Охарактеризуйте двоичную систему счисления алфавит основание системы счисления запись числа кратко

Обновлено: 02.07.2024

Любое число позиционной системы счисления можно представить в свёрнутой форме и развёрнутой. Со свёрнутой формой ты встречаешься постоянно, но совсем не задумываешься, как получаешь развёрнутую форму числа, умножая каждую цифру числа на её вес. Рассмотрим подробнее развёрнутую форму числа.

Развёрнутая форма числа — это сумма произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.

Теперь будем умножать каждую цифру числа на основание системы счисления в степени, соответствующей разряду.

Двоичная система — это один из видов позиционных систем счисления. Основание данной системы равно двум, то есть используется только два символа для записи чисел.

Немного истории

Впервые о данной системе чисел заговорил основоположник математического анализа Г.В. Лейбниц еще в XVII веке. Он доказал, что для данного множества действуют все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и даже деление. Однако вплоть до 30-х годов XX века данную систему не рассматривали всерьез. Но с развитием электронных устройств и ЭВМ, ученые вновь принялись к изучению данной темы, так как двоичная система отлично подходила для программирования и организации хранения данных в памяти компьютеров.

Таблица и алфавит

Алфавит двоичной системы счисления состоит всего из двух знаков: 0 и 1 . Однако это нисколько не усложняет выполнение арифметических действий.

Кроме того, двоичная система является самой удобной для быстрого перевода в другие системы счисления.

Так, чтобы перевести двоичное число в десятичное, необходимо найти значение его развернутой формы . Например:

100110₂ = 1 ∙ 2 5 + 0 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38₁₀

Чтобы наоборот перевести число в двоичную из десятичной, необходимо выполнить его деление на 2 с остатком, а затем записать все остатки в обратном порядке, начиная с частного:

Делимое	38	19	9	4	2
Делитель	2	2	2	2	2
Частное	19	9	4	2	1
Остаток	0	1	1	0	0

Для перевода в другие системы необходимо:

Перевести двоичный код в десятичный.
Выполнить деление десятичного числа на основание той системы, в которую требуется перевести.

Однако можно воспользоваться и более быстрым и удобным способом: разделить знаки двоичного числа на условные группы слева на право (для восьмеричной — по 3 знака; для шестнадцатеричной — по 4 знака), а затем воспользоваться таблицей перевода:

Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

11001001₂ = 11 001 001 = 011 001 001 = 311₈

11001001₂ = 1100 1001 = С9₁₆

Представление двоичных чисел

Чтобы найти дополнительный код отрицательного числа, необходимо воспользоваться его прямым и дополнительным кодами.

Прямой код предполагает приписывание единицы в начале без изменений записи:

A > 0	A_пр = 0A	101011₂; A_пр = 0101011₂
A ≤ 0	A_пр = 1\|A\|	-101011₂; A_пр = 1101011₂

Для записи обратного кода цифры заменяют на противоположное значение, первую единицу от прямого кода оставляют без изменений:

A > 0	A_обр = 0A	101011₂; A_обр = 0101011₂
A ≤ 0	A_обр = 1 A	-101011₂; A_обр = 1010100₂

Дополнительный код предполагает использование обратного кода, с той лишь разницей, что к отрицательному числу прибавляют единицу:

A > 0	A_доп = 0A	101011₂; A_доп = 0101011₂
A ≤ 0	A_доп = 1 A + 1	-101011₂; A_доп = 1010101₂

Применение двоичной системы в информатике

Двоичная система получила особое распространение в программировании цифровых устройств, так как она соответствует требованиям многих технических устройств, поддерживающих два состояния (есть ток, нет тока). Кроме того, является более простой и надежной для кодирования информации. Именно поэтому программный код большей части ЭВМ основан именно на двоичной системе счисления.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Порядковому номеру разряда соответствует его вес — множитель, на который надо умножить значение разряда в данной системе счисления.

число 111 в десятичной системе:

число 101110 в двоичной системе:

равно 46 в десятичной системе

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Двоичная: 0,1 (основание = 2)
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основание = 10)
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (основании = 16)

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные - которые содержат неограниченное количество символов, причём количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от её начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.

Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причём значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Под двоичной системой исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления с основанием 2. Таким образом, многоразразрядные числа в двоичной системе представляются как суммы различных степеней двойки. Если какой–либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом.

Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнить последовательное деление десятичного числа на 2 с округлением до целого числа в сторону уменьшения, записывая в столбик все результаты деления; затем возле каждого нечётного результата деления поставить 1, а возле чётного - 0. Полученное двоичное число записываем в строчку, начиная с нижней строчки правого столбца.

Например, необходимо перевести деятичное число 46 в двоичный вид:

получаем число 101110

Результат последнего действия означает перенос единицы в высший разряд. То есть для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL).

В повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой записи чисел с основанием 10. То есть для записи чисел у нас есть десять символов от 0 до 9, а место каждого символа (позиция) указывает его вес - единицы, десятки, сотни и т.д.

В двоичной системе счисления все устроено аналогичным образом, только для записи чисел у нас всего два символа - 0 и 1.
Из-за того, что для записи числа у нас только два символа (0 и 1), она нашла широкое применение в электронных устройствах и вычислительной технике. Несмотря на многочисленные попытки использования для вычислений аналоговых устройств, системы с троичной логикой (троичная система счисления с символами 0, 1 и 2), системы с двоичной логикой в настоящее время занимают доминирующее положение. Впрочем, с приходом квантовых вычислений, ситуация, скорее всего, изменится.

Как устроена запись чисел в двоичной системе

По аналогии с привычной десятичной системой, при переполнении разряда, добавляется следующий, который заполняется единицей.
В десятичной системе максимальное значение в одном разряде - число 9. Если нам нужно добавить единицу - то текущий разряд обнуляется, а в соседнем разряде появляется единица:
9
добавляем 1, получаем
10
(старший разряд стол единицей, младший - обнулился)

Теперь "посчитаем до десяти" в двоичной системе.

0. В двоичной системе так и будет - 0 .

1. В двоичной системе так и будет - 1 .

2. Символа 2 в двоичной системе нет. Поэтому младший разряд сбрасывается, а старший добавляется как 1. Получаем 10 .

3. Добавляем единицу. Поскольку у нас было 10, младший разряд может быть увеличен на 1, получаем - 11 .

4. Младший разряд снова достиг максимального значения, поэтому мы должны его сбросить, но следующий разряд тоже достиг максимального значения (1), его тоже сбрасываем и добавляем новый разряд. Получаем - 100 .

5. Добавляем единицу в младший регистр. У нас было записано число 4 как 100, добавляем 1 в младший разряд и получаем 101 .

6. Добавляем единицу в младший разряд, но он достиг максимального значения, сбрасываем его и добавляем единицу в следующий. Получаем 110 .

7. Добавляем единицу в младший регистр. Получаем - 111 .

8. Пытаемся добавить единицу к двоичному числу 111 и видим, что нам нужно последовательно сбросить уже целых три разряда и добавить еще один разряд. Получаем 1000 .

9. Добавляем единицу к двоичному числу 1000, получаем - 1001 .

10. Добавляем единицу к младшему разряду, но он достиг максимального значения, сбрасываем его и добавляем единицу к следующему. Получаем 1010 .

Читайте также: