Основное логарифмическое тождество это кратко

Обновлено: 02.07.2024

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Логарифмом называют показатель степени $n$, при возведении в которую числа $а$ получают число $b$.

Показательное уравнение $a^n=b$ при $a > 0$, $a \ne 1$ не имеет решений при неположительном $b$ и имеет единственный корень при положительном $b$. Этот корень называется логарифмом числа $b$ по основанию $а$ и записывают:

называют основным логарифмическим тождеством при условии, что $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Основное логарифмическое тождество

Основным логарифмическое тождество называется, т.к. оно используется практически всегда при работе с логарифмами. К тому же с его помощью обосновываются основные свойства логарифмов.

$7^5=16 807$, следовательно $\log_16 807=5$.

$11^0=1$, следовательно $\log_⁡1=0$.

Рассмотрим следствие основного логарифмического тождества:

Если два логарифма с одинаковыми основаниями равны, значит равны и логарифмируемые выражения:

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим ограничения, которые применяются для логарифмического тождества:

Логарифм для $a=0$ согласно определению может существовать лишь при $b=0$. Т.к. при возведении в любую степень нуля всегда получим нуль, то $\log_⁡0$ может быть любое действительное число. Чтобы не допустить эту неоднозначность принимают $a \ne 0$. При $a рациональных и иррациональных значений логарифма, т.к. степень с рациональным и иррациональным показателем может вычисляться только для положительных оснований. Чтобы не допустить такую ситуацию принимают $a > 0$.

Основным логарифмическим тождеством зачастую пользуются для упрощения логарифмических выражений.

Для того, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество необходимо, чтобы основание логарифма и степени были одинаковыми. Запишем основание степени в виде:

Теперь можем записать:

воспользуемся свойством степени:

к каждому множителю теперь можно применить основное логарифмическое тождество:

Для применения основного логарифмического тождества также можно прибегнуть к замене основания логарифма на выражение, которое стоит под знаком логарифма, и наоборот.

Основное логарифмическое тождество и логарифм тесно взаимосвязаны. И по сути, основное логарифмическое тождество является математической записью определения логарифма. Разберем подробно, что такое логарифм, откуда он произошел.

Рассмотрим алгебраическое действие - вычисление показателя х по заданным определенным значениям степени b и основанию а. Это задание в принципе заключается в решении уравнения a x = b, где а и b— некоторые заданные величины, x - неизвестная величина. Обратим внимание, что у данной задачи решения существуют не всегда.

Когда, к примеру, в уравнении a x = b число а положительно, а число b отрицательно, то у такого уравнения корней нет. Но если только а и b положительны и а ≠ 1, то оно непременно имеет исключительно один единственный корень. Достаточно известный факт, что график показательной функции у = а х непременно пересекается с прямой у = b и притом исключительно в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будут корнем уравнения.

Для обозначения корня уравнения a x = b принято употреблять log_ab (произносим: логарифм числа b по основанию а).

Логарифм числа b по основанию а это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b причем a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Исходя из определения, получаем основное логарифмическое тождество:

Следствием основного логарифмического тождества является нижеследующее правило.

Из равенства двух вещественных логарифмов получаем равенство логарифмируемых выражений.

Действительно, когда log_ab = log_aс, то , откуда, b = c.

Рассмотрим, почему для логарифмического тождества взяты ограничения a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Первое условие a ≠ 1.

Общеизвестно, что единица в любой степени будет единица, и равенство x = log_ab может существовать лишь при b = 1, но при этом log₁1 будет любым действительным числом. Для недопущения этой неоднозначности и принимается a ≠ 1.

Обоснуем необходимость условия a > 0.

При a = 0 по определению логарифма может существовать только при b = 0. И следовательно тогда log₀0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Не допустить эту неоднозначность дает условие a ≠ 0. А при a 0.

И заключительное условие b > 0 является следствием из неравенства a > 0, так как x = log_ab, а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Логарифм числа b по основанию a является обратной функцией показательного уравнения b = a x .

Пишется как log _a b = x и означает следующее: в какую степень x нам нужно возвести число a , чтобы получить b .

основание a должно быть положительным числом, не равным единице ( a>0, a≠1 );
число b должно быть положительным ( b>0 ), т.к. при отрицательном значении корня уравнения ( x ) не существует (при положительном – корень один).

Формула основного логарифмического тождества

Если перечисленные выше условия выполняются, то справедливо следующее выражение, которое имеет специальное название – основное логарифмическое тождество:

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве a x = N можно сказать, что x — это логарифм числа N по основанию a (где a > 0 и a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается log, основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны log.

Если мы знаем, что логарифм числа N при основании a равен числу x, то есть:

то это равенство можно написать без знака логарифма

a x = N,

где a — основание степени, x — показатель степени, N — степень.

log_aN = x и a x = N

выражают одну и ту же зависимость между числами a, x и N: если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами a, x и N можно выразить ещё одним равенством:

x √ N = a или a = x √ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании a (a > 0 и a ≠ 1) логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа N при таком же основании, как и основание степени, равна числу N.

Возьмём логарифм числа N при основании a равный числу q

log_aN = q, значит a q = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа q равное ему выражение log_aN, получим

Выражение a log_aN = N называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0 и a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна 1:

Логарифм числа равного основанию равен единице.

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a 1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

где M > 0, N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

log_a	M	= log_aM - log_aN ,
	N

где M > 0, N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

где N > 0, x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

log_a x √ N =	log_aN	=	1	log_aN .
	x		x

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

log_a x √ N = log_{a x} N =	1	log_aN .
	x

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

log_{a β} N α =	α	log_aN ,
	β

где N > 0, β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

log_bN =	log_aN	,
	log_ab

где N > 0. Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

Читайте также: