Методы решения линейных уравнений в школе

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Краснодарского края

Методическое пособие

по учебной дисциплине

РУКОВОДСТВО

К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ

ШКОЛЬНОГО КУРСА

для обучающихся 1-х и 2-х курсов

всех специальностей и профессий

Целые уравнения с одной переменной и их решение

Решение линейных уравнений

Решение квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения

Уравнения вида х 2 = m и приводимые к ним

Уравнения вида ах 2 + bx = 0 и приводимые к ним

Полные квадратные уравнения ах 2 + b х + с = 0 и приводимые к ним

Приведенные квадратные уравнения x 2 + px+ q = 0

Решение простейших уравнений высших степеней

Уравнения вида ax n + b = 0

Решение целых уравнений высших степеней методом разложения на множители

Дробно-рациональные уравнения, алгоритм их решения

Иррациональные уравнения и их решение

Решение уравнений путем возведения обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня

Решение уравнений путем введения новой переменной

Решение простейших показательных уравнений

Приведение обеих частей показательного уравнения к степеням с одинаковыми основаниями

Вынесение за скобки общего множителя при решении показательных уравнений

Замена переменной в показательных уравнениях

Решение однородных показательных уравнений

Логарифмические уравнения, способы их решения

Решение простейших логарифмических уравнений

Уравнения вида, где a > 0, a 1

Уравнения вида , где c > 0

Решение уравнений вида

Решение уравнений вида и приводимых к ним

Решение логарифмических уравнений введением новой переменной

Решение простейших тригонометрических уравнений

Применение формул тождественных преобразований при решении тригонометрических уравнений

Применение формул приведения

Применение формул сложения аргументов

Применение формул двойного аргумента

Применение формул понижения степени (половинного аргумента)

Применение формул преобразования алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение

Замена переменной в тригонометрических уравнениях

Решение однородных тригонометрических уравнений

Однородные тригонометрические уравнения 1-го порядка

Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают одно из ведущих мест: они имеют не только важное теоретическое значение, но и служат для практических целей. На их изучение отводится больше времени, чем на любую другую тему. Решение уравнений является одним из наиболее трудных вопросов, так как чтобы правильно решить уравнение нужно:

- большое количество формул;

- какие способы решения уравнений в каких случаях целесообразно применить;

- проводить тождественные преобразования входящих в него выражений;

Разработка данного пособия была вызвана, с одной стороны, отсутствием в техникуме единого учебника, в котором содержались бы все необходимые сведения по данному разделу, с другой, крайне низкими результатами входного контроля и необходимостью помочь слабоуспевающим обучающимся научиться решать уравнения. Именно поэтому в пособии нет уравнений повышенного уровня сложности. Основной упор дан на отработку стандартных методов решения уравнений. Не рассматривается в пособии и функционально-графический метод решения уравнений.

Содержательные части всех тем, включенных в данное пособие, построены одинаково, а именно, сначала дается краткий систематизированный материал по теории, затем на примерах, в процессе решения типовых уравнений, иллюстрируются различные методы их решения. В конце каждой темы для отработки понятий и методов имеются уравнения для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям даются ответы, чтобы обучающиеся могли контролировать правильность своего решения.

1. Основные понятия

Опр. Уравнение – это равенство с одной или несколькими переменными ( неизвестными ).

Опр. Значения неизвестных, при которых данное уравнение обращается в тождество, называются корнями уравнения .

Опр. Процедура нахождения всех корней уравнения называется решением уравнения .

(!!) Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Подстановка любого корня вместо неизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство .

Опр. Два или несколько уравнений называются равносильными , если они имеют одни и те же корни.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием .

При решении уравнений используются следующие основные тождественные преобразования:

1) Замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

Например: уравнение (3 x + 2) 2 = 15 x + 10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2) Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.

3) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля.

Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.

Умножив обе его части на x – 3, получим уравнение ( x – 1)( x – 3) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень .

И наоборот, деление может привести к потере корня . Так, в нашем случае, если ( x – 1)( x – 3) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3.

В последнем уравнении (п.2) можно разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим: 3 x 2 – x – 2 = 0.

Это уравнение равносильно исходному: (3 x+ 2) 2 = 15 x + 10.

4) В озведение обеих частей уравнения в нечетную степень или извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени .

Необходимо помнить, что:

а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней ;

б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней .

2. Классификация уравнений

3. Целые уравнения с одной переменной и их решение

Опр. Уравнения вида P(x) = 0, где P(x) – многочлен в стандартном виде, называются целыми . Степень этого многочлена является степенью уравнения.

3.1. Решение линейных уравнений

Опр. Уравнения вида ах + b = 0 , где a и b – некоторые числа, а также приводимые к ним называются уравнениями 1-й степени .

а) Если а 0 , то уравнение называется линейным .

(!!) Линейное уравнение всегда имеет 1 корень: x =

б) Если a = 0 , то возможны два случая:

1. b = 0 , тогда 0 · x + 0 = 0. Здесь x может быть любым числом .

2. b ≠ 0 , тогда 0 · x + b = 0. Здесь нет решений .

П р и м е р. Решим уравнения :

2) 18х – 24 = 15х + 3

18х – 15х = 3 + 24

3) 2/3 х – 4 = 1/5 х + 3 / · 15

10х – 60 = 3х + 45

10х – 3х = 45 + 60

Решите уравнения:

1) 5х – 3 = 12

2) – 4х + 1 = 13

3) 6х – 14 = 1 + 3х

4) – 8х + 3 = – х + 24

5) 5(х – 2) – 4 = 6х + 7

8) 5,1 – 8х = 3,3 – 10х

9) 0,7(2 – 3у) = – 7

3.2. Решение квадратных уравнений

Опр. Уравнения вида ах 2 + b х + с = 0 , где a , b и с – некоторые числа, причем а 0, а также приводимые к ним называются квадратными .

Если a = 0, то уравнение становится линейным.

Если b или c (или оба) равны нулю, то это уравнение называется неполным .

3.2.1. Неполные квадратные уравнения

3.2.1.1. Уравнения вида х 2 = m и приводимые к ним

Сначала мы решаем уравнения в школе в тетрадях, а потом в уме на совещаниях. В статье расскажем, как решать самые простые уравнения быстро и легко.

О чем эта статья:

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

если а = 0 — уравнение корней не имеет;

если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

кубические,
уравнения четвертой степени,
иррациональные и рациональные, и другие.

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

-4x = 12 | : (-4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

В России, в настоящее время, идёт становление новой системы образования, ориентированной на вхождение в мировое образовательное пространство. Происходят существенные изменения в педагогической теории и практике учебно-воспитательного процесса. Содержание образования обогащается новыми процессуальными умениями, развитием способностей оперировать информацией, творчески решать педагогические проблемы.

Цель работы: показать эффективность проблемного обучения и блочно-модульной технологии при изучении систем линейных уравнений в 8классе.

В исследовании решались следующие задачи:

Изучить состояние проблемы на современном этапе теории и практики обучения математике.
Определить исходные положения, основные принципы проблемного обучения и блочно-модульной технологии.
Выявить основные формы и методы реализации блочно-модульной технологии при проблемном обучении.
Разработать методику изучения систем линейных уравнений в контексте проблемного обучения средствами блочно-модульной технологии.
Проверить экспериментально эффективность разработанной методики.

Методы исследования: анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, наблюдение, анкетирование, моделирование, эксперимент, статистическая обработка данных, метод экспертных судей.

1.11. Основные принципы и методология преподавания.

В последнее время большое внимание уделяется проблемному обучению, которое позволяет быстро и эффективно овладеть учебным материалом, а также способствует творческому развитию личности учащегося. Проблемное обучение, как известно, возникшее в начале XX века (Дж. Брунер, К.Дункер, Дж.Дьюи, Г.Пойа и др.), получило достаточно полное отражение в работах зарубежных (В. Оконь) и отечественных исследователей (A.B.Брушлинский, A.A.Вербицкий, Т.А.Ильина, Т.В.Кудрявцев, В.Т.Кудрявцев, И.Я.Лернер, A.M.Матюшкин, М.И.Махмутов и др.) путем разработки его теоретических основ. В своих исследованиях ученые определили проблемную ситуацию как начало процесса мышления и рассмотрели этапы этого процесса (С.Л. Рубинштейн), исследовали роль проблемной ситуации в мышлении и обучении (A.M. Матюшкин), разработали типы проблемных ситуаций (A.B. Брушлинский, Т.В. Кудрявцев, В.Т.Кудрявцев, A.M.Матюшкин, М.И.Махмутов), классификацию проблемных задач (В.Оконь), систему проблемных ситуаций, проблем и проблемных задач (И.Я.Лернер), выявили уровни проблемности в обучении (В.А. Крутецкий, Т.В. Кудрявцев) и многие другие аспекты этой проблемы.

Исходные идеи проблемного обучения:

Развитие авторской позиции ребенка в образовательном процессе.
Безоценочный характер реакции на высказывания учащихся в ходе проблемного обучения.
Целостная включенность ребенка в образовательный процесс, связанная и с рациональным познанием, и с интуитивной, часто неосознаваемой эмоционально-личностной сферой.

Под проблемным обучением (problem-based learning) понимается обучение, предусматривающее создание на уроке проблемных ситуаций и обсуждение возможных подходов к их решению, в ходе которого учащиеся учатся применять ранее усвоенные знания и приобретенные навыки и умения и овладевают опытом (способами) творческой деятельности. Наиболее полное определение понятия проблемное обучение дает М.И. Махмутов.

Проблемная ситуация – совокупность условий (речевых и неречевых), стимулирующих учащихся на совершение действия, заданного содержанием ситуации.

В проблемной ситуации мы различаем три разных компонента:

а) потребность учащегося в новом знании или способе действия (“хочу узнать…, научиться…”);

б) неизвестное знание, которое учащийся должен усвоить по проекту педагогических целей;

в) известные знания и сформированные умения (могу сам, без педагога), усвоенные в ходе предшествующей учебы.

Проблемную ситуацию можно создать на основе материала:

а) из истории науки и промышленности;

б) описаний ситуаций профессиональной деятельности;

в) альтернативных методов решения профессиональных задач.

Проблемные ситуации могут быть различными по содержанию неизвестного, по уровню проблемности, по виду рассогласования информации, по другим методическим особенностям (Рис.1.).

Рис.1.

Условиями успешности обучения являются:

проблематизация учебного материала (знания возникают в результате удивления и любопытства);
активность ребенка (знания должны усваиваться легко);
связь обучения с жизнью ребенка, игрой, трудом.

Модель организации учебного процесса можно представить как

“ОБУЧЕНИЕ через ОТКРЫТИЕ”

Модель организации учебного процесса строится на реализации принципа проблемности в обучении.

Принцип проблемности реализуется:

как в содержании учебного предмета;
так и в процессе развертывания этого содержания в учебном процессе.

Методы обучения – проблемные:

а) проблемного изложения;

Формы организации учебного пространства коллективные:

а) парное взаимодействие;

б) микро групповое взаимодействие;

в) групповое взаимодействие;

г) межгрупповое взаимодействие.

Методические приемы, которые я использую для создания проблемных ситуаций:

подвожу учащихся к противоречию и предлагаю им самим найти способ его разрешения;
излагаю различные точки зрения на один и тот же вопрос;
предлагаю классу рассмотреть задачу с различных позиций;
делаю сравнения, обобщения, выводы из ситуации, сопоставляю факты;
ставлю конкретные вопросы

ставлю проблемные задачи (например, с недостаточными или избыточными исходными данными, с неопределенностью в постановке вопроса, с противоречивыми данными, с заведомо допущенными ошибками, с ограниченным временем решения, на преодоление “психологической инерции”).

Этапы решения проблемы

Учащиеся обсуждают, Учащиеся пытаются понять,

что они уже знают. что они еще не знают и

что им нужно узнать и

чтобы решить проблему.

Результативность своей работы можно оценить с помощью критериев:

а) наличие у ученика положительного мотива к деятельности в проблемной ситуации (“Хочу разобраться, хочу попробовать свои силы, хочу убедиться смогу ли разрешить эту ситуацию…);

б) наличие у учащихся положительных изменений в эмоционально - волевой сфере (“Испытываю радость, удовольствие от деятельности, мне это интересно, могу с усилием воли концентрировать свое внимание…”);

в) переживание учащимися субъективного открытия (“Я сам получил этот результат, я сам справился с этой проблемой, я вывел закон…”);

г) осознание учеником усвоения нового как личностной ценности (“Лично мне это нужно, мне важно научиться решать эти ситуации, мне будут эти знания нужны… ”);

д) овладение обобщенным способом подхода к решению проблемных ситуаций: анализом фактов, выдвижением гипотез для их объяснения, проверкой их правильности и получением результата деятельности.

Творческая деятельность ученика, направленная на творческое понимание усваиваемого материала и порождение новых способов действия, ее развития зависит от наличия трех составляющих мышления:

- высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения, аналогии, классификации;

- высокий уровень активности, проявляющийся в выдвижении множества гипотез, вариантов решений, нестандартных идей;

- высокий уровень организованности и целенаправленности мышления,

проявляющихся в выделении существенного в явлениях, осознании собственных способов мышления.

Таким образом, задача учителя сводится к формированию указанных компонентов мышления.

Цель проблемного обучения: содействовать развитию у учащихся критического мышления, опыта и инструментария учебно-исследовательской деятельности, ролевого и имитационного моделирования, возможности творчески осваивать новый опыт; поиску и определению учащимися собственных личностных смыслов и ценностных отношений.

Проблемное обучение может быть использовано на различных этапах учебного процесса. Наиболее часто на уроках математики оно используется при изучении нового материала. Проблемное обучение может быть использовано на этапе формирования умений и навыков. В результате проверки на практике сделанных выводов, учениками открывается новая проблема, т.е. формирование умений и навыков переходит в изучение нового.

На схеме показано изменение взаимодействия педагога (П), учащихся и содержания образования (С) при переходе от традиционного обучения к инновационному.

Ограничения:

Необходимо больше времени на изучение учебного материала в сравнении с традиционным обучением.
Возможна слабая отработка практических умений и навыков учащихся.

Следовательно необходимы дополнительные формы и методы обучения, способствующие отработке практических умений и навыков обучающихся без затраты дополнительного времени. Изучив методическую и научную литературу, накопленный опыт работы учителей, проведя исследование, мы пришли к выводу, что в этом случае наиболее эффективно использование элементов блочно-модульной технологии.

Примеры адаптации теоретического и практического опыта блочно-модульного подхода к обучению в современных условиях мы находим в работах О.Ю.Бурцевой, С.Я.Морозова, Н.Ф.Талызиной, Т.И. Шамовой, В.А.Шибанова. Проблему блочного и модульного подхода к обучению на основе научно-обоснованного построения структуры и содержания исследовали ряд ученых: Н.В. Борисова, В.А.Ермоленко, К.Г. Кязимов, П.А.Юцявичене, М.А.Чошанов; отдельные положения концепции модульного подхода к проектированию учебно-программной документации разработали Т.Т.Новикова, О.А.Павлова и др.Теория модульного обучения, принципы разработки модулей подробно изложены в научных трудах кандидата педагогических наук, доцентом В.С.Збаровским и кандидатом педагогических наук Л.П. Голощёкиной.

Основной целью блочно – модульной технологии является развитие критического мышления учащихся, их рефлексивных способностей, активизация самостоятельной работы учащихся на протяжении всего периода обучения.

Реализация данной цели позволит:

повысить мотивацию изучения математики;
повысить качество знаний;
повысить уровень образовательного процесса в целом.

Рис.4. Схема технологии блочно-модульного обучения.

Исходные научные идеи.

Технология блочно-модульного обучения основана на трех основных принципах.

Принцип системного квантования ориентирует на "сжатие" учебной информации (обобщение, укрупнение, систематизация).

Принцип модульности предполагает фиксирование учебной информации и учебных действий школьников в виде модулей.

Принцип проблемности - целенаправленное создание учебных ситуаций на поиск ошибок.

Выделяются следующие группы ошибок:

гносеологические (ошибки познавательного характера, совершенные в процессе эволюции знания);
методические (ошибки преподавания, связанные с нарушением психологических особенностей восприятия, памяти, мышления в процессе обучения);
учебные ошибки (сгруппированы в специальные таблицы по каждому модулю).

Блоковая форма организации учебных занятий, как утверждает Н.В. Шкарбан, "расширяет возможности использования различных методов обучения, повышает информационную емкость уроков, обеспечивает многообразие видов учебной деятельности учащихся".

Модуль состоит из 12 взаимосвязанных блоков.

Блок "вход" - контрольный. Актуализация опорных знаний и способов действий является своеобразным "пропуском" в проблемный модуль.

Как правило, используются тестовые задания.

Исторический блок - краткий экскурс, раскрывающий генезис (происхождение) понятия, теоремы, задачи. Анализ возникающих при их решении затруднений и ошибок. Постановка историко-научных проблем.

Блок актуализации - опорные знания и способы действия, необходимые для усвоения нового материала, представленного в проблемном модуле.

Экспериментальный блок - описание учебного эксперимента, лабораторной работы для вывода формулировок, экспериментальных формул.

Проблемный блок - постановка укрупненной проблемы, на решение которой и направлен проблемный модуль. Возможно объединение проблемного и исторического блоков.

Блок обобщения - первичное системное представление содержания проблемного модуля. Структурно может быть оформлен в виде блок-схемы, опорных конспектов, алгоритмов, символической записи и т.п.

Теоретический (основной) блок содержит основной учебный материал, расположенный в определенном порядке: дидактическая цель; формулировка проблемы (задачи); обоснование гипотезы; решение проблемы; контрольные тестовые задания.

Блок генерализации - отражение решения укрупненной проблемы и конечное обобщение содержания проблемного модуля.

Блок применения - решение историко-научной проблемы, система задач и упражнений.

Блок стыковки - совмещение пройденного материала с содержанием смежных учебных дисциплин.

Блок углубления - учебный материал повышенной сложности для учащихся, проявляющих особый интерес к предмету.

Блок "выход" - контроль результатов обучения по модулю. Учащийся, не выполнивший то или иное требование блока "выход", возвращается к тому

учебному элементу проблемного модуля, в котором были допущены ошибки.

Для успешного применения модульного обучения рекомендуется использовать несколько правил:

- перед каждым модулем проводить входной контроль знаний и умений учащихся, чтобы иметь информацию об уровне готовности к работе по новому модулю. При необходимости проводится соответствующая коррекция знаний; обязательно осуществляется текущий и промежуточный контроль в конце каждого учебного элемента (чаще это мягкий контроль: самоконтроль, взаимоконтроль, сверка с образцом и т.д.). После завершения работы с модулем осуществляется выходной контроль. Текущий и промежуточный контроль имеет своей целью выявления пробелов в усвоении для их устранения сразу, а выходной контроль должен показать уровень модуля и тоже обязательно с доработкой. Таким образом, каждый ученик вместе с учителем осуществляет управление учением;

- для успешной работы ученика с модулем важным требованием является представление учебного содержания. Оно должно быть таким, чтобы ученик эффективно его усваивал. Желательно, чтобы учитель как бы беседовал с учеником, активизировал его на рассуждения, поиск, догадку, подбадривал, ориентировал, ориентировал на успех.

Ключевые слова: преподавание, изучение, линейные уравнения, термин, педагогика.

Педагоги рассматривают линейные уравнения как особые элементы в процессе обучения, способствующие развитию логического мышления и формирования у школьников математической культуры. Когда ученики знакомятся с линейными уравнениями, у них появляется возможность использовать для решения разные эвристические приемы. Для решения линейных уравнений используются ранее полученные знания в ходе изучения математики.

Цель изучения линейных уравнений сводится к проведению исследовательской работы, что объясняет специфический подход при подготовке педагогами методических материалов. При планировании изучения темы линейных уравнений педагогу необходимо подойти грамотно к вопросу терминологии, поскольку именно терминология описывает свойства таких математических моделей, как линейные уравнения.

Для успешного изучения темы и освоения методики решения линейных уравнений необходимо не только знать формулы, но и понимать закономерность их применения в получении решений для предложенных к решению линейных уравнений.

Как показывает практика, наибольшую трудность для школьников представляет наличие нескольких возможных вариантов для решения линейных уравнений.

Специфика изучения темы линейных уравнений заключается в том, что в 7- классе школы этап тема усложняется. Если раньше в 5–6-м классах школьники решали линейные уравнения, опираясь на применение формул, то в 7-м классе вводится новое понятие в системе линейных уравнений — параметр. [1]

При изучении этой темы педагогу необходимо напомнить школьникам о том, какую роль играет буква в алгебре и предложить для знакомства с понятием параметра задания, направленные на выражение одной переменной посредством другой. К примеру, школьникам можно предложить выражение неизвестной переменной Х через использование других переменных.

Как показывает практика, школьники успешно решают линейные уравнения с параметрами в 7-м классе. При изучении темы линейных уравнений главная задача педагога сводится в тому, чтобы обобщить и вспомнить ранее полученные знания по теме линейных уравнений с единственной переменной.

В учебном материале в уравнении помимо неизвестного значения могут быть использованы другие буквы и даже буквенные выражения. К примеру, в учебнике может быть предложено к решению следующее линейное уравнение: ax = a — 1. [2]

При решении таких уравнений следует помнить о том, что буквы, приведенные в примере, могут иметь любое числовое значение. При решении указанного примера может получиться 2x = 2–1 при а = 2 или 0x = — 1 при а = 0. Чтобы усложнить задачу и обобщить ранее полученные знания, можно предложить школьникам решить уравнение такого вида х + 2 = а + 7 относительно х.

В данном случае в качестве неизвестного будет фигурировать Х, а все остальные буквенные обозначения будут рассматриваться в качестве коэффициентов, для которых свойственна способность приобретать разные числовые значения. Указанные коэффициенты, которые будут задаваться таким образом, следует рассматривать как параметры. [3]

Следовательно, для решения линейного уравнения потребуется освоить методику их решения, которая сводится к выполнению двух шагов. Во-первых, к указанию таких значений параметров, при которых уравнение будет иметь корни, указанию конкретного числа корней уравнения при разных числовых значениях параметров.

Во-вторых, к поиску всех выражений для корней и указанию для каждого корня значений параметров, когда они будут определять корень уравнения. Для освоения материала по решению линейных уравнений с параметрами школьникам может быть предложен к решению уравнение следующего вида 2a (a — 2) x = a — 2.

Для решения такого примера нужно сначала обратиться к таким значением параметра, когда они будут задавать нулевой коэффициент при Х. Таким значением будет а=0 и а = 2. Если принимать, что а будет равно 0, то уравнение приобретет вид 0х = — 2. [4]

Для такого уравнения не будет корней, если же а будет равняться 2, то уравнение приобретет другой вид — 0х = 0. При этом любое число, которое можно подставить вместо Х из множества действительных числен, будет рассматриваться как его корень.

Если взять условие, что а ≠ 0 и а≠2, то уравнение получит другой вид — x = (a — 2) / (2a)(a — 2). В этом случае х = 1 / 2а. Поэтому в ответе требуется указать, что если а = 0, то < x >= 0.

Если же а будет равняться 2, то значением Х будет любое из множества действительных чисел. В обратном случае, если а≠ 0 и а ≠ 2, то х = 1. Для решения уравнения вида х + 2 = а + 7; х = 5 + а требуется отыскать неизвестное значение Х. [5]

Для этого необходимо обратиться к формуле — х = 5 + а, вставляя в нее разные числовые значения параметра А. В данном примере значения параметра А задаются в произвольном порядке. Поэтому в ответе к уравнению указывается, что ах = 5 + а. Для закрепления навыков по решению линейных уравнений с параметрами используется и обратный порядок, когда в уравнении приводится корень уравнения и нужно найти неизвестное числовое значение.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, решение, школьник, URL, вид, корень уравнения, линейное уравнение, методика преподавания, неизвестное значение, параметр.

Читайте также: