Олимпиадные задания по математике 11 класс школьный этап с решениями и критериями

Обновлено: 02.07.2024

Из 45 монет 20 настоящих и 25 фальшивых, причем каждая фальшивая весит на один грамм меньше каждой настоящей. Взяли одну монету. Можно ли за одно взвешивание на точных весах (с двумя чашками и стрелкой) определить, является ли эта монета настоящей?

2. Решите задачу (7 баллов)

Сколько решений в целых числах имеет уравнение: x2 – 3xy + 2y2 = 7?

3. Решите задачу (7 баллов)

Сколько корней имеет уравнение: sin(8x) / cos(5x) = 1 на отрезке [0,2010π]?

4. Решите задачу (7 баллов)

Известно, что сумма кубов двух положительных чисел равна разности этих чисел. Докажите, что сумма квадратов этих чисел меньше 1.

5. Решите задачу (7 баллов)

Окружность радиуса 3 касается внутренним образом окружности радиуса 5. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 3:5. Найдите длину этой хорды.

Примерные варианты решений и оценка задач

Муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

1. Из 45 монет 20 настоящих и 25 фальшивых, причем каждая фальшивая весит на один грамм меньше каждой настоящей. Взяли одну монету. Можно ли за одно взвешивание на точных весах (с двумя чашками и стрелкой) определить, является ли эта монета настоящей?

Решение. Разобьем оставшиеся 44 монеты на две кучки по 22, и сравним их вес. Если веса кучек различаются на нечетное число грамм, то среди них – нечетное число фальшивых, так что взятая монета - настоящая (и наоборот).

Ответ: можно.

Оценивание: Полное решение – 7 баллов.

2. Сколько решений в целых числах имеет уравнение: x² - 3xy + 2y² = 7?

Решение. Разлагая левую часть на множители, получим: (x-y)(x-2y) = 7. Но 7 можно представить в виде произведения двух целых чисел четырьмя способами. Решая полученные системы, найдем четыре (целых !) решения.

3. Сколько корней имеет уравнение sin(8x)/cos(5x)=1 на отрезке [0,2010π]?

Решение. ОДЗ: cos(5x) ≠0. На ОДЗ исходное уравнение равносильно равенству

cos(5x) – sin(8x) = 0. Заменяя sin(8x) на cos(π/2 - 8x), и применяя формулу для разности косинусов, получим 2·sin(π/4 – 3x/2)·sin(π/4 – 13x/2) = 0. Отсюда получим две серии решений: x = π·(1+4k)/26 и x = π·(1+4m)/6.

Посчитаем число корней на отрезке [0,2π]. В первой серии – 12 корней: 0 ≤ k ≤ 12, k≠3 (из ОДЗ). Во второй серии – 2 корня: 0 ≤ m ≤ 2, m ≠ 2(из ОДЗ). Все эти 14 корней – различны (действительно, (1+4k)/26 = (1+4m)/6 равносильно 6k = 5+26m, а последнее невозможно из-за разной чётности частей равенства) и не попадают в концы отрезка. Поэтому всего решений 14·1005=14070.

Ответ: 14070

4. Известно, что сумма кубов двух положительных чисел равна разности этих чисел. Докажите, что сумма квадратов этих чисел меньше 1.

Решение. x - y = x³ + y³ > x³ - y³. После деления на x-y (это число – положительно, поскольку оно равно сумме кубов положительных чисел) получим: 1 > x² + xy + y², откуда и следует требуемое.

Оценивание: Полное решение – 7 баллов. Возможны многочисленные другие решения.

5. Окружность радиуса 3 касается внутренним образом окружности радиуса 5. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 3:5. Найдите длину этой хорды.

Решение 1. Пусть A – точка касания окружностей, P – центр малой и Q – центр большой окружности. Пусть BC – хорда, T – точка её касания с малой окружностью, TC = 3x, TB = 5x (и тогда BC = 8x). Пусть S – середина хорды, тогда ST = x.

Пусть SQ = y. Так как SQ и PT – перпендикуляры к BC, PQ = QA – PA = 5 – 3 = 2, PT = 3, ST=x, то по теореме Пифагора x² + (3-y)² = 2² = 4. Соответственно, из прямоугольности треугольника BSQ получим y² + (4x)² = 5² = 25. Решая систему из этих двух уравнений (например, так: умножим первое уравнение на 16 и вычтем второе), найдем y = (16±9)/5. Корень y = 5 - посторонний (хорда вырождается в точку A). Поэтому y = 7/5 и тогда x = 6/5.

Ответ: 48/5 = 9,6.

Решение 2. Пусть A – точка касания окружностей, P – центр малой и Q – центр большой окружности. Пусть BC – хорда, T – точка её касания с малой окружностью, TC = 3x, TB = 5x (и тогда BC = 8x). Пусть S – середина хорды, тогда ST=x.

Проекция отрезка PQ на прямую BC есть отрезок TS. Т.к. PQ = 5 – 3 = 2, PA = 3, TS = x, то проекция отрезка PA имеет длину 3x/2. Это означает, что точка A проектируется в точности в середину отрезка TB, так что треугольник TAB - равнобедренный: TA = AB.

Пусть D – точка пересечения продолжения хорды BC с касательной к окружностям в точке A, и пусть DT = y. Тогда DA также равно y, и по теореме о секущей и касательной DA² = DB·DC, у² = (y-3x)·(y+5x), откуда y = 15x/2.

Пусть AB = z. Равнобедренные треугольники ABT и DAT подобны: z:y = 3x:z, так что z²=3xy=45x²/2.

В равнобедренном треугольнике ATB найдем, по теореме Пифагора, высоту:

h² = z² - (3x/2)² , h = 9x/2. Значит, площадь треугольника ABC равна 1/2·8x·h = 18x².

Гомотетия с центром A и коэффициентом 5/3 переводит малую окружность в большую, точку T – в точку T´, хорду BC – в прямую, параллельную BC и касающуюся большей окружности в точке T´. Значит, T´ - середина дуги BC, так что AT´ - биссектриса угла BAC. По свойству биссектрисы AC:AB = TC:TB, откуда AC = 5z/3.

Из формулы R = abc/(4S) получим: 5 = 8x·z·5z/3/(4·18x²), откуда x = 6/5, и тогда BC=8x=48/5.

Докажите, что уравнение x 2 + 2 2018 x + 2 2019 = 0 не имеет целых корней.

Первое решение. Дискриминант этого уравнения равен

2 4036 — 4 · 2 2019 = 2 2021 (2 2015 — 1).

Для наличия целого корня необходимо, чтобы дискриминант был точным квадратом. Однако, число 2 2021 (2 2015 — 1) не является точным квадратом, так как степень вхождения двойки в любой точный квадрат чётна.

Второе решение. Предположим противное: пусть у этого уравнения есть целый корень n. Заметим, что он должен быть отрицательным, так как иначе n 2 + 2 2018 n + 2 2019 было бы положительным.

n 2 + 2 2018 n + 2 2019 = 0,

число 2 2019 делится на n, то есть n = —2 l для некоторого неотрицательного целого l. Тогда 2 2018+l = 2 2l + 2 2019 . Если 2l 2018-l = 1 + 2 2019—2l , что невозможно, так как 1+2 2019—2l нечётно и больше одного. Аналогично, если 2l > 2019, то 2 l-1 = 2 2l-2019 + 1, что невозможно, так как 2 2l-2019 + 1 нечётно и больше одного.

Третье решение. Заметим, что при x = —2 левая часть уравнения положительна (равна 4), а при x = —3 отрицательна (равна —2 2018 + 9). Значит, на промежутке (—3; —2) у уравнения есть корень; он, очевидно, нецелый. Так как по теореме Виета сумма корней нашего уравнения равна —2 2018 , второй корень тоже нецелый.

Критерии

4 б. Верное решение.

1 б. Дискриминант записан в виде произведения степени двойки на нечетное число.

Задача 2

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность ω. Диагональ AC является диаметром окружности ω. Найдите ∠BEC, если ∠ADB = 20°.

Решение. Рис. 4. Так как ∠ADB = 20°, дуга AB равна 40°. Так как AC — диаметр, дуга ABC равна 180°, то есть дуга BC равна 180° — 40° = 140°. Угол BEC опирается на дугу BC, а значит, он равен 140°/2 = 70°.

Критерии

4 б. Верное решение.

0 б. Только правильный ответ.

Рис. 4: к задаче 2

Рис. 4: к задаче 2

Задача 3

Сколькими способами можно разрезать по клеткам приведённую ниже картинку на прямоугольники 1 × 2 (сторона одной клетки равна 1)?


Ответ: 27.

Решение. Прямым перебором можно убедиться, что количество разрезаний прямоугольника 2 × 3 на прямоугольники 1 × 2 равно трём (все три варианта приведены на рисунке ниже).


Рассмотрим клетку A:


Если A является нижней клеткой вертикального прямоугольника 1× 2, то остающаяся верхняя часть фигуры имеет нечётную площадь и не может быть разрезана. Значит, A является верхней клеткой вертикального прямоугольника 1× 2.

Тогда следующее частичное разрезание получается однозначно:


Осталось разрезать три отдельных прямоугольника 2 × 3. Для каждого из них есть три разрезания, значит, для всех вместе есть 3 3 = 27 разрезаний.

Критерии

0 б. Только правильный ответ.

1 б. Посчитаны некоторые разрезания.

2 б. Решение перебором, но много (около половины) случаев пропущены.

3 б. При рассмотрении случаев несколько (не много!) пропущены.

4 б. Верное решение с арифметической ошибкой, не влияющей на ход решения.

4 б. Верное решение.

Задача 4

На доске написано число ноль. Петру разрешается совершать следующие операции:

  • применить к одному из написанных на доске чисел тригонометрическую (sin, cos, tg или ctg) или обратную тригонометрическую (arcsin, arccos, arctg или arcctg) функцию и написать результат на доске;
  • написать на доске частное или произведение двух уже написанных чисел.

Помогите Петру написать на доске √3.

Решение. Пётр может, например, совершить следующие вычисления:

Замечание. К требуемому результату может приводить ещё много последовательностей операций.

Критерии

1 б. Получено число π/2 или π/4 .

2 б. Получены числа π/2 и π/4 .

2 б. Получено число 1/2.

3 б. Получено число π/3 или π/6 .

4 б. Верное решение.

Задача 5

На ребре AA′ куба ABCDA′B′C′D′ с ребром длины 2 отмечена точка K. В пространстве отмечена такая точка T, что TB = √11 и TC = √15.

Найдите длину высоты тетраэдра TBCK, опущенной из вершины C.

Ответ: 2.

Рис. 5: к задаче 5

Рис. 5: к задаче 5

Решение. Заметим, что

Отсюда по обратной теореме Пифагора следует, что угол TBC прямой. Следовательно, TB⊥ BC, то есть T лежит в плоскости грани AA′B′B. Значит, BC является высотой, опущенной из вершины C, а её длина равна 2.

Замечание. Существуют два возможных расположения точки T, симметричных относительно плоскости KBC.

Критерии

4 б. Верное решение.

0 б. Только правильный ответ.

Задача 6

Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольным образом вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать из шляпы, чтобы среди них точно было два разноцветных?

Ответ: 61.

Решение. Докажем, что если произвольным образом вытащить из шляпы 61 кролика, то среди них найдутся два разноцветных. Предположим противное: пусть имется a ≥ 61 кроликов какого-то цвета (например, белого). Пусть второй цвет по количеству кроликов — синий. Тогда в шляпе живёт хотя бы (100 — a)/2 синих кроликов. А значит, общее количество белых и синих хотя бы


Так как кроликов целое число, белых и синих вместе хотя бы 81, что противоречит условию.

Покажем, что 60 кроликов может быть недостаточно. Пусть в шляпе живёт 60 белых и по 20 синих и зеленых. Тогда может получиться, что все вытащенные кролики белые. С другой стороны, если вытащить 81 кролика, то среди них точно встретятся кролики всех трёх цветов.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ М-11_кл.doc

Олимпиадные задания по математике

Общее время выполнения работы – 4 урока, 180 минут.

Общее максимальное количество баллов - 35 (по 7 баллов за каждое задание).

Докажите, что 13!-11! кратно 31.

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами. При каких n такое возможно?

Критерии оценивания олимпиадных заданий

по математике

Общее максимальное количество баллов - 35 (по 7 баллов за каждое задание).

Докажите, что 13!-11! кратно 31.

Решение. Так как 13!=1 2 3 … 12 13=(1 2 3 … 11) 12 13=11! 12 13, то 13!-11!=11! 12 13-11!=11!(12 13-1)=11! 155=11! 31 5, которое кратно 31, что и требовалось доказать.

Критерии оценивания задания №1

Полное верное решение.

Решение верное. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

Приведены верные рассуждения, правильно записано разложение на множители 11!155 , но решение не доведено до конца.

Верно применена формула для нахождения факториалов 11! и 13!

Решение неверное, продвижения отсутствуют ИЛИ решение отсутствует

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение. 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 n = 65535 – это сумма геометрической прогрессии, где а 1 = 1, а 2 = 2, и т.д. Таким образом, q = 2. Формула суммы геометрической прогрессии

Критерии оценивания задания №2

Полное верное решение.

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

Ход решения задачи верный, правильно используется формула для подсчета суммы членов геометрической прогрессии, но допущена вычислительная ошибка. Решение может стать правильным после небольших исправлений.

Ход решения задачи верный, записана формула для подсчета суммы членов геометрической прогрессии, дальнейшие продвижения в решении задачи отсутствуют.

Правильно сделан вывод о том, что сумма вознаграждения равна сумме членов геометрической прогрессии.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения.

Решение. Воспользуемся формулой для синуса двойного угла: , тогда получим уравнение

, , . Тогда .Решениями этих уравнений будут или , где . Объединив две серии решений в одну, в итоге получим ,где

Примечание. Если в ответе учащийся записал две серии решения , , где , то баллы не снимаются и ответ считать правильным.

Критерии оценивания задания №3

Полное верное решение.

Ход решения верный, все шаги его выполнены. Имеются недочеты (даны неполные объяснения), в целом не влияющие на решение. ИЛИ полное верное решение, но не записан ответ.

Рассмотрены отдельные шаги решения. От уравнения сделан верный переход к уравнению и верно записан ответ одной из серий.

Рассмотрены отдельные шаги решения. От уравнения сделан верный переход к уравнению .

Для первых 2-3 множителей правильно применили формулу для синуса двойного угла.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения.

Решение. Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них – плоскости α в точках A 1 , B 1 , C 1 (см. рис).
Тогда точки A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды с ребром 2R.
Вершина D этой пирамиды проектируется в центр основания О.

А О= , OD =

Критерии оценивания задания №4

Полное верное решение.

Ход решения верный, все шаги его выполнены. Имеются недочеты (даны неполные объяснения), в целом не влияющие на решение. Решение может стать правильным после небольших исправлений или дополнений

Верно найдено расстояние OD .

Рассмотрены отдельные шаги решения. Верно найдено расстояние АО.

Правильно сделан вывод о том, что расстояние между центрами шаров равно 2R ИЛИ выполнен рисунок по условию задачи.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами. При каких n такое возможно?

Решение. Из условия следует, что рыцарей – не менее четырёх. Заметим, что у рыцаря не может быть более двух друзей, иначе найдутся 4 рыцаря, у которых есть общий враг, но тогда у этого врага будет не менее четырёх врагов, что противоречит условию. Значит, у каждого рыцаря не более двух друзей и ровно три врага, следовательно, всего рыцарей – не более шести.
Так как у каждого рыцаря по 3 врага, то число рыцарей чётно .

б ) Примеры : если рыцарей – 4, то друзей ни у кого из них нет и каждый враг каждому, а если рыцарей – 6, то разбиваем рыцарей на две тройки: каждый рыцарь дружит с рыцарями из своей тройки и враждует с рыцарями из другой.

Ответ: n = 4 или n = 6.

Критерии оценивания задания №5

Полное верное решение.

Ход решения верный, все шаги его выполнены. Имеются недочеты (даны неполные объяснения), в целом не влияющие на решение. ИЛИ полное верное решение, но не записан ответ.

Верно выполнены рассуждения, но допущена логическая ошибка. Решение может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

Решение начато верно. Рассмотрены его отдельные шаги, но дальнейшие продвижения в решении задачи отсутствуют. ИЛИ решение не доведено до конца.

Задание не решено (неверное решение) или записан ответ без объяснения.

Краткое описание документа:

Олимпиадные задания по математике 11 класс рассчитаны для проведения различных внеурочных мероприятий.

К заданиям приведены полные решения,критерии оценки каждого задания чётко разработаны.

При оценивании заданий могут быть рассмотрены другие способы решений задач.

При составлении заданий учитывались индивидуальные возможности учащихся.

  • подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания


Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации


Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

  • Курс добавлен 31.01.2022
  • Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов
  • ЗП до 91 000 руб.
  • Гибкий график
  • Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 611 834 материала в базе

Материал подходит для УМК

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

  • 19.01.2020 6521
  • ZIP 42.6 кбайт
  • 278 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Губина Ольга Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

  • Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Примеры заданий олимпиады по математике для 11 класса с решениями.



Методика решения задач на растворимость и массовую долю вещества в растворе

Основные формулы и несколько примеров задач с разбором.

Право. Конституция РФ

Основные знания по Конституции для успешной сдачи ЕГЭ по обществознанию.

Определения: однородные и неоднородные

Основные признаки однородных и неоднородных определений. Постановка знаков препинания.

Читайте также: