Множества и функции кратко
Обновлено: 02.07.2024
Приветствую вас на первом уроке по высшей алгебре, который появился… в канун пятилетия сайта, после того, как я уже создал более 150 статей по математике, и мои материалы начали оформляться в завершённый курс. Впрочем, буду надеяться, что не опоздал – ведь многие студенты начинают вникать в лекции только к государственным экзаменам =)
Вузовский курс вышмата традиционно зиждется на трёх китах:
– математическом анализе (пределы, производные и т.д.)
Множество. Примеры множеств
Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.
В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.
Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (как вариант, с подстрочными индексами: и т.п.), а его элементы записываются в фигурных скобках, например:
– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;
ну что же, пришла пора немного познакомиться:
– множество студентов в 1-м ряду
… я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)
Множества и являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество – это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество:
– множество, в котором нет ни одного элемента.
Пример вам хорошо известен – множество на экзамене частенько бывает пусто =)
Принадлежность элемента множеству записывается значком , например:
В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:
– элемент принадлежит множеству .
Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов), который присущ всем его элементам. Например:
– множество всех натуральных чисел, меньших ста.
Данное множество можно записать и прямым перечислением:
Ещё примеры:
– и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление.
– множество чисел, принадлежащих отрезку . Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел (о них позже), которые перечислить через запятую уже невозможно.
Подмножества
Практически всё понятно из самого названия: множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :
Значок называют значком включения.
Вернёмся к примеру, в котором – это множество букв русского алфавита. Обозначим через – множество его гласных букв. Тогда:
Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества .
Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера.
Пусть – множество студентов в 1-м ряду, – множество студентов группы, – множество студентов университета. Тогда отношение включений можно изобразить следующим образом:
Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д.
Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:
Числовые множества
Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:
Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.
Если к множеству присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел:
Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
– поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству . Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.
И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:
Целое число делится на 2 без остатка, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой). Например, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка.
400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4);
-1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4);
-24, понятно, делится на 4;
66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4);
818 – не делится на 4 (т.к. 18 не делится на 4).
Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта.
С делимость на 3 чуть сложнее: целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.
Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3
Вывод: 27901 не делится на 3.
Просуммируем цифры числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3
Вывод: число -825432 делится на 3
Целое число делится на 5, если оно заканчивается пятёркой либо нулём:
775, -2390 – делятся на 5
Целое число делится на 10, если оно заканчивается на ноль:
798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100). Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840
Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =)
Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел. Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =)
Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел:
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.
Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:
И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.
либо
– конечная десятичная дробь,
либо
– бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу).
Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру:
В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях
Согласитесь, что иметь дело с дробью значительно удобнее, чем с десятичным числом 0,375 (не говоря уже о бесконечных дробях).
Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел:
– значок объединения множеств.
Геометрическая интерпретация множества вам хорошо знакома – это числовая прямая:
Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот – каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. По существу, сейчас я сформулировал свойство непрерывности действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа.
С вложениями всё прозрачно: множество рациональных чисел – это подмножество множества действительных чисел:
, таким образом, любое рациональное число можно смело назвать и действительным числом.
Множество иррациональных чисел – это тоже подмножество действительных чисел:
При этом подмножества и не пересекаются – то есть ни одно иррациональное число невозможно представить в виде рациональной дроби.
Существуют ли какие-нибудь другие числовые системы? Существуют! Это, например, комплексные числа, с которыми я рекомендую ознакомиться буквально в ближайшие дни или даже часы.
Ну а пока мы переходим к изучению операций над множествами, дух которых уже материализовался в конце этого параграфа:
Действия над множествами. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:
1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком
Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:
Так, например, для множеств :
Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:
Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.
Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший пример пересечения множеств букв трёх алфавитов.
2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком
Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :
Запишем объединение множеств :
– грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств) следует указать один раз.
Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:
В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.
Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если , то:
, при этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений). Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:
А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется :)
4) Декартовым (прямым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент
Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары.
А теперь гвоздь программы: декартово произведение – это есть не что иное, как множество точек нашей родной декартовой системы координат .
Задание для самостоятельного закрепления материала:
Выполнить операции , если:
Множество удобно расписать перечислением его элементов.
И пунктик с промежутками действительных чисел:
Краткое решение задачи в конце урока.
Отображение множеств
Отображение множества во множество – это правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие элемент (или элементы) множества . В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией.
Функцию, как многие знают, чаще всего обозначают буквой – она ставит в соответствие каждому элементу единственное значение , принадлежащее множеству .
Ну а сейчас я снова побеспокою множество студентов 1-го ряда и предложу им 6 тем для рефератов (множество ):
Установленное (добровольно или принудительно =)) правило ставит в соответствие каждому студенту множества единственную тему реферата множества .
…а вы, наверное, и представить себе не могли, что сыграете роль аргумента функции =) =)
Элементы множества образуют область определения функции (обозначается через ), а элементы множества – область значений функции (обозначается через ).
Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: оно является взаимно-однозначным или биективным (биекцией). В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён один и только один студент.
Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд (к множеству ) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – либо один из студентов останется без темы (отображения не будет вообще), либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Обратная ситуация: если к множеству добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения тоже будет утрачена – одна из тем останется невостребованной.
Итак, что же такое функция одной переменной? Функция одной переменной – это правило , которое каждому значению независимой переменной из области определения ставит в соответствие одно и только одно значение .
Задание 2: просмотреть графики основных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Список для сверки в конце этого урока.
Мощность множества
Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, а именно количество его элементов. И интуиция нас не обманывает!
Мощность пустого множества равна нулю.
Мощность множества равна шести.
Мощность множества букв русского алфавита равна тридцати трём.
И вообще – мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.
…возможно, не все до конца понимают, что такое конечное множество – если начать пересчитывать элементы этого множества, то рано или поздно счёт завершится. Что называется, и китайцы когда-нибудь закончатся.
Само собой, множества можно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле называется равномощностью. Равномощность определяется следующим образом:
Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Множество студентов равномощно множеству тем рефератов, множество букв русского алфавита равномощно любому множеству из 33 элементов и т.д. Заметьте, что именно любому множеству из 33 элементов – в данном случае имеет значение лишь их количество. Буквы русского алфавита можно сопоставить не только с множеством номеров
1, 2, 3, …, 32, 33, но и вообще со стадом в 33 коровы.
Примеров очень много. В частности, счётным является множество всех чётных натуральных чисел . Как это доказать? Нужно установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел или попросту пронумеровывать элементы:
Взаимно-однозначное соответствие установлено, следовательно, множества равномощны и множество счётно. Парадоксально, но с точки зрения мощности – чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных!
Множество целых чисел тоже счётно. Его элементы можно занумеровать, например, так:
Поскольку между множеством и числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие (см. выше), то множество точек числовой прямой тоже несчётно. И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке – точек столько же! Классический пример:
Поворачивая луч против часовой стрелки до его совмещения с лучом мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками синих отрезков. Таким образом, на отрезке столько же точек, сколько и на отрезке и !
Данный парадокс, видимо, связан с загадкой бесконечности… но мы сейчас не будем забивать голову проблемами мироздания, ибо на очереди основы математической логики, а не философия =)
Спасибо за внимание и успехов вам в учёбе!
Задание 1
2)
– это множество нечётных натуральных чисел:
– все точки координатной плоскости , удовлетворяющие двум указанным неравенствам. Аналогично:
Задание 2 Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урока Функции и графики:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Концепция бесконечности идеологически далека от обычной математической терминологии — ни одна другая тема не выходит за пределы математики так, что превращается из практического, аналитического инструмента в явление мифического порядка. Понятие бесконечности на короткой ноге с такими культурными темами, как религия и философия, и окутана загадочной аурой божественности.
Когда-то давным давно во всех академических дисциплинах было заложено фундаментальное убеждение — существует единственная бесконечность.
С 1874 по 1897 год Кантор неистово публиковал статью за статьёй, разворачивая свою теорию абстрактных множеств в расцветающую дисциплину. Однако она была встречена упорным сопротивлением и критикой; многие педанты считали, что его теории перешли в область философии и нарушили принцип религии.
Однако когда начали находиться практические применения математического анализа, отношение к теории изменилось, а идеи и результаты Кантора начали получать признание. К первому десятилению 20-го века его наблюдения, теории и публикации достигли своей кульминации — признания современной теории множеств новой, совершенно уникальной областью математики:
Теория множеств — это математическая теория о точно определённых наборах (множествах) отдельных объектов, называемых членами или элементами множества.
Сколько чисел есть между 0 и 1?
Первая публикация Кантора, состоящая из четырёх с половиной страниц, является великолепным примером краткости. Она разделена на два отдельных доказательства, совместно приводящих к выводу о существовании по крайней мере двух уникальных видов множеств.
Если говорить вкратце, то набор, или множество всех вещественных алгебраических чисел можно вывести с помощью какого-то теоретического ряда многочленов с различными степенями и коэффициентами; следовательно, множество всех вещественных алгебраических чисел является бесконечным счётным множеством.
Во второй части труда Кантора анализируется роль вещественных комплексных чисел, также называющихся трансцендентными числами. Транцендентные числа (лучшие примеры которых — это пи и e) имеют любопытное свойство: математически невозможно вывести их с помощью многочленной функции — они не являются алгебраическими. Вне зависимости от величин, количества частей, степеней или коэффициентов, никакой ряд никогда не может посчитать пи в своём наборе бесконечного счётного множества.
Затем Кантор указывает, что в любом замкнутом интервале [a,b] существует хотя бы одно транцендентное число, которое никогда нельзя будет подсчитать в бесконечном счётном множестве. Поскольку одно такое число существует, то предполагается, что в семействе вещественных чисел существует бесконечное количество транцендентных чисел.
Таким образом он доказал очень чёткое различие между множеством непрерывных, идущих потоком несчётных чисел и набора счётных чисел, которые можно представить как ряд, например, всех вещественных алгебраических чисел.
Далее: запись и операции
Первая публикация Кантора завершилась на этом потрясающем подтверждении существования по крайней мере двух разных видов бесконечности. После его первой статьи появился шквал дополнений, медленно, но верно прокладывавших путь к современной теории множеств.
Вооружившись базовым пониманием истории множеств и совершив кратковременное погружение в глубины его влияния, мы можем приступать к знакомству с основами системы обозначений теории множеств.
Часть вторая. Краткий обзор операций, обозначений и диаграмм Венна.
Как сказано в предыдущей части, одно из фундаментальных преимуществ теории множеств произрастает не из какой-то конкретной теории, а из созданного ею языка. Именно поэтому основная часть этого раздела будет посвящена обозначениям, операциям и визуальному представлению теории множеств. Давайте начнём с объяснения базовых символов обозначения множества — соответствующих ему элементов. В таблице ниже показан пример одного множества A с тремя элементами:
В первой строке показано множество A с тремя отдельными элементами (A = ); во второй строке показан правильный способ обозначения отдельного конкретного элемента 1, принадлежащего множеству A. Пока всё довольно просто, но теория множеств становится существенно интереснее, когда мы добавляем второе множество — начинается путешествие по стандартным операциям.
Для показанной выше таблицы давайте введём два дополнительных множества B и C, содержащие следующие элементы: B = , C = . Хоть мы и создали три множества (A,B и C), в показанных ниже примерах операции выполняются одновременно только с двумя множествами, поэтому внимательно следите за тем, какие множества указаны в самом левом столбце. В показанной ниже таблице представлено пять самых распространённых операндов множеств:
Операции: пересечение (intersection) — множество элементов, принадлежащих множеству A и множеству B;
объединение (union) — множество элементов, принадлежащих множеству A или множеству B;
подмножество (subset) — C является подмножеством A, множество C включено во множество A;
собственное (истинное) подмножество — C является подмножеством A, но C не равно A;
относительное дополнение (relative complement) — множество элементов, принадлежащих к A и не к B.
Вот и они, самые распространённые операции в теории множеств; они довольно популярны и в областях за пределами чистой математики. На самом деле, высока вероятность того, что вы уже видели подобные типы операций в прошлом, хоть и не совсем с такой терминологией, и даже пользовались ими. Хорошая иллюстрация: попросите любого студента описать диаграмму Венна из двух пересекающихся групп, и он интуитивно придёт к правильному результату.
Ещё раз взгляните на последнюю строку, относительное дополнение — какое необычное сочетание слов, правда? Относительное к чему? Если относительное дополнение A — B определяется как A и не B, то как нам обозначить всё, что не является B?
Универсальное множество — пустое множество
Оказывается, если мы хотим получить значимый ответ, то для начала нужно предоставить генеральной совокупности нашей задачи множеств некий контекст. Он часто явным образом задаётся в начале задачи, когда допустимые элементы множества ограничиваются некоторым фиксированным классом объектов, в котором существует универсальное множество, являющееся общим множеством, содержащим все элементы для этой конкретной задачи. Например, если мы хотели бы работать со множествами только из букв английского алфавита, то наше универсальное множество U состояло бы из 26 букв алфавита.
Для любого подмножества A множества U дополнение множества A (обозначаемое A′ или U − A) определяется как множество всех элементов в генеральной совокупности U, которое не находится в A. Если вернуться к поставленному выше вопросу, то дополнением множества B является всё в пределах универсального множества, что не принадлежит B, в том числе и A.
Диаграммы Венна и остальное
Диаграммы Венна, официально изобретённые в 1880 году Джоном Венном, являются именно тем, что вы и представляете, хотя их научное определение звучит примерно так:
Ниже показано изображение шести самых распространённых диаграмм Венна, и почти во всех показаны недавно изученные нами операнды:
Объединение (union), пересечение (intersection), относительное дополнение (relative complement), симметрическая разность (symmetric difference), собственное множество (proper subset), абсолютное дополнение (universal дополнение).
Начав с очень простых обозначений множества и его элементов, мы узнали затем о базовых операциях, позволивших нарисовать эту визуальную подсказку. Мы рассмотрели все операции, за исключением симметрической разности (внизу слева). Чтобы не оставлять пробелов в знаниях, скажем, что симметрическая разность, также называемая дизъюнктивным объединением — это просто множество элементов, которые находятся в любом из множеств, но не входят в их пересечение.
Закончим мы этот раздел введением понятия мощности (кардинального числа). Мощность множества, обозначаемая символом абсолютного значения — это просто количество уникальных элементов, содержащихся в определённом множестве. Для показанного выше примера мощность трёх множеств равна: |A| = 3, |B| =6, |C| = 2.
Прежде чем двигаться дальше, дам вам пищу для размышлений — какова связь между мощностью и количеством возможных подмножеств?
Часть 3. Мощность и показательные множества
В предыдущих двух частях мы разобрались с основами теории множеств. В третьей части мы укрепим своё понимание, сосредоточившись на самом важном свойстве любого множества: общем количестве содержащихся в нём уникальных элементов.
Количество уникальных элементов во множестве, также известное как мощность, предоставляет нам фундаментальную опорную точку для дальнейшего, более глубокого анализа этого множества. Во-первых, мощность — это первое из рассматриваемых нами уникальных свойств, позволяющее нам объективно сравнивать различные виды множеств, проверяя, существует ли биекция (это, с небольшими оговорками, просто более изысканный термин для function ) одного множества на другое. Ещё один способ применения мощности, а также тема этой части статьи — мощность позволяет оценить все возможные подмножества, существующие в данном множестве. Что достаточно буквально можно применять в повседневных задачах распределения решений, будь то планирование бюджета на поездку в продуктовый магазин или оптимизация портфеля акций.
Примеры мощности множеств
Например, в таблице выше показаны пять отдельных множеств с их указанной справа мощностью. Как мы уже говорили, символ мощности напоминает символ абсолютного значения — значение, заключённое между двумя вертикальными линиями. Все примеры понятны, за исключением, возможно, последней строки, которая подчёркивает тот факт, что на мощность влияют только уникальные элементы множества.
Помните подмножества из предыдущей части статьи? Оказывается, что мощность некоторого множества A и количество возможных подмножеств множества A имеют удивительную связь. Ниже показано, что количество подмножеств, которые можно составить из некоторого подмножества, увеличивается с порядком мощности на предсказуемую величину:
Показательное множество (булеан)
Прежде чем мы вычислим все подмножества для примера множества C, я хотел бы ввести последнее понятие — булеан.
Булеан обозначается заглавной буквой S, за которой в скобках указывается исходное множество S(С). Булеан — это множество всех подмножеств C, включая пустое множество и само множество C. В таблице ниже показан булеан S(С) со всеми перестановками возможных подмножеств для множества C, содержащихся в одном большом множестве.
Для удобства форматирования я убрал запятые между множествами***
Чем может быть полезен булеан? На самом деле, вы скорее всего много раз интуитивно использовали булеаны, даже об этом не догадываясь. Каждый раз, когда вы выбираете подмножество элементов из более крупного множества, вы выбираете элемент булеана. Например ребёнок внимательно изучающий кондитерский магазин с купюрой в 5 долларов — какой элемент булеана множества всех доступных сладостей он выберет? Или если взять более технический пример: вам, как разработчику ПО может потребоваться запросить всех возможных пользователей базы данных, также обладающих свойством X и Y — ещё один случай, в котором одно подмножество выбирается из всех возможных подмножеств.
Эквивалентность и биективная функция
Теперь мы понимаем, что такое мощность множества, почему оно важно, и его связь с булеаном. Поэтому вернёмся ненадолго к тому, что упоминали в самом начале: что конкретно определяет эквивалентность в теории множеств?
Часть 4. Функции.
В этой части мы подробнее расскажем о функциях в пределах теории множеств. Как и в случае с предыдущими понятиями, терминология стандартных функций в теории множеств слегка отличается от других областей математики, а потому требует объяснения. Терминологии довольно много, так что давайте сразу приступим к делу! В первой таблице внизу отражены понятия области определения, области значений и значения функции:
Пока особо ничего сложного, только новый способ задания параметров функций. Далее мы расскажем о том, как описывать поведения этих функций соответствия при помощи обычных типов функций.
Инъекции, сюръекции и биекции
В теории множеств для классификации соответствия множеств обычно используются три понятия: инъекция, сюръекция и биекция. К сожалению, эти понятия имеют несколько разных названий, усиливающих неразбериху, поэтому мы сначала рассмотрим каждое определение, а затем изучим визуальные примеры. Все три термина описывают способ, которым отображаются аргументы на образы:
Прочитайте заново представленный выше список пунктов. Биекция — это просто функция, удовлетворяющая обоим предыдущим требованиям; то есть, функция инъективна и сюръективна. Инъективная функция не должна быть сюръективной, а сюръективная — инъективной. Ниже показан визуальный пример, в котором эти три классификации привели к созданию функций множеств, определяемых четырьмя возможными комбинациями инъективных и сюръективных свойств:
Биекция (инъекция + сюръекция), инъекция (инъекция + не-сюръекция), сюръекция (не-инъекция + сюръеция), без классификации (не-инъекция + не-сюръекция)
Вот и всё! Теперь мы обладаем элементарным пониманием самых часто встречаемых соотношений, встречающихся в мире множеств. Однако это ни в коем случае не конец нашего пути: напротив, это самое начало.
Фундаментальные основы теории множеств — ключ к пониманию более высокоуровневых областей математики. Чтобы продолжить наше движение вверх, к этим различным областям, далее нужно будет, пользуясь своими знаниями о теории множеств, уяснить одну из самых революционных теорий в истории математики: систему аксиом Цермело-Френкеля.
Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = . Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М), записывается с помощью специального значка ∈ следующим образом: 2 ∈ М; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: 5 ∉ М.
Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.
Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.
Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом ∅, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.
Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = и M = — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.
Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = (множество задано перечислением элементов), B — множество всех четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством всех элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: B = или так: B = ∈ Z> — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое свойство*.
В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: A = , где P (x) — характеристическое свойство. Например, = < –1, 1>, ∈ R и x2 + 1 = 0> = ∅.
- Равенство множеств. Пусть А — множество всех цифр трехзначного числа 312, то есть A = , а B — множество всех натуральных чисел, меньших четырех, то есть B = . Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: A = B. Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.
Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.
Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, = , поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.
Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.
Это записывают следующим образом: A ⊂ B.
Например, ⊂ , N ⊂ Z (поскольку любое натуральное число — целое), Z ⊂ Q (поскольку любое целое число — рациональное), Q ⊂ R (поскольку любое рациональное число — действительное).
Полагают, что всегда ∅ ⊆ A, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.
Иногда вместо записи A ⊂ B используется также запись A ⊆ B.
Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В (A ⊆ B); 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А (B ⊆ A). Таким образом,
два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.
Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера–Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами N, Z, Q, R.
Напомним некоторые необходимые в дальнейшем понятия так называемой наивной или интуитивной теории множеств.
Понятие множества
Понятие множества первично, исходно, неопределяемо, т.е. не может быть сведено к другим понятиям. Под множеством понимается совокупность объектов (предметов), которая рассматривается, мыслится как одно целое, как нечто единое. Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: , а элементы множеств — малыми латинскими буквами: . Если некоторый объект является элементом множества принадлежит множеству не принадлежит множеству . Символ , обозначается . Символ применяется для обозначения множества всех таких объектов . Если объекты берутся из некоторого множества , обозначается . Например, — множество всех действительных чисел (нетрудно проверить, что это множество есть замкнутый отрезок числовой прямой).
Включение и равенство множеств
Множество . Запись: . Множество собственным подмножеством множества . Обозначение: называется знаком включения .
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Существует единственное пустое множество, оно обозначается символом . Значит, для любого множества
Операции над множествами
Разностью множеств , элементами которого являются все те элементы множества
Если дополнением множества
Свойства операций над множествами
Перечислим некоторые наиболее важные свойства операций над множествами и отношения включения множеств:
1) (идемпотентность пересечения);
3) (коммутативность пересечения);
5) (ассоциативность объединения);
6) (ассоциативность пересечения);
7) (дистрибутивность объединения относительно пересечения);
8) (дистрибутивность пересечения относительно объединения);
9) (1-й закон поглощения);
10) (2-й закон поглощения);
11) ;
14) [;
15) ;
16) ;
17) (закон инволюции);
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) . Итак, множество
9) Воспользуемся тавтологией из теоремы 3.2, (пункт е): :
11) Воспользуемся тавтологией из теоремы 3.2, (пункт ж): :
20) Воспользуемся тавтологией из теоремы 3.2, (пункт ж):
Проанализируйте приведенную цепочку рассуждений и выявите использованные тавтологии.
Бинарные отношения и функции
Пусть даны два (не обязательно различных) множества Упорядоченной парой , составленной из элементов и , в которой указано, какой элемент является первым, а какой — вторым. Таким образом, упорядоченная пара отлична от упорядоченной пары , если . Упорядоченные пары и называются равными, если и только если и Прямым (или декартовым) произведением двух множеств , таких, что
Бинарным отношением между элементами множеств , таких, что — бинарное отношение и записано , то говорят, что связаны отношением , или в отношении , или для выполняется отношение . Вместо записи используют также запись .
Бинарное отношение функцией, заданной на множестве отображением множества а) для любого , такой, что ;
б) для любых из того, что и , следует, что .
Другими словами, — функция, если для любого , такой, что . Этот единственный элемент называется значением функции для аргумента . Если , то используется запись .
Множество , есть функция (отображение) из или .
Функция называется инъективной (или взаимнооднозначной ), если для любых непременно вытекает равенство аргументов .
Функция называется сюръективной (или отображением найдется хотя бы один .
Функция называется биективной (или биекцией ), если она одновременно инъективна и сюръективна.
Понятие n-арного отношения
Обобщением понятия упорядоченной пары элементов является понятие кортежа (упорядоченного набора) объектов.
Два кортежа и называют равными и пишут , если и только если .
Прямым произведением называется множество
Если , то прямое произведение прямой степенью множества называется любое подмножество прямого произведения .
Другими словами, — функция, если для любых существует единственный элемент , такой, что . Аналогично тому, как это делалось для функции одного аргумента, для функции Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Читайте также:
- Генезис философии науки кратко
- Список контингента работников школы подлежащих медицинским осмотрам образец
- Внезапное обрушение зданий и сооружений примеры в россии и в мире кратко
- Ежедневное планирование в средней группе декабрь по фгос от рождения до школы
- Современные концепции обучения в высшей школе