Методика решения стереометрических задач в средней школе

Обновлено: 02.07.2024

Данный элективный курс предлагается для изучения учащимся 10-х классов общеобразовательных учреждений и направлен на расширение и углубление знаний учащихся, прочное и сознательное овладение системой умений и навыков, необходимых при сдаче экзаменов и успешном продолжении образования в вузах. Курс является предметно-ориентированным. Для освоения курса необходимы базовые знания по курсу планиметрии основной школы. Содержание курса значительно расширяет базовую программу средней школы за 10-ый класс и направлено на формирование и отработку практических навыков и умений учащихся.

Основной задачей школьного курса стереометрии является развитие пространственного представления и логического мышления учащихся. При изучении стереометрии предусматривается органическое сочетание пространственных представлений о свойствах тел со строго логическим обоснованием их существования, а также систематическое использование наглядности. Пространственные представления и логические обоснования взаимоорганизуют друг друга.

Задачи – неотъемлемая составная часть курса геометрии, в частности стереометрии. Они являются не только основной формой закрепления теоретического материала, изученного учащимися в школе и дома, решение задач способствует сознательности обучения, установлению взаимосвязи с другими дисциплинами, развитию пространственных представлений учащихся, подготовке их к практической деятельности.

Основная цель курса:

- совершенствование знаний и умений учащихся по геометрии, подготовка их к успешному решению задач ЕГЭ;

Задачи курса:

- развитие пространственного воображения, умения представлять геометрический объект;

-знакомство учащихся с нестандартными подходами к решению различных геометрических задач;

- совершенствование навыков решения задач;

- устранение пробелов в теоретических знаниях основного курса;

- расширение и углубление знаний и умений учащихся по геометрии;

- развитие логического мышления, математической интуиции.

Учебно-тематический план образовательной программы

Обобщение курса планиметрии. Решение опорных задач.

Беседа, фронтальная и индивидуальная работа, практикум.

Решение нестандартных задач планиметрии.

Прямые и плоскости в пространстве. Ортогональная проекция и построение на проекционном чертеже.

Семинар, лекция, самостоятельная работа.

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Лекция, практикум, работа в группах.

Применение векторов к решению задач.

Лекция, практикум, консультация.

Сечение многогранников. Метод следов.

работа, самостоятельная работа.

Решение задач на вычисление площадей сечений.

Практическое занятие – обсуждение, работа в

Решение нестандартных задач стереометрии.

Фронтальная работа, практикум, консультация.

Содержание программы

Обобщение курса планиметрии : многоугольники; основные свойства медиан, биссектрис, высот в равнобедренных, равносторонних, прямоугольных треугольниках; формулы площадей многоугольников; вписанные и описанные многоугольники и окружности; теоремы о касательной и окружности, о четырёхугольниках и окружностях; решение задач.

Решение нестандартных задач планиметрии : решение задач.

Прямые и плоскости в пространстве, ортогональная проекция и построение на проекционном чертеже : параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей; угол между прямой и плоскостью; изображение пространственных фигур на плоскости; решение задач.

Расстояние между скрещивающимися прямыми : взаимное расположение прямых в пространстве; теорема о существовании и единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых; решение задач.

Применение векторов к решению задач : декартовые координаты и векторы в пространстве; метод координат и преобразования в пространстве; решение задач.

Сечение многогранников, метод следов : многогранные углы; теоремы о трёхгранных углах; многогранники; построение сечений многогранников; решение задач.

Решение задач на вычисление площадей сечений : свойство ортогональной проекции плоского многоугольника; решение задач.

Решение нестандартных задач стереометрии : решение задач.

Итоговое занятие : подведение итогов проводится в виде семинара.

Пояснительная записка

Данный элективный курс предлагается для изучения учащимся 11-х классов общеобразовательных учреждений и направлен на расширение и углубление знаний учащихся, прочное и сознательное овладение системой умений и навыков, необходимых при сдаче экзаменов и успешном продолжении образования в вузах. Курс является предметно-ориентированным. Для освоения курса необходимы базовые знания по курсу стереометрии 10-го класса. Содержание курса значительно расширяет базовую программу средней школы за 11-ый класс и направлено на формирование и отработку практических навыков и умений учащихся.

Основная цель курса:

- совершенствование знаний и умений учащихся по геометрии, подготовка их к успешному решению задач ЕГЭ

Задачи курса:

- развитие пространственного воображения, умения представлять геометрический объект,

-знакомство учащихся с нестандартными подходами к решению различных геометрических задач;

I. Структура курса стереометрии и его специфические особенности.

II. Развитие пространственных представлений школьников на уроках стереометрии.

I. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии:

1) развитие и закрепление содержательных линий, начатых в неполной средней школе; обобщение основных математических методов на случай пространства;

2) изучение основных свойств пространственных фигур;

3) овладение навыками изображения пространственных фигур на плоскости на основе свойств параллельного проектирования;

4) развитие логического мышления, пространственных представлений учащихся при решении задач и доказательстве теорем курса стереометрии.

В изучении стереометрии в школе можно выделить два основных этапа:

1) Формирование первоначальных представлений о пространственных фигурах (1–9 классы);

2) Систематический курс стереометрии (10–11 классы).

Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем:

1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

4. Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.

6. Тема вращения.

7. Площадь поверхностей и объем геометрических тел.

8. Изображение пространственных фигур на плоскости.

В действующих учебниках ставятся разные содержательные акценты при изучении стереометрии.

Учебник Атанасяна: материал различных по содержанию вопросов часто включается в одну главу (фузионизм). При этом наблюдается частая повторяемость материала, обращение к уже знакомым вопросам. Большое внимание, чем у Погорелова, уделяется векторам, движению к координатам.

Учебник Погорелова: отличается четкой логической структурой, меньше внимания векторам и геометрическим преобразованиям. Это подспудно несет в себе опасность затушевывания естественных связей между темами.

Выделим некоторые методические особенности изучения стереометрии.

1. Курс стереометрии полностью опирается на курс планиметрии.

большинство задач курса сводятся к решению планиметрических задач, соответственно все недочеты, имевшие место при изучении планиметрии, ощущаются и при изучении стереометрии.

Следовательно, для успешного изучения стереометрии учитель должен постоянно возвращаться к планиметрическому материалу; перед изучением той или иной теоремы необходимо повторять нужные планиметрические сведения.

2. В стереометрии принципиально другой подход к геометрическим построениям.

Если при изучении планиметрии учащиеся пользуются чертежами, которые дают явные представления об изучаемом объекте, то в стереометрии нет чертежных инструментов, которые позволяют изобразить пространственные фигуры. Здесь мы имеем дело не с самим объектом, а лишь с его изображением.

Каждая стереометрическая задача является одновременно задачей на построение изображения фигуры с помощью свойств параллельной проекции. Это требует от учащихся значительно больших усилий, чем их требуется при решении планиметрических задач.

3.В курсе стереометрии уделяется большое внимание логической стороне проводимых умозаключений; приходится обосновывать каждый свой вывод, четко устанавливая предпосылки.

4.Программа по стереометрии предполагает более быстрый темп прохождения материала, чем в планиметрии. При этом времени на решение задач требуется гораздо больше, соответственно более значительное место занимает самостоятельная работа школьников. Необходим тщательный подбор заданий на уроке – включать только самое необходимое.

5. Курс стереометрии строится аксиоматически. При изучении аксиоматики стереометрии необходимо решить две основные методические задачи:

1) переформулируются аксиомы планиметрии для пространства (некоторые должны быть с уточнениями).

Здесь фактически под видом договоренности между учителем и учащимся вводится, как бы новая аксиома:

В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

2) добавляются новые специфические аксиомы пространства, которые на первых этапах изучения иллюстрируются с помощью моделей, стереометрического ящика, рисунка, геометрии классной комнаты.

При этом появляется возможность более эффективного выявления учащимися сущности аксиоматики и ее роли в построении геометрии.

II. Формирование пространственных представлений идет в несколько этапов и включает в себя:

– умение представить по чертежу целостный образ геометрической фигуры, взаимное расположение ее элементов;

– умение мысленно изменить положение фигуры – посмотреть с другой стороны;

– умение мысленно расчленить фигуру, составить из нее новый объект;

– умение изобразить фигуру на чертеже, адекватно отразив имеющиеся отношения;

– умение представить фигуру на основе ее словесного описания и т.д.

На I этапе на наглядной основе формируются предпосылки для создания целостного образа фигуры с выделением ее существенных признаков. На данном этапе учитель должен широко использовать модели, реальные объекты окружающего мира. После этого строится чертеж, который закрепляет рассмотрение соответствующей геометрической конфигурации.

В конце I этапа и на II у школьников формируются образы фигур и их комбинаций, которые они могут представить себе в почти неизмененных условиях.

Схема формирования пространственных представлений на I и II этапе следующая:

Модель чертеж представление

На II этапе роль моделей несколько уменьшается, т. к. в противном случае у школьников будет тормозиться развитие способностей мысленно представлять себе особенности расположения фигуры и ее элементов.

При построении чертежа на данных этапах учителю не следует сразу демонстрировать готовый чертеж, а стараться его выполнять постепенно вместе с учащимися с целью поэтапного восприятия или пространственных образов.

III этап: – овладение умением оперировать образами в измененных условиях. Школьники сначала работают с основным чертежом, который однако часто не дает возможность увидеть особенности расположения фигуры с разных позиций. Поэтому чертеж, как правило, должен подкрепляться рассмотрением соответствующей модели. Демонстрация сопровождается специально подобранными вопросами.

Например: Какие фигуры могут получиться при пересечении тетраэдра плоскости? Покажите на модели и чертеже различные случаи. Ответ обоснуйте.

Схема формирования пространственных представлений на III этапе:

чертеж модель представление.

IV этап: Учащиеся должны конструировать стереометрические объекты самостоятельно на базе сформулированных ранее представлений. При этом не используется ни чертеж, ни заранее подготовленная модель, а можно лишь учителю задавать вопросы для уточнения расположения фигуры.

Схема на IV этапе: представление чертеж.

Задания для самостоятельной работы:

1) Сравнить последовательность изучения стереометрического материала по учебникам А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна, заполнив таблицу.

Учебник А.В. Погорелова Учебник Л.С. Атанасяна и др.

10 класс 10 класс

§ 15. Аксиомы стереометрии и их Введение. Предмет стереометрии

§ 16. Параллельность прямых и гл. I. .…………………………….

2) Подобрать по два упражнения для учащихся на формирование пространственных представлений на каждом из этапов.

Вопросы для самопроверки.

1. Каковы основные задачи изучения курса стереометрии?

2. Что составляет содержание школьного курса стереометрии?

3. Перечислить основные методические особенности изучения курса стереометрии.

5. Какова схема формирования пространственных представлений на каждом из четырех этапов?

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Методы решения стереометрических задач

Рассматриваются следующие типы стереометрических задач:

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Угол между прямой и плоскостью

3. Угол между плоскостями

4. Расстояние от точки до плоскости

5. Расстояние между параллельными плоскостями

6. Расстояние между скрещивающимися прямыми

7. Расстояние от точки до прямой

1. Угол между скрещивающимися прямыми

Определение: Две прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися прямыми.

Признак скрещивающихся прямых : Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке не лежащей на первой прямой, то эти прямые – скрещивающиеся.

Определение : Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

Поэтапно-вычислительный

1 способ — с помощью параллельного переноса: производится параллельный перенос скрещивающихся прямых так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.

а) Пусть и – данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, и через какую-нибудь точку , лежащую на прямой , проведем плоскость .

б) Через точку проведем прямую . Получившийся – угол между скрещивающимися прямыми.

в) Выберем на прямой – какую-нибудь точку , а на прямой – точку . Получим треугольник . Вычислим стороны треугольника и по теореме косинусов найдем . Модуль берем так нас интересует острый угол.

Теорема о трех перпендикулярах : прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.

Например, в правильном тетраэдре . Так как - проекция , то .

Метод трех косинусов . и – скрещивающиеся прямые.

Тогда косинус угла между ними:

Например, если - середина , , , то из треугольника : По теореме Пифагора:

Еще один способ. Есть прекрасная теорема:

Теорема (о расстоянии и угле скрещивающихся прямых). Расстояние между скрещивающимися прямыми ) равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость. Угол между второй прямой и указанной ее проекцией дополняет до угол между данными скрещивающимися прямыми .

Например, задача:

В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания и боковым ребром найти расстояние и угол между апофемой и диагональю основания.

Плоскость (почему?). Следовательно, точка - точка пересечения диагоналей и , является проекцией на плоскость .

Координатный

Пусть одна прямая проходит через точки и , а другая через и . Тогда для определения угла между прямыми сделаем следующие шаги:

а) найдем координаты векторов по правилу:

б) найдем угол между векторами и :

Следует обратить внимание на то, в числителе стоит модуль. Он появился силу того, что угол между прямыми не может быть тупым, по определению, а угол между векторами может.

2. Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Координатный

Если нам задано уравнение плоскости :

, то это означает, что нам задан ее вектор нормали , координатами которого являются коэффициенты уравнения плоскости при переменных

Если нам дана прямая , которая проходит через две заданные точки (рис), то угол между прямой и вектором нормали плоскости – это угол между векторами и , а угол между прямой и плоскостью – дополнение полученного угла до 90 градусов.

Т.е. если в выражение в п.9 подставить координаты векторов и , то можно найти угол между этими векторами . Но так как , то угол между прямой и плоскостью вычисляется из выражения:

Признак параллельности прямой и плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой на плоскости.

Например, так как в пирамиде (рис.3) и , то .

Признак перпендикулярности прямой и плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум непараллельным прямым на плоскости.

Геометрический метод

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( φ ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

3. Угол между плоскостями

Пусть - прямая пересечения двух плоскостей (рис.4) и к произвольной точке на этой прямой, проведены перпендикуляры и в плоскостях 1 и 2.

Тогда под углом между плоскостями понимают величину нетупого угла , образованными прямыми и . Если к плоскости 1 построить нормальный вектор , а к плоскости 2 нормальный вектор , то угол между этими векторами также будет равен углу . Т.е. задача поиска угла между плоскостями сводится к задаче поиска угла между их нормалями.

Замечание. Иногда при решении задач требуется найти угол между гранями. Он может быть тупым.

Если уравнения плоскостей 1 и 2 соответственно имеют вид:

то угол между ними определяется из выражения:

Признак параллельности плоскостей : плоскости параллельны, если какие-либо две непараллельные прямые одной плоскости параллельны каким-либо непараллельным прямым другой плоскости.

Кроме того, если плоскости параллельны, то параллельны их вектора нормали, т.е. выполняется условие: . Или:

, где - любое число, не равное нулю.

Признак перпендикулярности плоскостей: если какая-либо прямая на плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Из выражения для определения угла между плоскостями также видно, что плоскости перпендикулярны если , т.е. числитель дроби равен нулю, что тоже, то скалярное произведение нормальных векторов плоскостей равно нулю: .

4. Расстояние от точки до плоскости

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра опущенного из точки на плоскость.

Координатный

Пусть из точки на плоскость опущен перпендикуляр (рис). Его длина - расстояние от точки до плоскости. Пусть - тоска пересечений этого перпендикуляра с плоскостью. Следовательно, вектор

параллелен вектору нормали плоскости , а, значит, их координаты пропорциональны:

Тогда искомое расстояние:

Величину можно найти из условия, что точка принадлежит плоскости: (*).

Из системы координаты точки можно выразить так:

Подставив эти выражения в условие принадлежности точки плоскости (*), получим уравнение относительно :

Таким образом, расстояние между точкой и плоскостью:

Геометрический

Метод объемов

Кроме того, для определения расстояния от точки до плоскости можно воспользоваться методом объемов, в основе которого лежит еще одна прекрасная теорема.

Теорема. Плоскость пересекает боковые ребра (рис.7) , , произвольной треугольной пирамиды в точках , , так, что , , , где , , положительные числа, меньше . Тогда объем отсекаемой пирамиды связан с объемом данной пирамиды отношением .

Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.

В частности, например, если требуется найти расстояние от т. до плоскости (а это высота пирамиды ), то из выражения и теоремы, получим::

- высота пирамиды , а и соответственно площади треугольников и .

В тетраэдре через точки на ребре ( ), на ребре ( ) и точку проведено сечение , площадь которого 6 . Объем тетраэдра равен 30 . Найдите расстояние от точки до плоскости .

Найдем объем пирамиды . Так как , , , то .

С другой стороны, . Т.е. ,

5. Расстояние между параллельными плоскостями

Определение. Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Координатный

Пусть даны две параллельные плоскости (рис.8):

Тогда расстояние между ними можно найти как расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости (см. п.16).

Пусть т. лежит на плоскости 1, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению:

Тогда одну из координат точки , например , можно выразить через остальные:

Расстояние от точки до плоскости равно:

Подставив это выражение для в предыдущее выражение для , а также условие параллельности плоскостей (п.15): , , , получим выражение для определения расстояния между плоскостями:

где - отношение коэффициентов при переменных уравнений второй плоскости к первой.

Геометрический

Расстояние между параллельными плоскостями находится чаще всего так: строится какой-нибудь перпендикуляр от некоторой точки одной плоскости к другой плоскости и определяется его длина. Для этого, в зависимости от условий задачи, применяется либо теорема Пифагора, либо признаки равенства или подобия соответствующих треугольников, либо определения синуса, косинуса, тангенса угла.

6. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть даны две скрещивающиеся прямые и (рис). Тогда, если мы проведем через, например, прямую плоскость параллельную прямой , то расстояние между этими прямыми будет равно расстоянию от любой точки прямой до построенной плоскости.

Найдем плоскость, проходящую через прямую , параллельную прямой . Путь на заданы две точки и , а на прямой точки и . Тогда условие принадлежности точек и одной плоскости:

а условие параллельности этой плоскости прямой равносильно условию перпендикулярности ее вектора нормали вектору , взятого на прямой , или, что тоже самое, что скалярное произведение векторов и равно нулю:.

Тогда получаем все условия для определения искомой плоскости:

И после определения величин , , , находим расстояние от любой точки прямой (например, точки ) до данной плоскости :

Геометрический

В случае решение этой задачи не координатно-векторным способом, может быть полезна теорема из п.1, а также теорема: Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Например, если в правильной четырехугольной пирамиде (рис) требуется найти расстояние между прямыми и ( - перпендикуляр, опущенный из точки на грань ), то так как перпендикулярен плоскости , то он перпендикулярен любой прямой на плоскости, а следовательно, и прямой .

Если опустить из точки перпендикуляр на , то получим, что (по построению) и , так как лежит в плоскости . Т.е. - общий перпендикуляр к прямым. и . Его длина – искомое расстояние, которое можно найти, например, воспользовавшись подобием треугольников и ( по двум углам).

7. Расстояние от точки до прямой

Для определения расстояния от точки до прямой (рис), заметим, что с одной стороны, площадь треугольника : , а с другой, , где - векторное произведение векторов (п.11).

Тогда, приравнивая правые части выражения для площади треугольника, получаем:

Как следует из п. 11, вектор находится из выражения:

А затем, определив вектор , находится его длина: .

Другой способ.

Зная вектора и , находим косинус угла между ними (п.9):

а затем из треугольника , находим:

Здесь важно не путать выражения и .

- квадрат произведения длин векторов, а - квадрат их скалярного произведения, т.е. если вектора имеют координаты , а , то:

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде , , .

а) Докажите, что косинус угла между прямыми и равен .

б) Найти расстояние между прямыми и

а) Идея решения : воспользуемся теоремой (п.1). Проведем плоскость перпендикулярно прямой и спроецируем прямую в точку на эту плоскость (рис). Также на этой плоскости построим проекцию прямой . Найдем угол между прямой и ее проекцией на этой плоскости. Дополнение этого угла до - искомый ответ.

Проведем плоскость , которая перпендикулярна прямой . Т.е. проекция прямой на эту плоскость – точка . Пусть - проекция на эту плоскость прямой . Пусть - угол между прямой и ее проекцией . Тогда, согласно теореме, угол между скрещивающимися прямыми дополняет угол до . Найдем угол .

Площадь треугольника : с одной стороны, а с другой: .

Так как , то приравнивая правые части выражений для площади, получим: .

Но так как угол между скрещивающимися прямыми – это дополнения угла до , т.е равен , то .

б) Идея решения: согласно теореме п.13, расстояние между прямыми и равно расстоянию от точки - проекции прямой на перпендикулярную плоскость, до прямой - проекции прямой на эту же плоскость.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике – стереометрия. Если несколько лет назад с ним справлялся любой гуманитарий, то сейчас задача 14 состоит из двух пунктов.

Пункт (а) – доказательство какого-либо утверждения.

Пункт (б) – вычисление какой-либо величины.

Кстати, там есть и еще один, неявный пункт: построение чертежа. Без хорошего чертежа в этой задаче ничего не получится.

Есть небольшой секрет: то, что вы доказываете в пункте (а), чаще всего помогает решить пункт (б).

И оказывается, что Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из нескольких типов – в зависимости от того, что нужно найти. И для каждого типа задач – свои способы решения.

Эта небольшая таблица будет вашим путеводителем. Вы увидите, что делать в той или иной задаче.

1) Находим угол между прямыми как угол треугольника (теорема косинусов). Пользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми.

2) Возможно – применение теоремы о трех перпендикулярах

3) Векторно-координатный способ

1) По определению (как угол между прямой и ее проекцией на плоскость)

2) Векторно-координатный способ

3) В случае перпендикулярности прямой и плоскости – доказываем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости

5) С помощью формулы площади прямоугольной проекции фигуры

2) С помощью метода объемов

2) Как расстояние между одной из этих прямых и параллельной ей плоскостью, в которой лежит другая прямая.

1) Находим центр сферы как точку, равноудаленную от всех граней многогранника

2) Разбиваем многогранник на пирамиды с общей вершиной в центре вписанной сферы. Представляем объем многогранника как сумму объемов этих пирамид.

Читайте также: