Основные свойства корней кратко

Обновлено: 07.07.2024

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа a (n=2, 3, 4. ) называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число a.

Число a называют подкоренным числом, число n — показателем корня. Важно, что корень четной степени существует только из положительных чисел, а корень нечетной — как из положительных, так и отрицательных, поэтому выражение - 27 4 не имеет смысл, а тот же корень третьей степени имеет — - 27 3 = - 3 .

В алгебре корни нужны для более сокращенных и точных подсчетов, т.к самый простой корень из числа 3 будет равен длинной десятичной дроби, округлив которую получим лишь приблизительное значение. Такие числа называются иррациональными и намного удобнее представить их в виде радикала.

Знак радикала как раз и используют для обозначения корня.

Основные свойства

Основные свойства корня n-ой степени с примерами:

( a n ) n = a , n - ч е т н о a , n - н е ч е т н о Корень n-ой степени и возведение в эту же степень, эти операции являются взаимопоглощающими, поэтому при извлечении корня и возведении значения в степень, получаем искомое число a. Пример: вычислите значение выражения ( - 5 , 8 3 ) 3 . По свойству получаем значение выражения равному -5,8.
a b n = a n * b n , a ≥ 0 , b ≥ 0 . Пример: найти значение выражения: 25 3 * 5 3 = 25 * 5 = 125 3 3 = 25 .
a b n = a n b n , a ≥ 0 , b > 0 . Пример: найти значение выражения 27 8 3 = 27 3 8 3 = 3 2 .
( a n ) k = a n k . Пример: найти значение выражения: ( 2 3 ) 6 = 2 3 6 = 64 3 = 4 .
a k n = a n k , a ≥ 0 . Пример: найти значение выражения: 729 2 3 = 729 3 * 2 = 729 6 = 3 .
a k p n p = a k n , a ≥ 0 . Пример: найти значение выражения: 8 6 9 = 8 3 * 2 3 * 3 = 8 2 3 = 64 3 = 4 .
- a n = - a n , n - н е ч е т н о . Пример: найти значения корня: - 27 3 = - 27 3 = - 3

Область определения корня, пояснение на примерах

Под областью определения в математике понимают множество допустимых для конкретного выражения значений неизвестной переменной (x).

Для корня n-ой степени область определения меняется в зависимости от значения показателя корня.

Если n — четное число, где, n = 2m, где m ∈ N, то область определения — это множество всех действительных неотрицательных чисел D ( x 2 * m ) = [ 0 ; + ∞ ) .

Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть, n = 2m+1, то область определения корня — множество всех действительных чисел D ( x 2 * m + 1 ) = ( - ∞ ; + ∞ ) .

Рассмотрим несколько примеров на определение области определения выражений содержащих корень:

Найти область определения функции f ( x ) = 1 x 2 + 4 x + 3 . Решение: т.к. подкоренное выражение с корнем четной степени (n=2) должно быть положительным, то необходимо решить неравенство x 2 + 4 x + 3 > 0 . Неравенство является строгим, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. После результатам решения неравенства получим область определения D ( f ) = ( - ∞ ; - 3 ) ∪ ( - 3 ; + ∞ ) .
Найти область определения функции y = 12 - 2 x 6 . Решение: подкоренное выражение из корня четной степени должно быть больше или равно нулю, отсюда следует 12 - 2 x ≥ 0 , о т к у д а x ≤ 6 .
Найти область определения функции y = 3 x - 6 - 25 - x 3 . Решение: функция содержит два выражения под корнем и областью определения будет пересечения областей определения каждого подкоренного выражения, однако подкоренное выражение s q r t [ 3 ] 25 - x может любое значение (т.к показатель степени у корня нечетный). Значит для определения области определения всего выражения будет достаточно только указать область определения выражения для подкоренного выражения 3 x - 6 . Получим 3 x - 6 ≥ 0 , j n r e l f x ≥ 2 .

Метод оценки значения

Не из всех чисел можно извлечь челочисленный корень, в таком случае необходимо приблизительно оценить значение этого корня. Методом оценки значения корня является метод подбора левой и правой границ, т.е. целочисленных значений, корень из которых мы можем извлечь.

Рассмотрим пример: оценить значение 19 . Найдем ближайшие числа большие и меньшие 19, из которых извлекается целочисленный корень, это соответственно 25 и 16, тогда имеем: 16 19 25 , значит 4 19 5 . Значение корня извлеченного из 19 находится в промежутке между 4 и 5.

Рассмотрим еще один пример: оценить значение выражения 19 3 . Найдем ближайшие целочисленные границ, из которых можем извлечь кубический корень, получим: 8 3 19 3 27 3 , значит 2 19 3 3 . Значение кубического корня, извлеченного из числа 19 находится в промежутке между 2 и 3.

Задания для самопроверки

Выполним ряд заданий для проверки и закрепления работы с корнями n-ой степени.

Найти значение выражения 121 * 64 .

Решение: применим свойство произведения корней a b n = a n * b n , получим 121 * 64 = 11 * 8 = 88 .

Решить неравенство ( x - 2 ) 2 ≤ 4 .

Решение: применим свойство корня , тогда неравенство примет вид: ( x - 2 ) ≤ 4 или - 4 ≤ x - 2 ≤ 4 , решая двойное неравенство получим — - 2 ≤ x ≤ 6 .

Найти значение выражения 16 81 4 .

Решение: применим свойство корня a b n = a n b n , получим 16 4 81 4 = 2 3 .

Указать имеет ли смысл выражение - 27 3 .

Решение: вспомним какие числа являются область определения для корня нечетной степени, эти числа — любые, отсюда следует, что выражение - 27 3 имеет смысл.

Указать при каких значениях переменной у имеет смысл выражение 1 y - 1 .

Решение: чтобы определить все допустимые значения переменной необходимо обеспечить выполнение двух условий.

Подкоренное выражение из корня четной степени принимает неотрицательные значения, второе в дроби знаменатель не может быть равен нулю, тогда получим систему: y ≥ 0 y - 1 ≢ 0

Решая эту систему, получим y ≥ 0 y ≢ 1 . Значит выражение имеет смысл при всех у больше или равных нулю, исключая единицу.

Оцените значение выражения 124 4 .

Решение: Найдем ближайшие левую и правую границы, из которых можно извлечь целочисленный корень четвертой степени, получим 81 4 124 4 256 4 или 3 124 4 4 .

А сейчас мы рассмотрим свойства корней.

Квадратный корень, кубический корень и корень в N-ой степени.

Порешаем задачки, чтобы к концу этого занятия все, что касается корней (в любой степени) было тебе абсолютно понятно!

И, самое главное, чтобы ты смог решить любую задачу c корнями на экзамене!Поехали!

Свойства корней — коротко о главном

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа $ a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $ a$

Свойства корней:

Для любого натурального $ n$, целого $ k$ и любых неотрицательных чисел $ a$ и $ b$ выполнены равенства:

Арифметический квадратный корень

Когда ты разберешься в этой теме, тебе станет намного легче решать иррациональные уравнения и неравенства.

Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение $ ^>=4$. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом $ 4$?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: $ 2$ и $ -2$ ( ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ $ \sqrt$.

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа $ a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $ a$
$ \left( \sqrt=x,\ ^>=a;\ \ x,a\ge 0 \right)$

А почему же число $ a$ должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен $ \sqrt$. Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: $ ^>=9$, а не $ -9$. Может, $ \left( -3 \right)$? Опять же, проверяем: $ <<\left( -3 \right)>^>=9$. Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

Квадратное уравнение или квадратный корень?

К примеру, $ ^>=4$ не равносильно выражению $ x=\sqrt$.

Из $ ^>=4$ следует, что $ \left| x \right|=\sqrt$, то есть $ x=\pm \sqrt=\pm 2$ или $ _>=2;\ _>=-2$.

А из $ x=\sqrt$ следует, что $ x=2$.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как $ 2$, так и $ -2$.

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение $ ^>=3$.

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: $ ^>=0$ – не подходит.

Двигаемся дальше $ \text=1;\ ^>=1$ – меньше трех, тоже отметаем.

А что если $ x=2$; $ ^>=4$ – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между $ 1$ и $ 2$, а также между $ -2$ и $ -1$.

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше?

Давай построим график функции $ y=^>$ и отметим на нем решения. (Прочти по ссылке как использовать график функции для решения уравнений)

Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из $ 3$, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что $ \sqrt=1,732050807568…$.

Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. $ \sqrt$ и $ -\sqrt$ уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления.

Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной $ \displaystyle 1$ км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: $ ^>=<^>+<^>$. Таким образом, $ ^>=1+1=2$.

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что $ c=\sqrt$. Корень из двух приблизительно равен $ 1,41$, но, как мы заметили раньше, $ \sqrt$ -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от $ 1$ до $ 20$, а также уметь их распознать.

К примеру, необходимо знать, что $ 15$ в квадрате равно $ 225$, а также, наоборот, что $ 225$ – это $ 15$ в квадрате.

Вот тебе полная таблица квадратов чисел. Сверху строка — основание степени, слева в столбик показатель степени, на пересечение искомое значение степени. Запомнить нужно только то, что выделено зеленым.

Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:

Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей (тоже важное свойство корней):

Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

Квадратный корень как элементарная функция.

Квадратный корень – это элементарная функция и частный случай степенной функции при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а в нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется (отличительное свойтво корней).

Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле.

Свойство корня как функции.

На [0; +∞) можно поставить каждому числу х в соответствие единственное число корень n-степени из x при любом значении n.

То есть это означает, что на множестве [0; +∞) можно говорить о функции корня:

Теперь определим свойства функции корня и построим ее график.

Основные свойства корня как функции:

Промежуток [0; +∞) – является областью определения.

Так как неотрицательное число является корнем n-степени из неотрицательного числа, значит промежуток [0; +∞) будет областью значения функции.

Поскольку симметричным множеством не является область определения функции, поэтому данная функция не является ни нечетной, ни четной.

Операция по извлечению корня вводилась как обратная операция возведения в соответствующую степень.

Значит можно утверждать, что:

Теперь можно построить график функции корня.

Пользуясь графиком, можно записать оставшиеся свойства функции.

На промежутке [0; +∞) функция возрастает.

Сверху функция не ограничена, но она ограничена снизу, например, прямой у, которая = -0,5.

На всей области определения функция выпукла вверх.

У функции наименьшим значением будет являться 0, а наибольшего значения она не имеет.

Если в каждой из точек некоторого промежутка функция дифференцируема, то это значит, что на данном промежутке она непрерывна.

В любой точке промежутка [0; +∞) существует эта производная, исключением является только точка 0.

Поскольку в любой точке промежутка (0; +∞) функция имеет производную, значит на промежутке (0; +∞) функция дифференцируема.

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени ($n=2, 3, 4, 5, 6… $) некоторого числа $a$ называют такое неотрицательное число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает $a$:

Число $n$ при этом называют показателем корня.

Если $n=2$, то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если $n=3$, то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим $2,668…$ – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть $\sqrt[3]$.

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3] \le \sqrt[3] \le \sqrt[3] $$ $$ 2 \le \sqrt[3] \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два неотрицательных числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

Читайте также: