Методика рассмотрения простых задач выраженных в косвенной форме в начальной школе
Обновлено: 05.07.2024
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ЗАДАННЫХ В КОСВЕННОЙ ФОРМЕ (Из опыта работы)
В I классе дети знакомятся с задачами, заданными в косвенной форме. Вопрос, когда наиболее целесообразно начинать решение этих задач, обсуждается в течение многих лет. Объясняется это трудностью усвоения подобных задач детьми младшего школьного возраста.
Задачи, выраженные в косвенной форме, можно давать тогда, когда детям будет ясен смысл выражений больше на, меньше на. Когда они поймут, почему задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, заданные в прямой форме, решаются тем или иным арифметическим действием.
Методисты предлагали различные варианты рассмотрения таких задач в начальных классах. Одни предлагали рассматривать их позднее (Г.Б. Поляк), другие (Н.А. Менчинская, М.И. Моро) говорили, что ссылка на трудность усвоения не может служить достаточным аргументом для позднего введения задач, заданных в косвенной форме. Напротив, слишком позднее ознакомление детей с этими задачами приведёт к выработке штампа, жесткого навыка: если в задаче есть слово меньше , то она решается вычитанием, если слово больше , то – сложением. Поэтому они рекомендовали вводить такие задачи как можно раньше.
При переходе школ на новые программы была сделана попытка ввести задачи, заданные в косвенной форме, одновременно с задачами, заданными в прямой форме. Это исключало образование штампов. Однако практика показала, что в этих условиях возникают новые трудности, связанные с недостаточно чётким пониманием отношений больше на, меньше на. Поэтому поиски оптимального решения вопроса о месте задач, заданных в косвенной форме, были продолжены.
В настоящее время они вводятся при изучении чисел второго десятка в расчёте на то, что учащиеся уже достаточно познакомились с отношениями больше, меньше , а решение этих задач на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, выраженных в прямой форме, ещё не привело к образованию штампов.
Решая задачу, заданную в косвенной форме, ученик должен понимать смысл выражений больше на несколько единиц или меньше на несколько единиц. Уметь находить сравниваемые множества и на основе данного отношения устанавливать, в каком множестве элементов больше, а в каком - меньше.
Кроме того, ученик должен знать, что если одно число на несколько единиц больше другого, то второе на столько же единиц меньше первого, и уметь применить это знание для нахождения искомого в задаче числа.
«После чтения задачи полезно выполнить коллективно краткую запись на доске. Запишем кратко: какие ягоды собрали в саду? (С. – смородина, М. – малина.) Что известно про смородину ? (Собрали 9 кг.) Запишем. Что еще известно про смородину ? (Смородины на 2 кг больше, чем малины.) Что надо узнать в задаче ? Обозначим это. Запись:
С. – 9 кг, на 2 кг больше, чем малины. М. - ?
Посмотрите на краткую запись и объясните, что показывает каждое число, повторите вопрос задачи. Малины было больше или меньше, чем смородины ? ( Если смородины было на 2 кг больше, значит, малины на 2 кг меньше.) Каким действием решается задача ? (Вычитанием.)
Дети сами записывают решение задачи. При проверке работы полезно ещё раз выяснить, почему задача решается вычитанием, хотя в условии задачи есть слово больше .
Как и раньше, типичной ошибкой при решении задач, выраженных в косвенной форме, являются применение действия, обратного тому, которым решается задача. Неумение некоторыми учениками правильно представить ситуацию и зависимость данных в задаче – главная причина появления таких ошибок.
Поэтому огромное значение имеет вопрос, в какой системе следует предлагать задачи для решения, чтобы помочь учащимся осознать задачу в целом.
Решение таких задач основано на умении решать задачи, заданные в прямой форме. Поэтому на предыдущем этапе обучения учитель добивается, чтобы учащиеся понимали ситуацию и отношения, данные в задачах, выраженных в прямой форме, т.е. понимали, что означает каждое данное число, могли объяснить, для каких множеств установлено отношение больше на или меньше на, могли по данному отношению определить, какое число следует искать: большее или меньшее.
В учебнике и в методической литературе предложено немало задач, заданных в прямой форме, содержащих слово больше или меньше , и подробно изложена методика работы над ними. Это способствует выработке правильных представлений о ситуации и отношений данных в задаче.
Однако вид таких задач однообразен. Вначале, как правило, указывается численность одного из сравниваемых множеств, затем – результат этого сравнения и в конце задаётся вопрос о численности другого из сравниваемых множеств. Вот пример такой задачи. «Дима сорвал 6 слив, а Нина – на 4 сливы меньше. Сколько слив сорвала Нина ?
Однообразие в формулировке приводит к тому, что у учащихся через некоторое время исчезает потребность задумываться над тем, что означает каждое данное число в задаче. О каком множестве сказаны слова на 4 сливы меньше ? На 4 сливы меньше, чем какое число ?
Таким образом, для предупреждения ошибок решения задач, заданных в косвенной форме, необходимо создавать такие условия, чтобы возникла потребность анализировать числовые данные и отношения, указанные в задаче. И начинать работу полезно с рассмотрения разнообразных задач, сформулированных в прямой форме.
Приведём примеры таких задач и опишем методику работы над ними.
Повторив задачу по схематическому рисунку, приступаем к её решению.
- Сколько кругов у Кати ? ( У Кати 4 круга. )
- Что в задаче говорится о кругах Нины ? ( У Нины кругов на 2 больше. )
- Какие слова помогли узнать, что у Нины большее число кругов. (Слова больше на 2 )
- Больше на 2, чем какое число ? ( У Нины больше на 2, чем число 4. )
Из двух сравниваемых чисел ( число кругов у Кати и число кругов у Нины) известно число 4. Какое это число – большее или меньшее ? ( 4 – это меньшее из сравниваемых чисел.)
- Какое число нужно узнать – большее или меньшее ? (Будем искать большее число. )
- Каким действием будет искать большее число ? ( Действием сложения: к меньшему числу 4 прибавим 2. )
- Запишем решение задачи: 4+2=6.
Задача наглядно на доске может быть представлена так:
Беседа проходит по таким вопросам:
- Сколько морковок у Маши ? Что в задаче говорится про Колю ?
Мы сравниваем Машины морковки с Колиными. У Коли на 2 меньше, чем какое число ? Из двух сравниваемых чисел нам известно число 6. Какое это число – большее или меньшее? Тогда какое число будем искать ? Каким действием будем искать меньшее число ?
Запишем решение задачи.
Можно использовать различные формы наглядной интерпретации таких задач. Например, такие, как это предложено в учебнике математики для 1 класса. Кроме того, полезно, например, решив задачу по предложенному схематическому рисунку, наглядно представить её другим способом:
У Миши на 4 больше, чем у Вовы.
Для предупреждения появления ошибок при решении задач, выраженных в косвенной форме, следует как можно раньше включать задачи на увеличение или на уменьшение числа, выраженные как в прямой, так и в косвенной форме.
Полезно рассматривать пары задач различных форм либо с одними и теми же числовыми данными, либо с одним и тем же установленным отношением. Вначале особенно важно сравнивать такие пары задач, в которых даны одинаковые числа, а отношение больше или меньше на установлено по-разному. Например, одно и то же отношение больше на в первой задаче может указывать, что большее из сравниваемых чисел – неизвестное, а во второй, что большее из сравниваемых чисел – данное в задаче число. Сравнивание таких пар задач помогает учащимся осознать, что выбор действия для решения задачи не может быть сделан, пока не установлено, какое из сравниваемых чисел известно – большее или меньшее – и какое число следует искать. Хочу показать, как это делаю я.
Вначале ученики решают задачу: «У школы посадили 5 груш, а лип на две больше. Сколько посадили лип ? Затем другую: «У школы посадили 5 груш, на 2 больше, чем посадили лип. Сколько посадили лип ?
После краткой записи задачи ученики повторяли по ней условие и вопрос задачи. Затем проводили беседу: чего больше посадили – лип или груш ? Какое число известно в задаче – большее или меньшее ? Какое число будем искать ? Каким действием можно найти это число ? Запишем решение задачи.
Вопросы завершаются записью решения первой задачи 5+2=7 и второй 5 – 2 = 3.
После записи решения задач учитель спрашивает, заметили ли учащиеся , что при решении этих двух задач она задавала им одни и те же вопросы. Далее учитель поясняет, что для решения обеих задач надо только правильно отвечать на эти вопросы.
Чтобы эта мысль была более очевидна детям, на последующих уроках задачи, заданные в прямой и косвенной форме, решаются одновременно.
Работа проходит таким образом:
- Кто поймал меньшее число рыбок ? (Меньшее число рыбок поймал Саша. Меньшее число рыбок поймал Миша.)
- Какие слова помогли это узнать ? ( Слова меньше на 3 рыбки, они записаны в строчке, где говорится о Саше. Слова меньше на 3 рыбки, они записаны в строчке, где говорится о Мише.)
- Кто же поймал большее число рыбок ? (Большее число рыбок поймал Миша. Большее число рыбок поймал Саша.)
- Мы сравниваем сашины и Мишины рыбки. Какое число известно – большее или меньшее? ( Нам известно большее число – 4. Нам известно меньшее число – 4.)
- Какое число будем искать ? ( Будем искать меньшее число. Будем искать большее число.)
- Каким действием ? (Действием вычитания: из большего числа 4 вычитаем число 3. Действием сложения: к меньшему числу 4 прибавим число 3.)
- Как запишем решение задачи ? (4 – 3 = 1, 4 + 3 = 7. )
Работа по сравнению задач завершается вопросами ко всему классу:
- Почему первая задача решается действием вычитания ? (Первая задача решается действием вычитания, потому что мы находим меньшее число.)
- Почему вторая задача решается действием сложения, ведь в ней тоже есть слова меньше на 3 ? (Вторая задача решается действием сложения, потому что находим большее число. )
Решение задач, заданных в косвенной форме, в сравнении с задачами, заданными в прямой форме, продолжается во II классе.
Умение первоклассников решать задачи, заданные в прямой форме, позволило быстро перейти к свёрнутому рассуждению при решении этих пар задач. Учитель в беседе ограничивается примерно такими вопросами: на что указывает слово больше на или меньше на в условии задачи ? Какое число – большее или меньшее – известно в задаче ? Какое число будем искать ? Запишем решение задачи.
Как правило, работа по решению каждой пары задач заканчивается вопросами ко всему классу: почему одна задача пары решается действием вычитания, а другая – действием сложения ?
Показанная методика работы над задачами, заданными в косвенной форме, помогает детям преодолевать трудности, связанные с решением таких задач.
Непосредственное знакомство с задачами, выраженными в косвенной форме, начинается после того, как дети научились решать задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и на разностное сравнение чисел. Во время обучения решению задач на разностное сравнение чисел необходимо научить детей к каждой задаче задавать два вопроса (один со словом “больше”, другой со словом “меньше”) и соответственно давать два полных ответа.
Изучение данной темы представляет известную трудность, так как некоторые дети, даже после многократной тренировки, не могут установить математические отношения между числами в таких предложениях, как это: “В парке 20 берез, это на 6 больше, чем кленов”. Для облегчения решения задачи и предлагаются следующие задания.
Во время изучения темы “Сравнение” необходимо начинать учить детей построению “обратных” предложений: “Если Саша выше Коли, то Коля ниже Саши”, “Если удав длиннее крокодила, то крокодил короче удава” и т. д.
Особой областью изучения являются отношения “больше - меньше”. В данный период продолжается обучение построению обратных предложений: “Если у Пети больше карандашей, чем у Димы, то у Димы меньше карандашей, чем у Пети” и усложняется характер заданий. Например, вставить слова “больше” или “меньше” в предложение “Если у Иры . кукол, чем у Веры, то у Веры . кукол, чем у Иры”. Вставить слова “больше”, “меньше” и необходимые имена в предложение “Если у Пети . самолетиков, чем у . , то у Саши . самолетиков, чем у . ”.
Когда отношения “больше”, “меньше” охватывают числовой материал, обратные предложения несколько усложняются: “Если у Коли на 2 машинки больше, чем у Вовы, то у Вовы на 2 машинки меньше, чем у Коли”. Соответственно расширяется круг заданий по восстановлению предложений. “Если у Веры на 2 открытки . , чем у Иры, то у Иры на 2 открытки . , чем у Веры”. “Если у Пети на . марок меньше, чем у Вани, то у Вани на . марок больше, чем у Пети”, “Если у Лены на . шаров . чем у Кати, то у Кати на . шаров . ,чем у Лены”. “Если у . на 3 робота . чем у Вити, то у . на 3 робота . чем у Коли”.
На одном из последующих уроков детям предлагается задача; “В классе 10 мальчиков. Их на 3 меньше, чем девочек. Сколько девочек в классе?” и к ней два готовых решения: 10-3=7, 10+3=13. Затем идет работа по выбору верного решения и обоснованию пути, который привел к неверному решению.
На следующем уроке детям раздаются тексты двух задач: “У Тани есть синие и красные шары. Синих шаров - 10. Красных на 2 шара больше, чем синих. Сколько красных шаров у Тани?” и “У Тани есть синие и красные шары. Синих шаров - 10. Их на 2 шара больше, чем красных. Сколько красных шаров у Тани?" Детям нужно подчеркнуть различия в текстах задач. После обсуждения данной работы, учитель открывает на доске краткие записи данных задач и просит детей определить и обосновать, какая краткая запись относится к первой задаче, а какая ко второй. Если в процессе всей предыдущей работы еще не возник вопрос - одинаково или различно будет решение этих задач, то учитель задает его после анализа кратких записей.
На следующем уроке можно выполнить такое задание - выбрать вопрос к условию задачи: "Юля нашла 8 грибов. Она нашла на 3 гриба меньше, чем Лена". Вопросы:
а) Сколько грибов нашла Юля?
б) На сколько грибов меньше нашла Юля, чем Лена?
в) Сколько грибов нашла Лена?
г) На сколько грибов больше нашла Лена, чем Юля?
Необходимо обосновать выбор вопроса и несоответствие других вопросов данному условию ("спрашиваться должно про неизвестное"). Дети могут предложить свои вопросы к данному условию. Необходимо все варианты проанализировать.
На этом этапе предлагаются задания по восстановлению условий задач, изменению числовых данных, преобразованию условий задач. Вот возможные задания: Вставить слово "больше" или "меньше" в условие задачи, чтобы она решалась так: 12-4. Задачи:
а) На елке 12 шаров, а хлопушек на 4 штуки . . Сколько хлопушек на елке?
б) На елке 12 шаров. Это на 4 штуки . чем хлопушек. Сколько хлопушек на елке?
Следующее задание предусматривает изменение числового данного задачи так, чтобы решение стало невозможным. Предлагается задача: "В саду созрело 15 яблок, это на 13 штук больше, чем слив. Сколько слив созрело в саду?".
Дети делают краткую запись и решают задачу. Затем учитель просит детей закрыть глаза, а сам в краткой записи делает изменение - вместо числа 15 пишет число 12. Детям предлагается сформулировать условие задачи с новым данным и решить ее самостоятельно. Всегда найдутся дети, которые скажут, что новая задача не решается.
В следующей задаче требуется преобразовать условие задачи, не нарушая смысла отношений между данными числами. "Кукла стоит 15 рублей. Она на 3 рубля дешевле, чем машинка. Сколько стоит машинка?" Детям предлагается решить задачу, а затем сформулировать условие задачи по-другому, чтобы решение при этом не изменилось.
Далее задания усложняются. После решения задачи "Миша за книгу заплатил 20 рублей, это на 3 рубля больше, чем за журнал. Сколько стоил журнал?" детям предлагается изменить условие так, чтобы задача решалась сложением: 20+3. Дети могут предложить разные способы преобразования условия. Например, слово "больше" в условии заменить на слово "меньше" или фразу "на 3 рубля больше" отнести к стоимости журнала. Кто-то из детей может предложить и такой вариант: "Миша за книгу заплатил 20 рублей, а за журнал 3 рубля. Сколько всего денег истратил Миша?". Тогда учитель просит напомнить задание и выясняется, что изменить надо было только условие, а не вопрос задачи.
Классификация задач. Детям предлагаются тексты трех-четырех задач в прямой и косвенной форме и задание - указать, какие задачи решаются сложением, а какие вычитанием и обосновать свой ответ. Затем можно предложить задание - выбрать среди данных задач такие, которые решаются так же, как только что решенная.
На одном из последующих уроков детям предлагаются тексты трех задач.
а) Маша нашла 20 грибов, а Леша на 5 грибов больше, чем Маша. Сколько грибов нашел Леша?
б) Маша нашла 20 орехов, это на 5 орехов больше, чем нашел Леша. Сколько орехов нашел Леша?
в) Люда нашла 20 орехов, а Никита на 5 орехов больше, чем Люда. Сколько орехов нашел Никита?
Затем идет задание - какая задача отличается от двух других и по каким признакам? Среди множества разных вариантов, возможно, прозвучит и главный - отличие второй задачи в ее решении, и оно вызвано тем, что слово "больше" относится к известному числу, а значит неизвестное число меньше.
Составление задач. Более простой вариант, когда по готовым кратким записям данное "6" и задано отношение "на 2 меньше" и необходимо придумать задачу, чтобы она решалась так 6+2 или так 6-2.
Переход к задачам в два действия, включающим простую задачу в косвенной форме.
Этот переход осуществляется после того, как дети научатся решать задачи в два действия всех других видов. Тогда им можно предложить сравнить тексты двух таких задач:
а) Ваня в первый день прочитал 30 страниц книги, а во второй день на 11 страниц больше, чем в первый. Сколько страниц Ваня прочитал за два дня?
б) Оля в первый день прочитала 30 страниц книги. Это на 11 страниц больше, чем во второй день. Сколько страниц Оля прочитала за два дня?
Для некоторых детей краткая запись является сложной для восприятия.
Тогда нужно показать им, что условие можно сделать более понятным, если представить его в виде схемы. Имеется в виду, что дети уже знакомы со схемами при изучении других тем. Тогда в работу необходимо включить еще один этап - задания на установление соответствия между содержанием задачи и схемой. Можно предложить такие задания:
а) Определить, соответствует ли схема данной задаче?
Как нужно изменить схему, чтобы она соответствовала задаче? Как нужно изменить задачу, чтобы данная схема соответствовала ей?
б) Выбрать задачу, которая соответствует данной схеме.
в) Выбрать схему, которая соответствует данной задаче.
Когда включить задания данного этапа в работу, учитель решит сам.
Возможно, краткая запись с самого начала будет заменена схематичным рисунком, а возможно, схема будет сопутствующим элементом, помогающим лучше уяснить содержание задачи. Право выбора остается за учителем.
В конце необходимо добавить, что дети должны уметь проверять решение задач. В данном случае проверкой может послужить составление и решение обратных задач.
Рассмотрим пример задачи на увеличение числа на несколько единиц.
Сестра посадила три куста смородины, а брат на 2 куста больше, чем сестра. Сколько кустов смородины посадил брат?
У. Как изобразим кусты?
У. Сколько кустов посадила сестра?
У. Нарисуйте три кружочка. А что сказано про кусты брата?
Д. Их на 2 больше, чем посадила сестра.
У. Что значит на 2 больше?
Д. Значит столько же, да еще два.
У. А известно ли, сколько всего кустов посадил брат?
Д. Нет. Это нужно найти.
На доске создается модель задачи.
У. Как же узнать сколько кустов посадил брат?
Д. Нужно к 3 прибавить 2.
(3+2=5 (кус.) Далее учитель вместо вопросительного знака ставит цифру 5 и убирает кружочки из первого рисунка.
У. Что нам теперь неизвестно?.
Д. Неизвестно сколько кустов посадила сестра.
У. Обозначьте на модели неизвестное знаком вопроса.
Дети в тетрадях, а учитель на доске ставит знак вопроса.
- Сестра посадила несколько кустов смородины, а брат посадил 5 кустов, что на 2 куста больше, чем сестра. Сколько кустов смородины посадила сестра?
- Сколько кустов смородины посадила сестра, если брат посадил 5 кустов, что на 2 куста больше, чем сестра?
- Брат посадил 5 кустов смородины. Сколько кустов смородины посадила сестра, если брат посадил больше ее на 2 куста.
Под рисунком записывают решение 5-2 = 3 (кус.) Мы познакомили детей с задачами выраженными в косвенной форме.
Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженные в косвенной форме вводятся в 3 классе, хотя при должном развитии обратимости мышления их можно вводить и раньше.
Сначала учащиеся выполняют практические упражнения вида: "Начерти два отрезка: первый 9 см, он на 3 см короче, чем второй отрезок. Длина второго отрезка больше или меньше длины первого? На сколько сантиметров?", затем переходят к задачам. О методике работы с задачами вида: "У Сережи было 10 книг, что на 2 больше, чем у Миши. Сколько книг у Миши?", мы говорили в главе 3, � 9. При закреплении решений таких задач нужно с учащимися формировать рассуждение типа: "в задаче 10 на 2 больше, чем неизвестное, значит неизвестное на 2 меньше 10, поэтому из 10 вычитаем 2".
Простые задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, выраженное в косвенной форме, вводятся в 3 классе и их решение опирается на рассуждение: "если 8 в 2 раза больше 4, то 4 в 2 раза меньше 8", сформированное при решении предыдущих видов задач.
3. Методика работы над простой задачей, раскрывающей смысл отношений: задачи на кратное сравнение. (ВСЕ ЧТО НАШЕЛ)
Задачи на кратное отношение вводятся во 2 классе после усвоения формулировки правила: чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше, чем другое, надо большее число разделить на меньшее. Этот вывод делается после выполнения ряда упражнений вида: "В одном ряду 6 треугольников, а в другом 2 треугольника. Узнайте, во сколько раз треугольников в первом ряду больше, чем во втором?". Рассуждаем: разделим 6 треугольников по 2, получится 3 раза по 2, значит в первом ряду в 3 раза больше, чем во втором, а во втором в 3 раза меньше, чем в первом".
4. Методика работы над простыми задачами, связанными с понятием доли числа.
5. Методика работы над простыми задачами, связанными с пропорциональными величинами.
Среди таких задач различают три вида задач:
- на нахождение четвертого пропорционального (на простое тройное правило);
- на пропорциональное деление;
- на нахождение неизвестных по двум разностям.
Все три вида задач содержат по три величины, одна из которых постоянная, а две другие – переменные. Для любого набора трех величин можно составить по 6 разновидностей каждого вида задач.
Названные виды задач различаются своими данными и искомыми.
Задачи на нахождение четвертого пропорционального. В этих задачах даны два значения одной переменной величины и одно значение другой переменной величины, второе значение является искомым (см таблицу 1).
Первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.
Задачи на пропорциональное деление. Эти задачи включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью. В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин.
В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является сформированное умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.
При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление лучше предлагать их не в готовом виде, а составить вместе с детьми из задач на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению способа их решения.
Для закрепления умения решать задачи предлагаются готовые задачи на нахождение неизвестных по двум разностям 1 вида с различными группами пропорциональных величин. Аналогично вводятся задачи на нахождение неизвестных по двум разностям II вида. Целесообразно предлагать упражнения на преобразование задач. Например, можно по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения; можно составить по задаче на нахождение четвертого пропорционального задачу на пропорциональное деление и задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения. Такие упражнения помогают детям увидеть сходство в способах решения.
6. Методика работы над простыми задачами на движение.
Задачи, связанные с движением, рассматриваемые в начальных классах, включают в себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи по существу математических зависимостей между величинами, входящими в задачу, структуре и их моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера рассмотрим пару задач и их решения:
1.А) Из двух городов, находящихся на расстоянии 280 км, выехали одновременно две машины. Через сколько часов машины встретятся, если скорость первой машины 60 км/ч, второй – 80 км/ч.
Б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинак4овых деталей. За сколько часов они могут это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60 деталей, а второй 80 деталей?
Приведем арифметические и алгебраические способы решения этой пары задач:
280:(80+60) =2 (80+60)*х=240
2.А) За 6 часов рабочий изготовил 120 одинаковых деталей. Сколько деталей он изготовит за 3 часа?
Б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет за 3 ч, если будет идти с той же скоростью?
Эту пару задач можно решить тремя способами:
1-й способ 2-й способ 3-й способ
1) 120:6=20 1)6:3=2 6ч=380 мин
2) 20*3=60 2) 120:2=60 3ч=180мин
Как видим, структура, модели и способы решения как арифметические, так и алгебраические полностью совпадают. Но задачи, связанные с движением, традиционно выделяют в особый тип, так как эти задачи имеют свою особенность. Особенность состоит в том, что они построены на основе функциональной зависимости между величинами: скоростью, временем и расстоянием.
Подготовительная работа к решению задач, связанных с движением, предусматривает: обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.
С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (машина, человек, и т.п.) может двигаться быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаться друг к другу (двигаясь на встречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обозначают либо черточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелкой.
Раскрытие связей между величинами: скорость – время – расстояние ведется по такой же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи:
если известны расстояние (S) и время (t) движения, то можно найти скорость (v) действием деления; v=S:t
если известны скорость (v) и время (t) движения, то можно найти расстояние (S)действием умножения; S=v*t
если известны расстояние (S) и скорость (v), то можно найти время (t) движения действием деления t=S:t.
Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе и задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно представить жизненную задачу, отраженную в задаче.
Так же, как и при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразование и составление задач.
Среди составных задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения. До введения задач на встречное движение важно провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные ученики. Например, два ученика-пешехода начинают двигаться одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены, и что каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на улице за движением автомашин, пешеходов, велосипедистов и т.п. Расширить представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит 'вышли одновременно' пешеходы, автомашины и т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы ученики твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые задачи. При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на одном уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном выходе пешеходы, велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость каждого и время движения до встречи.
Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решении. На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач. На этом этапе эффективны упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.
Таким образом, специфика этих задач обуславливается введением такой величины, как скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают не отношения между величинами, а процесс движения и во многом облегчают поиск решения.
7. Знакомство с обратными задачами. (КРОМЕ УРОКА НИЧЕГО НЕТ БОЛЕЕ МЕНЕЕ ПОДХОДИТ)
1.Устный счет.
На доске можно расположить опорные схемы задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.
Саша поймал 5 окуней, а карасей - на 4 больше. Сколько карасей поймал Саша?
У рака 10 ног, а у пчелки - на 4 лапки меньше. Сколько лапок у пчелки?
У паука 8 ног, а у рака - на 2 больше. Сколько ног у рака?
В первом классе 8 человек занимаются музыкой, а во втором - на 2 человека больше. Сколько детей 2 класса занимается музыкой?
У Бауржана 9 марок, а у Азизы - на 3 марки меньше. Сколько марок у Азизы?
В первый день Дания прочитала 4 страницы, а во второй - на 3 страницы больше. Сколько страниц прочитала Дания во второй день?
Оле 4 года, Алие 3 года. А Наташе столько лет, сколько Оле и Алие вместе. Сколько лет Наташе?
У кошки 3 белых и столько же серых котят. Сколько всего котят у кошки?
На березе сидели 4 вороны. Прилетели еще 2. Сколько ворон стало на березе?
У Антона было 5 карамелек и столько же шоколадных конфет. Сколько всего конфет было у Антона?
На цветке сидели 2 пчелы. 1 пчела улетела. Сколько пчел осталось на цветке?
На пруду плавали 5 уток. 1 вышла из пруда. Сколько уток осталось? На лугу паслись 10 овец. 3 овцы загнали в сарай. Сколько овец осталось на лугу?
2.Актуализация опорных знаний.
Если число 6 на 2 больше числа 4, то число 4 на 2 меньше, чем число
Карточка с цифрой 4 - дети выкладывают на партах 4 треугольника. Далее учитель просит выложить кругов на 3 больше. После нескольких таких упражнений следует обратить внимание детей на то, что если кругов на 3 больше, то треугольников, соответственно, на 3 меньше.
3.Работа над новым материалом.
Задачи 1. Детям предлагается сравнить условия задач, решения и ответы. Эти задачи являются взаимосвязанными, в этих задачах говорится об одних и тех же предметах, только известное и неизвестное поменяли местами.
4.Работа над изученным материалом.
Самостоятельная работа Задание 2. При выполнении задания учитель объясняет детям, что на основе рисунков надо составить четверки примеров на сложение и вычитание. Это задание записывается в тетради и комментируется. Например, 5 домбр и 3 кобыза. Всего инструментов - 8. Если убрать кобызы (закрываем пальчиком), то останется 5 домбр и т. д.
Задание3. 3 - составление равенств и неравенств - имеет много вариантов решений и выполняется полностью или частично в тетради.
Самостоятельная работа. Задание 4 поможет закрепить таблицу вычитания.
5. Работа по методической теме.
Найди в каждой группе пару предметов и соедини их линией.
8. Знакомство с взаимообратными задачами. Система взаимообратных задач.
На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно писать, а самое трудное в математике – научить решать задачи.
В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить процент слабых.
Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший процент детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я опишу, как я этого добиваюсь и каковы результаты молей работы.
Я ознакомилась с мнением различных ученых-методистов (смотреть список литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как по традиционной, так и по развивающей методике.
Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у Истоминой Н.Б.
Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова А.А., Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А. классифицируют несколько иначе, чем Эрдниев П.М.
За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на сегодняшний день более четкой классификации задач и методики работы над взаимно обратными задачами я пока не вижу.
Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода обратных задач.
Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами задачи:
На уроке мы узнаем, что простые задачи в косвенной форме не такие уж и простые. А всё потому, что над ними потрудился весёлый профессор Хитрюшкин. Его задачи будет учиться решать Петя Всезнайкин. Научится ли Петя решать задачи профессора Хитршкина? Про это узнаете в конце видеоурока.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Простые задачи в косвенной форме"
Ребята, сегодня мы познакомимся с простыми задачами в косвенной форме.
Он решил подшутить над нами и предложил решить несколько задач. Вот, например, такую.
Коля Толстиков за час съел 5 бутербродов с колбасой. Это на 2 больше, чем с сыром. Сколько бутербродов с сыром съел Коля?
̶ Ну, подумаешь, трудная задача! – говорит Петя Всезнайкин. – Я такую сразу могу решить. Там сказано – на 2 больше. Поэтому я к 5 прибавлю 2
Ответ готов: 7 бутербродов с сыром. Да уж, любит поесть этот Коля!
̶ Не-е-т, Петя! Ты поспешил! Посмотри внимательно, ведь в задаче сказано: Коля Толстиков за час съел 5 бутербродов с колбасой. Это на 2 больше, чем с сыром. Значит, именно с колбасой больше, чем с сыром. А раз с колбасой больше, то с сыром – меньше, чем с колбасой. Значит, задачу мы должны решать не сложением, а вычитанием. Мы из 5 вычтем 2.
Получается 3 бутерброда с сыром. Не такой уж он и обжора, этот Коля Толстиков.
А вот вторая задача, подготовленная профессором Хитрюшкиным.
Для украшения комнаты к празднику Витя надул 9 жёлтых шариков, что на 6 меньше, чем красных. Сколько красных шариков надул Витя?
̶ Ну, уж эту-то задачу я точно решу правильно, – говорит Петя.
9 жёлтых шариков. Красных на 6 меньше. Значит, из 9 вычитаем 9.
Получается 3 красных шарика!
̶ Ого! Как красиво будет у Вити! Я тоже на свой день рождения украшу комнату шариками. А ещё я обязательно научусь правильно решать такие хитрые задачки.
̶ Конечно, Петя. А я подскажу тебе, на что надо обратить особое внимание, чтобы ты всегда мог распознать задачи, которые придумывает профессор Хитрюшкин. Посмотри внимательно на условия обеих задач.
Понял-понял… В задаче нужно разобраться, что именно больше, а что меньше. В первой задаче подсказкой служили слова ЭТО НА 2 БОЛЬШЕ, ЧЕМ С СЫРОМ. Во второй задаче – ЧТО НА 5 МЕНЬШЕ, ЧЕМ КРАСНЫХ. Теперь я внимательно буду читать условие задачи и разбираться, что больше, а что меньше. Давайте решим ещё одну задачу. Я обещаю быть внимательным!
-Хорошо, Петя. Слушай ещё одну задачу.
Пчёлка собирала нектар на лугу. Она садилась на колокольчики 14 раз. Это на 6 больше, чем на ромашки. Сколько раз пчёлка садилась на ромашки?
На ромашки пчёлка садилась 8 раз.
̶ Молодец, Петя! Ты был внимателен на этот раз и правильно решил задачу. А вы, ребята запомнили, о чем мы говорили?
Запомните эти слова – они предупреждают о том, что эта задача – непростая, и надо быть очень внимательными при её решении.
Читайте также: