Нестандартные системы счисления кратко

Обновлено: 05.07.2024

Представить нашу жизнь без цифр сложно – числа помогают выражать, измерять, отслеживать не только различные физические показатели, но и оценивать знания, степень распространения болезни и многое другое. А как человечество пришло к цифрам, почему все используют одинаковые знаки и существуют ли другие варианты счета.

План урока:

А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

Все существующие системы делят на 2 группы:

1. Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

1. Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 1254₈, 01100111₂. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

Непозиционные СС, их особенности

Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).

Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

1. Символы следует писать по убыванию слева направо.
2. Нежелательно записывать подряд более 3 одинаковых знаков.
3. Положение цифры обозначает, какой ее вклад – отрицательный, если она стоит слева от большего числа, положительный – справа.

Таблица римских цифр

Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.

Основные позиционные СС, правила перевода

Двоичная система счисления

Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.

Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.

Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:

1. Деление на основу СС до тех пор, пока не останется в остатке значение меньше значения основы.
2. Записать остатки, от последнего к первому.
3. Первый ноль можно не писать.

0 111 0100 1100₂

Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.

А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.

Альтернативный способ преобразования для гуманитариев

Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:

Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579

Обратно еще проще. Подсчитать количество знаков – это будет степень 2 в степени -1. И так далее. А проще при помощи той же таблицы:

Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.

Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).

Пример: Перевести 579₈ из десятичной в восьмеричную систему счисления:

Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:

1103₈ = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 579₁₀

Альтернативный вариант таблицы степеней

Шестнадцатеричная СС

Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.

Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.

Алгоритм преобразования чисел в 16СС

Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.

В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).

Арифметика для 2СС

Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:

Особенности арифметики СС с разными основами:

• при сложении чисел двух 1 в двоичной системе переполняется младший разряд (сумма = или ˃ основания СС), то единица переходит к большему разряду;
• если есть 0-1=1, идет заимствование из старшего разряда;
• умножать 2СС удобнее всего в столбик, учитывая 4 основные правила;
• заем единиц в 2СС при отнимании/делении, тогда она дает промежуточным разрядам по 1, а для занимаемого разряда сразу 11.

Примеры арифметических операций:

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.

Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

Сравнение систем

СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.

Сравнительная таблица разных систем счисления:

Перевод числа 75 в разные системы:

Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:

Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.

Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 1001000011₂

001 001 000 011

Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:

Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.

Сравнительный перевод дробей в СС

Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:

Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.

Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:

Таблицы истинности

При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.

Основные логические операции

Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.

Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:

Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.

Так выражаются условия для всех логических операций.

Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.

Наиболее выраженные на этом уроке компетенции:

Умение осуществлять анализ, рефлексию, самооценку своей деятельности; умение выдвигать гипотезы, ставить вопросы к наблюдаемым фактам.

Анализ информации с целью выделения общих черт, закономерностей.

Участие в общем обсуждении, умение аргументировать свою точку зрения, выслушивать собеседника; понимание факта многообразия языков (в том числе – формальных языков).

Ход урока

1. Организационный момент.

3. Объяснение нового материала

На нижней проволоке счет, отведенной для единиц младшего разряда, вес каждой из которых равен единице, помещено две косточки. На следующей проволоке помещено три косточки, на третьей — четыре и т. д., на n-ой проволоке — n+1 косточка. Так как каждая косточка на второй проволоке заменяет две косточки, расположенные на первой проволоке, то вес ее равен 2. Каждая косточка третьей проволоки заменяет три косточки второй проволоки и, следовательно, ее вес в 6 = 3*2*1 раз больше веса косточки на первой проволоке. Из этих разъяснений следует, что косточка, расположенная на n-ой проволоке, имеет вес n!. Вес единиц от разряда к разряду растет, но неравномерно. Это приводит к представлению числа в следующем виде:

Пример. 3221f = 3*4! + 2*3! + 2*2! + 1*1! = 89;

40301f = 4*5! + 3*3! + 1*1! = 499.

Эту систему счисления относят к нетрадиционным позиционным и называют факториальной системой счисления.

Алгоритм перевода из десятичной системы счисления в факториальную очень прост. Он аналогичен алгоритму перевода из десятичной системы в Р-ичную путем деления на основание системы Р. Отличие в том, что в первый раз исходное десятичное число делим на 2, первое частное — на 3, второе частное — на 4 и так далее.

Особенностью факториальной системы счисления является то, что количество цифр, используемых в том или ином разряде (так называемая размерность алфавита), неодинаково – оно увеличивается с ростом номера разряда. В первом разряде могут быть только цифры 0 и 1, во втором – 0,1 и 2, в k-ом – 0,1,2,…,k и т.д. Следовательно, если запись числа в факториальной системе имеет вид , то этому числу соответствует десятичное значение, равное , где -цифра числа .

К нетрадиционным системам счисления относят и фибоначчиеву систему счисления.

Базисом фибоначчиевой системы является последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . т. е. идущие подряд числа Фибоначчи. (Каким образом получена данная последовательность чисел? Дать возможность учащимся определить принцип нахождения чисел Фибоначчи - каждое число, записанное в фибоначчиевой системе счисления, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих, т.е. а_n=a_n-1+ a_n-2)

Алфавитомэтой системы счисления являются цифры 0 и 1. В записи числа в фибоначчиевой системе не могут стоять две единицы подряд.

Пример. Покажем, как записывать числа в фибоначчиевой системе счисления:

37 = 34 + 3 = 1*34+0*21+0*13+0*8+0*5+1*3+0*2+0*1= 10000100_Fib;

25 = 21 + 3 + 1 = = 1*21+0*13+0*8+0*5+1*3+0*2+1*1=100101_Fib.

4. Решение задач

Какие из чисел записаны не по правилам факториальной системы счисления: 42220, 44000, 86633300, 8663320?

В 1202 г. итальянский математик Леонард Пизанский (Leonardo Pisanto, около 1170 – около 1228), известный под именем Фибоначчи (Fibonacci), предложил такую задачу:
Пара кроликов каждый месяц дает приплод – двух кроликов (самца и самку), от которых через два месяца уже получается новый приплод. Сколько кроликов будет через год, если в начале года мы имели одну пару молодых кроликов?

В 1202 г. итальянский математик Леонард Пизанский (Leonardo Pisanto, около 1170 – около 1228), известный под именем Фибоначчи (Fibonacci), предложил такую задачу:

Пара кроликов каждый месяц дает приплод – двух кроликов (самца и самку), от которых через два месяца уже получается новый приплод. Сколько кроликов будет через год, если в начале года мы имели одну пару молодых кроликов?

Числа, соответствующие количеству кроликов составляют последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Каждый из членов этой последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов. Эта последовательность называется рядом Фибоначчи, а ее члены – числами Фибоначчи. На уроках математики эти числа связаны с так называемым золотым сечениям. На уроках информатики числа Фибоначчи широко используются для объяснения рекурсивной зависимости, где F(n)=F(n-1) + F(n-2), при n³3, F(1)=1 и F(2)=1.

Таким образом, получаем, что:

В итоге, получаем числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

Но мало кто знает, что числа Фибоначчи используются в так называемой Фибоначчиевой системе счисления.

Например, число 37 будет представлено в двоичной системе счисления, как 100101 согласно разложению:

Т.е. в разложении десятичного числа используются двоичные цифры (алфавит) – только 0 и 1. Следовательно, если запись числа в фибоначчиевой системе имеет вид f(n), f(n–1), …, f(2), f(1), то этому числу соответствует десятичное значение, равное , где F(k) – числа Фибоначчи, f(k) Î , причем в записи числа две единицы не должны стоять рядом, что очень важно: при несоблюдении этого условия запись числа будет неоднозначной.

Например, число 5 в десятичной системе счисления может быть записано как 110_Fib (5 = 1 · 3 + 1 · 2 + 0 · 1).

Разложение (вариант 1)

исходное десятичное число	Базисные числа фибоначчиевой системы счисления
	3	2	1
5	1	1	0

и 1000_Fib (5 = 1 · 5 + 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 1), разложение (вариант 2)

исходное десятичное число	Базисные числа фибоначчиевой системы счисления
	5	3	2	1
5	1	0	0	0

Причем, правильным считается второе разложение, где в записи нет двух подряд идущих единиц. В этом случае каждое натуральное число в фибоначчиевой системе счисления записывается единственным образом.

В качестве закрепления изученного обучающимся предлагается освоить перевод чисел в фибоначчиевой системе счисления из десятичной и в десятичную систему счисления (освоить прямой и обратный перевод).

Задание 1. Найдите все способы перевода следующих чисел из десятичной системы счисления в фибоначчиеву, например, чисел 37 и 25.

Вариант решения обучающегося: Перевод числа из десятичной системы счисления в фибоначчиевую:

исходное десятичное число	Базисные числа фибоначчиевой системы счисления
	34	21	13	8	5	3	2	1
37	1	0	0	0	0	1	0	0

37₁₀ = 34 + 3 = 1*34+0*21+0*13+0*8+0*5+1*3+0*2+0*1= 10000100_Fib

исходное десятичное число	Базисные числа фибоначчиевой системы счисления
	21	13	8	5	3	2	1
25	1	0	0	0	1	0	1

25₁₀ = 21 + 3 + 1 = 1*21+0*13+0*8+0*5+1*3+0*2+1*1=100101_Fib

Задание 2. Переведите в десятичную систему числа, записанные в фибоначчиевой системе, например числа: 10010101 и 101010101.

Вариант решения обучающегося: Перевод числа из фибоначчиевой системы счисления в десятичную:

неизвестное десятичное число	Базисные числа фибоначчиевой системы счисления
	34	21	13	8	5	3	2	1
?	1	0	0	1	0	1	0	1

неизвестное десятичное число	Базисные числа фибоначчиевой системы счисления
	55	34	21	13	8	5	3	2	1
?	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Необходимо отметить, что, хотя для записи числа в этой системе счисления используются только цифры 0 и 1, эту запись нельзя считать двоичным представлением числа.

Список литературы:

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

• непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
• позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

1. пронумеровать разряды исходного числа;
2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Читайте также:

  
• Роль и задачи географии кратко
  
• Методическое обеспечение образовательного процесса в начальной школе отчет по практике
  
• Назовите не менее трех групп методов изучения эволюции и кратко раскройте их суть
  
• Гигиенический журнал работников пищеблока образец по санпину в доу
  
• Экологическая безопасность география кратко