 называют начальными .
При вращении зубчатых колес начальные окружности перекатываются друг по другу без скольжения, о чем свидетельствует равенство скоростей ω₁ r_w1 и ω₂ r_w2 , полученное из формулы (3).

Из множества кривых, удовлетворяющих требованиям основной теории зацепления, практическое применение в современном машиностроении получила эвольвента окружности, которая обладает следующими свойствами:

позволяет получить сравнительно точно и просто профиль зуба в процессе нарезания;
без нарушения правильности зацепления допускает некоторое изменение межосевого расстояния aw, которое может появиться в результате неточностей изготовления и сборки, деформации деталей передачи при работе;
обеспечивает высокую точность и долговечность зубьев, малые скорости скольжения точек контакта на поверхности зацепляющихся зубьев и высокий КПД.

Эвольвента окружности и ее свойства

Эвольвентой окружности называют плоскую кривую переменной кривизны, которую описывает точка S прямой NN , перекатываемой без скольжения по окружности радиуса r_b . Эту окружность называют эволютой или основной окружностью, а перекатываемую кривую NN – производящей прямой.

Читайте также: