Методика преподавания стереометрии в школе

Обновлено: 06.07.2024

Приступая к изучению стереометрии в 10 классе, многие учащиеся испытывают трудность в восприятии учебного материала, так как не обладают пространственным видением, плохо помнят формулы и правила. Для многих чертёж параллелепипеда или тетраэдра является набором черточек, которые почему-то сложились именно так, а почему, непонятно.

В статье представлен способустранения данных проблем и приведены отзывы учащихся, прошедших у меня курс обучения стереометрии.

Вложение	Размер
Методика обучения решению стереометрических задач	160.07 КБ

Предварительный просмотр:

В работе представлен опыт обучения учащихся 10 классов стереометрии.

Я долго пыталась решить эту проблему. Училась у опытных учителей, приносила на уроки пенопласт и спицы, пластилин и проволоку, предлагала строить цветные чертежи.

Мне казалось, что цветовая гамма поможет учащимся связать стереометрическое тело и чертёж на плоскости.

Постепенно, из урока в урок, из года в год, я пришла к тому, что для успешного преодоления трудностей надо строить модель к каждой задаче.

Построение модели – трудоёмкое занятие, поэтому количество задач одна-две, но к задаче учащиеся получают дополнительные задания на нахождение элементов многогранника. На следующем уроке, разобрав решение домашней задачи, я предлагаю новые задачи к той же модели или по этой модели учащиеся решают самостоятельную работу.

Например, на дом задана задача № 224 из учебника геометрии для 10-11 классов Л.С. Атанасяна: Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 см.

Когда ещё не было электронного дневника, задание задавала посредством своего сайта, теперь задавать домашнее задание через электронный дневник проще. Домашнее задание выглядит следующим образом:

1. Вспомнить, найти в учебнике или в интернете и выучить формулы площадей правильных треугольника, четырёхугольника и шестиугольника.

2. По условию задачи № 224 построить модель, начертить чертёж и найти:

Сторону основания призмы.
Площадь основания призмы.
Длину диагонали призмы.
Высоту призмы.
Площадь диагонального сечения призмы.
Площадь боковой поверхности призмы.
Площадь полной поверхности призмы.
Длину диагонали боковой грани призмы.
Площадь треугольника DB 1 C.

10)Ответить на вопрос задачи.

На следующем уроке, после разбора домашних задач, учащиеся получают для самостоятельного решения следующие задачи:

№1. Дано: правильная четырёхугольная призма. Диагональ призмы наклонена к основанию под углом 45 ᵒ.

Высота призмы 8 .

Площадь основания призмы 64 . Найти:

1. Диагональ основания призмы.

1. Сторону основания призмы.

2. Сторону основания призмы.

2. Диагональ основания призмы

3. Диагональ призмы.

4. Площадь основания призмы.

4. Высоту призмы.

5. Площадь диагонального сечения

6. Площадь боковой поверхности

7. Площадь полной поверхности.

8. Диагональ боковой грани.

9. Построить сечение, проходящее через противоположные рёбра оснований.

10. Найти площадь этого сечения.

№ 2. Все рёбра правильной шестиугольной призмы равны 2 см. Найти полную площадь поверхности призмы.

№ 2. Все рёбра правильной шестиугольной призмы равны 1 см. Найти полную площадь поверхности призмы.

Благодаря такому построению заданий во время решения одной задачи закрепляется не только текущий материал, но и прошедший, необходимый постоянно.

Особенно построение модели помогает при решении задач на сечения. В таком случае точки, через которые надо построить сечение параллелепипеда или тетраэдра, ребята отмечают пластилином и соединяют их нитью. Полученная картина даёт возможность проверить правильность решения задачи.

Материал, из которого делаются модели, различный. Кто-то собирает из проволоки, кто-то клеем соединяет деревянные палочки, кто-то пластилином соединяет использованные карандаши и фломастеры. Самым удачным способом получился способ, когда пластилином соединяются коктейльные трубочки, к тому же на уроке модель можно быстро изменить, например, из прямого параллелепипеда сделать наклонный и т.п.

Пятилетняя практика показала, что вдумчивое построение модели к задаче и дальнейшее решение задач по этой модели помогает развить у учащихся пространственное видение, понимание принципов решения стереометрических задач.

В заключение статьи я приведу отзывы учащихся.

В первые минуты, когда я открыла учебник и прочитала название главы, которую мы начали разбирать, я считала что мне в жизни не разобраться в понятиях многогранника и призмы. Вначале мне казалось, что мне придётся часами сидеть для того, чтобы вникнуть в смысл этой темы, понять, как нужно решать задачи с такими фигурами. Но на самом деле, после того, когда я пришла домой и начала читать теорию и решать задачи, я поняла, что эта тема будет очень интересной. И я была абсолютно права, потому что мне действительно очень понравилась эта тема.

На мой взгляд, рисовать в тетрадках фигуры призм и прямоугольников – это настоящее искусство. Так как сидя дома, и имея достаточно времени можно рисовать прекрасные чертежи. Оказалось, что строить эти фигуры, так же увлекательно. Если простроить призму или пирамиду в объёме, можно с лёгкостью увидеть перпендикулярные, равные стороны и т.д. Мне так же понравилось не только строить фигуры и их рисовать, но и решать задачи на эти темы.

Поэтому мне очень понравилось работать с этими фигурами.

Мне было очень интересно открыть для себя мир многогранников.

Геометрия – интересный и многогранный предмет. Призмы и пирамиды - интереснейшая тема, которая мне понравилась. Когда получается красивый чертеж, появляется стимул решить задачу полностью, а когда все-таки, получается, решить её, тогда и начинаешь чувствовать, что не такая уж и сложная эта тема.
Строить модели мне нравится, а если строить их хорошо, то появляется визуальное представление задачи, которую пытаешься решить. Куб, параллелограмм, различные виды пирамид и призм - все это, воплощенное на чертеже или модели, заставляет работать мозг “в пространстве ”, что очень интересно. Уроки, по пирамидам и призмам, дали мне знания для следующей ступени обучения темам геометрии, которые будут, не менее интересны, чем эта.

Уроки, которые вы посвятили призмам и пирамидам мне очень понравились. При выполнении домашнего задания, помимо номера вы задавали еще и модель. Это в начале меня встревожило, потому что я их не так часто и делал. Но потом, после того как я сделал первую модель, это стало даже как-то весело, а так же это было занятным увлечением, хотя и была кропотливой работенкой, но все же она мне очень нравилась и, надеюсь, будет нравиться в дальнейшем. И даже если я не всегда ее делал (это было 3 раза) мне все равно будет очень приятно вспоминать и рассказывать в будущем своим детям!
Мы узнали много новенького и интересного о пирамидах и призмах.

Геометрия является для меня одним из сложнейших и в то же время интереснейших предметов наряду с алгеброй. Мне довелось изучить очень много интересных тем, одной из которых является тема "Пирамиды". Раньше я думал, что пирамида - это фигура, в основании которой лежит исключительно правильный равносторонний треугольник. Однако в этом году я узнал, что в основании может лежать абсолютно любой многоугольник. Также новым для меня стало и то, что пирамиды бывают правильными и неправильными. Новым для меня стало и то, что каждая из боковых граней имеет апофему. Процесс решения задач вызывал поначалу у меня некоторые трудности, но стоило только правильно построить чертёж, провести полный анализ всех условий задачи, как решение само приходило в голову и все трудности улетучивались. Что касается упомянутых моими одноклассниками моделей, то сначала построение этих конструкций показалось мне крайне тяжёлым заданием. Действительно, построение первой модели отняло у меня много сил и времени. Но, как говорится: "Глаза боятся - руки делают". Каждое последующее домашнее задание, включающее в себя построение модели, было для меня уже не таким сложным и невыполнимым заданием, а довольно забавным, интересным и увлекательным процессом.

На днях я завершила изучение раздела, в котором рассматриваются призмы и пирамиды. Этот раздел меня очень заинтересовал. Больше всего мне понравилось работать с правильными призмами.

Меня очень заинтересовала задача про куб.

Её мы решали на самостоятельной работе.

Нам надо было найти площадь полной поверхности, зная только то, что диагональ куба равна. На первый взгляд можно предположить, что эта задача очень трудна, но если вы достаточно хорошо изучили бы призму, то для вас решение этой задача не предоставит ни малейшего труда. Давай те посмотрим на её решение!

Первое действие - это анализ условия.

Если АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб, то все грани – квадраты, сторона = а, (диагональ) 2 = 3а 2 , S полн.пов. =S осн. *6.

А теперь приступим к решению.

3. S полн.пов. =5*6=30 см 2

Вот и все задача решена. Это было совсем не трудно и заняло всего лишь 3 минуты!

Все фигуры в геометрии по-своему красивы, но из всех изученных мною ранее фигур больше всего мне понравились пирамиды. Решая задачи с пирамидами, я почти не сталкивался с трудностями (только вычисления с неудобными числами, как на прошлой самостоятельной, всегда вызывали во мне раздражение).
Отдельно я хочу рассказать про свои впечатления о правильных пирамидах. Вся эта фигура как бы излучает гармонию и спокойствие. Сама суть правильной пирамиды полна мистической силы, ведь не зря древние египтяне избрали местом погребения своих фараонов именно пирамиды, а не, допустим, кубы, не просто так ацтеки строили свои храмы в виде пирамид. Эрнст Мулдашев большинство своих исследований ведёт, “опираясь” на пирамиды и треугольники.
Поэтому мне даже было приятно самому изготовить модель пирамиды для урока.
Надеюсь: следующая тема в геометрии будет не менее интересной.

Уроки, посвященные пирамидам и призмам, мне очень понравились. Модельки, которые мы выполняли для каждой задачи, намного облегчали нам процесс решения. Сразу становилось понятно, что и откуда берётся. Особенно интересны были задачи на правильную пирамиду. При построении правильной пирамиды было легко ориентироваться, т.к. нужно всего лишь найти середину пересечения диагоналей основания и провести высоту. Да и построить модельку правильной пирамиды было несложно, поэтому на вид она получилась очень удачной. Мы узнали много нового и интересного о пирамидах.

Вопросы методики преподавания стереометрии: сб. статей. — 1961

Вопросы методики преподавания стереометрии : сб. статей / Горьк. гос. пед. ин-т им. А. М. Горького ; под ред. В. В. Репьева. — Горький, 1961. — 160 с. — (Ученые записки ; вып. 32). — Библиогр. в конце статей.

Вопросы методики преподавания стереометрии: сб. статей. — 1961

Закладок нет. Вы можете добавить закладку, нажав на иконку в правом верхнем углу страницы.

Обложка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

Функциональная грамотность – способность человека вступать в отношения с внешней средой, быстро адаптироваться и функционировать в ней.

“Математическая грамотность”

Математическая грамотность - способность человека определять и понимать

роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные

математические суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в

настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинтересованному

и мыслящему гражданину.

Термин "грамотность" использован чтобы показать, что изучение состояния

математических знаний и умений, обычно определяемых в школьной программе, не

является первоочередной задачей данного исследования. Основное внимание уделяется

использованию математических знаний в разнообразных ситуациях, применяя

различные подходы, требующие размышлений и интуиции. Очевидно, что для этого

необходимо иметь значительный объем математических знаний и умений, которые

обычно изучаются в школе.

Учащимся в основном предлагаются не учебные, а практические ситуации,

характерные для повседневной жизни (медицина, жилье, спорт и др.). При этом не

ставится цель проверить выделенные знания и умения каждое в отдельности. В большинстве случаев требуется использовать знания и умения из разных тем и разделов

не только курса математики, но и других школьных предметов, например, физики,

Понятие функциональной грамотности сравнительно молодо: появилось в конце 60-х годов прошлого века в документах ЮНЕСКО и позднее вошло в обиход исследователей. Примерно до середины 70-х годов концепция и стратегия исследования связывалась с профессиональной деятельностью людей: компенсацией недостающих знаний и умений в этой сфере. В дальнейшем этот подход был признан односторонним. Функциональная грамотность стала рассматриваться в более широком смысле: включать компьютерную грамотность, политическую, экономическую грамотность и т.д.

В таком контексте функциональная грамотность выступает как способ социальной ориентации личности, интегрирующей связь образования (в первую очередь общего) с многоплановой человеческой деятельностью.

Рассмотрим несколько вариантов определения функциональной грамотности. Функциональная грамотность (англ. functionalliteracy) – результат образования, который обеспечивает навыки и знания, необходимые для развития личности, получения новых знаний и достижений культуры, овладение новой техникой, успешного выполнения профессиональных обязанностей, организации семейной жизни, в т.ч. воспитания детей, решении различных жизненных проблем.

Функциональную грамотность составляют:

элементы логической грамотности;

умения человека понимать различного рода, касающиеся его государственные акты и следовать им;

соблюдение человеком норм собственной жизни и правил безопасности;

требования технологических процессов, в которые он вовлечен;

информационная и компьютерная грамотность.

Этот начальный уровень функциональной грамотности характерен для передовых цивилизованных обществ. Существует и другой подход к пониманию функциональной грамотности, включающий:

воспитанность человека в духе доброжелательности и дружелюбия, что обеспечивает культуру общения;

В Казахстане был разработан Национальный план действий по развитию функциональной грамотности школьников на 2012-2016гг., утвержденный 25 июня 2012г. Национальный план включает комплекс мероприятий по содержательному, учебно-методическому, материально-техническому обеспечению процесса развития функциональной грамотности школьников. Национальный план призван обеспечить целенаправленность и системность действий по развитию функциональной грамотности школьников как ключевого ориентира для совершенствования качества образования Республики Казахстан. Цель Национального плана – создать условия для развития функциональной грамотности школьников Республики Казахстан.

Задачи Национального плана:

Изучение отечественной и международной практики развития функциональной грамотности школьников.

Определение механизмов реализации системы мер по развитию функциональной грамотности школьников.

Обеспечение модернизации содержания образования: стандартов, учебных планов и программ.

Разработка учебно-методического обеспечения образовательного процесса.

Развитие системы оценки и мониторинга качества образования школьников.

Укрепление материально-технической базы школ и организаций системы дополнительного образования.

Сегодня перед учителем стоят не совсем простые задачи: создать условия для развития творческих способностей, развивать у учеников стремление к творческому восприятию знаний, учить их самостоятельно мыслить, полнее реализовывать их потребности, повышать мотивацию к изучению предметов, поощрять их индивидуальные склонности и таланты. Развитие самостоятельности, подготовка к взрослой жизни и воспитание личности – вот сверхзадачи, по отношению к которым обучение знаниям, умениям, навыкам выступает как средство образования. Развитие школы напрямую зависит от нас, учителей, нашего творчества, нашей инновационной деятельности, которая находит свое отражение в создании образовательных учреждений нового типа, в разработке и введении новых образовательных технологий, в укреплении и реализации связей с научной общественностью Использование инновационных методов обучения (критическое мышление, методика Ривина, кейс-стади…), индивидуальный подход к каждому ученику, усиление воспитательной функции образования (внеурочная работа), развитие у школьников способности к самоорганизации с целью решения учебных задач помогают грамотно и продуктивно организовать учебный процесс.

Как учитель математики, я прекрасно понимаю важность развития функциональной грамотности моих учеников, вижу в этом с одной стороны насущную необходимость в развитии способности учащихся, применять полученные в школе знания и умения в жизненных ситуациях.

Каждый учитель должен внести вклад в развитие логического и пространственного мышления учащихся. Формирование функциональной грамотности школьников на уроках геометрии возможно через решение задач как в количественном, так и в качественном отношении. Прежде всего важно решить все опорные и простейшие задачи курса, которыми ни в коем случае не стоит пренебрегать. Затем уже стоить переходить к более сложным задачам которые так же в свою очередь можно преобразовать в нестандартные задачи с описанием некоторой близкой к реальной жизни для развития функциональной грамотности.

Ко всему выше сказанному в соей трудовой деятельности, на уроках геометрии я перехожу поэтапно, уделяя особое внимание на рациональное использование времени. Очень большой трудностью при преподавании геометрии является малое количество задач, которые учитель ( сам или со школьниками) успевает решить за время урока. Вызвано это может быть по многим причинам. Для устранения некоторых из таких причин я следую методическим указаниям по преподаванию стереометрии в 10 классе.

Учащиеся воспринимают условие задачи на слух. Конечно, если на каждой парте лежит учебник с этим условием задачи, ученик овладевает навыками быстрого прочтения и уяснения. Если учитель все же хочет сам дать условие задачи, то его представление в конструктивном виде значительно ускоряет ход урока. Приведу пример.

Прямая МС перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD. Расстояние от точки М до других вершин прямоугольника равны 6м,7м и 9м. Найдите длину отрезка МС.

Пусть не каждый раз, но так давать условие задачи в определенных ситуациях значительно ускоряет ход урока.

Учащиеся затрудняются с чертежом на доске и в тетради и не сразу правильно его делают.

Ход урока может быть значительно ускорен применением имеющихся в классе навесных досок с заранее нанесенными на них (не стираемыми) изображениями куба, тетраэдра и т.п. Эти изображения можно подавать на доску при помощи кодоскопа так, чтобы учащемуся осталось только обвести их мелом . Полезно на интерактивной доске показать хорошо выполненные чертежи ( именно чертежи, а не цветные рисунки с тенями) многих геометрических тел. Это даст возможность учащемуся достаточно быстро перерисовать их на доску. Часто процесс урока замедляется из-за неумелого применения геометрических инструментов. Хорошо ,если учащиеся научатся проводить прямые линии без линейки.

Во время практикума по решению задач работа может быть организована так, что класс делится на несколько групп и для каждой группы задается задача для совместного обсуждения и решения задачи.

Во время решения задач на доске можно так организовать работу, чтобы по одному чертежу решить сразу несколько нарастающих по сложности задач и опросить нескольких учащихся .Такой прием качественно ускоряет работу класса и увеличивает количество рассмотренного задачного материала.

При организации учебного процесса по обучению учащихся решению стереометрических задач, читателю следует напомнить, что существуют четыре формы движения познания учащихся в этом процессе.

Четыре формы движения познания учащихся

Советские психологи (В.Н. Мясищев, А.Г. Ковалев, И.С. Якиманская и др.) рассматривают умения в качестве одного из критериев развития способностей. Формируя определенное умение, развивая интеллект ученика, его способности, учитель формирует и личностные качества обучающегося, такие, как внимательность, настойчивость, инициативность, трудолюбие и др. Таким образом, формирование умений способствует становлению и развитию личности, готовит учащихся к трудовой деятельности в различных сферах.

Несмотря на определенные успехи в теоретической и практической разработке вопроса о путях формирования умений учащихся, необходимых для решения задач, эти умения, как мы уже отмечали, у многих учащихся находятся на низком уровне сформированности.

Помимо уже отмеченных причин, лежащих в основе неумения учащихся решать задачи, и, в частности, стереометрические, следует также отметить и то обстоятельство, что в методической литературе, в практике работы учителей математики не уделяется должного внимания разработанным психологами и дидактами (С.Л. Рубинштейном, Н.А. Менчинской, Е.Н. Кабановой-Меллер, М.Н. Скаткиным, А.М. Даниловым, В.А. Онищуком и др.) теоретическим основам формирования навыков и умений. Исследованные общие закономерности формирования навыков и умений еще на нашли должной конкретизации в работах по методике изучения наиболее сложных разделов школьного курса математики. Мало работ, в которых с должной полнотой разрабатывались бы конкретные вопросы методики формирования общеучебных умений, умений по решению стереометрических задач, организации совместной деятельности учителя и ученика в процессе работы по формированию умений, необходимых для решения задач.

Чтобы оказать дифференцированную помощь учащимся в ходе поиска решения каждой конкретной задачи, следует определить уровень сформированности умений учащихся по решению геометрических задач.

Знание уровня сформированности у школьников навыков и умений по решению задач, позволяет спланировать все виды дифференцированных воздействий, подобрать соответствующие задачи и продумать формы помощи для различных групп учащихся, ориентируясь при этом на зону их ближайшего развития.

При организации учебного процесса по обучению учащихся решению задач, в том числе и стереометрических, читателю следует напомнить, что существуют четыре формы движения познания учащихся в этом процессе:

от одних чувственных образов к другим (чувственное познание);
от одних понятий к другим (логическое познание);
от образов к понятиям (взаимодействие чувственного и логического познания);
от понятий к образам (взаимодействие логического и чувственного познания).

Заметим, что формы в) и г) психологи относят к интуитивному познанию. Включение в курс стереометрии задач, решаемых на уровне интуитивного познания, и определенным образом организованная работа над ними, способствуют развитию логического и пространственного мышления.

Высказанное положение подчеркивает тот факт, что хотя логика и пронизывает весь школьный курс стереометрии, но не она одна должна доминировать в разработке методики обучения учащихся стереометрии.

Из сказанного следует, что раз стереометрия соединяет в себе наглядную картину, модель и строгую формулировку, то в основу методики ее обучения должен быть положен наглядно-конструктивный подход. Заострить это положение можно высказыванием того же А.Д. Александрова.

Основная суть наглядно-конструктивного метода обучения стереометрии состоит в том, что теоретические знания имеют в своей основе чувственность предметно-практической деятельности. Для ученика это означает учебную предметно-практическую деятельность по созданию различных моделей стереометрических объектов.

Итак, подчеркнем еще раз, что субъектом учебной предметно-практической деятельности является ученик, а объектом– модель, создаваемая им, причем акцент ставится на познании этой модели. В таком случае не чувственность созерцания, а чувственность учебной предметно-практической деятельности является истоком понятийного знания; эта деятельность, сопровождаемая построением и преобразованием модели, позволяет выделить генетически исходное начало, некоторое всеобщее начало. «Благодаря такой особенности чувственности учебной предметно-практической деятельности, — отмечает

Модели, используемые в обучении, могут быть самые различные.

Например, моделями понятия пирамиды могут быть:

словесное описание (определение) этого понятия;
объемная модель пирамиды (каркасная, сплошная);
ее развертка;
изображение пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т.п.

Модели, используемые в процессе обучения учащихся стереометрии, можно классифицировать следующим образом.

Следует, конечно, заметить, что оперирование реальными и идеальными моделями есть единый процесс. Причем, некоторый объект В становится моделью оригинала А лишь в том случае, если В есть продукт гностической деятельности субъекта К или объект В есть объект исследования в этой деятельности.

Процесс моделирования можно описать как особую деятельность субъекта по построению или выбору модели в связи с поставленными познавательными целями.

Приведем, пусть и неполный, перечень наглядных средств, которые можно использовать в процессе обучения учащихся стереометрии.

Важнейшей задачей школьного математического образования является задача формирования и развития у учащихся мышления вообще и математического в частности. Эта задача напрямую связана с решением проблемы вооружения учащихся математическими видами деятельности.

Известно, что процесс усвоения содержания науки в своей основе происходит с помощью тех же форм мышления, что и его развитие.

Показательны в этом плане слова Д. Брунера: "Умственная деятельность везде является той же самой, на переднем ли фронте науки, или в третьем классе школы. Деятельность ученого за его письменным столом или в лаборатории, деятельность литературного критика при чтении поэмы — это деятельность того же порядка, что и деятельность любого человека, когда тот занят подобными вещами, если перед ним стоит задача достигнуть понимания определенных явлений. Различие здесь в степени, а не в роде".

Процесс создания математических знаний подобен созданию любых других человеческих знаний, и он в значительной степени строится на переносе отношений и свойств из одной системы в другую систему. Последнее есть определяющая черта тех форм мысли, которые носят название выводов по аналогии. За счет этих выводов по аналогии, которые позволяют переносить результаты, полученные в одной области, на другие области, происходит увеличение этих результатов.

В плане нашей работы значимо высказывание И. Кеплера: "И я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать в Геометрии".

Итак, перенос знаний, полученных при изучении одного объекта на другие объекты, — важнейшая задача не только развития науки, но и школьного образования.

Центральным видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория, развиваются самостоятельность мышления и их творческие способности, является решение задач. Низкий уровень творческого мышления, встречающийся в знаниях учащихся, формализм и отсутствие должной самостоятельности при поиске решения задач, есть следствие несовершенства методики обучения школьников решению задач.

Наибольшие трудности испытывают учащиеся при решении стереометрических задач, ибо для их решения, роме прочих знаний по планиметрии и стереометрии, необходимо уметь рационально выбирать нужные теоретические знания, уметь применять большое разнообразие приемов поиска решения и соединять в процессе решения одной задачи различные математические методы.

Как показывает проведенный нами педагогический эксперимент, эффективным методом обучения учащихся решению стереометрических задач является метод аналогии, так как именно аналогия чаще всего лежит в начале поиска решения многих задач стереометрии. Формирование у учащихся умения применять метод аналогии следует рассматривать как один из эффективных путей развития творческой активности школьников.

Ряд отечественных и зарубежных ученых Д. Пойа, Ю.М. Колягин, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, А.И. Уемов, Г.Д. Балк, А.И. Жохов, Б.З. Хынг, Р.Ю. Костюченко и др., в своих работах обращались к рассмотрению вопроса об аналогиях. Ими получены следующие результаты и выводы:

аналогия — особая форма мысли, в результате которой информация одного сложного объекта (модели) переносится на другой (оригинал);
аналогию целесообразно использовать на различных этапах процесса обучения математике: при повторении материала, для установления связей между различными темами курса, при отыскании решения некоторых задач;
применение аналогии в обучении развивает творческие способности учащихся, а степень овладения аналогией характеризует уровень творческого развития человека;
дети с первых шагов познания мира, а также в процессе учения стихийно пользуются аналогией;
аналогия приучает учащихся к исследовательской деятельности;
аналогия облегчает усвоение школьниками учебного материала, так как позволяет осуществить мысленный перенос определенной системы знаний, умений и навыков от известного объекта к неизвестному;
метод аналогии лишь тогда становится эффективным средством обучения учащихся, когда последние не спонтанно, а целенаправленно были вооружены знаниями об аналогии и у них были выработаны умения использовать метод аналогий;
аналогия обеспечивает живость и полноту изложения учебного материала, а также прочность запоминания этого материала;
если в процессе обучения отсутствует аналогия, то знания теряют стадию недосказанного, предполагаемого, хотя известно, что прежде всего нужно догадаться о математическом факте, а только потом его доказывать; нужно прежде всего догадаться об идее доказательства, а затем уже проводить его в деталях (согласно требованиям историзма, истина должна проходить через стадию проблемности);
в психологии установлено, что человек лучше запоминает то действие, которое осталось незавершенным, а аналогия, в отличие от дедукции, позволяет обеспечить остаточную напряженность, которая возникает в результате переноса информации с одного объекта на другой и отсутствия при этом доказательности выдвигаемых гипотез и предположений;
аналогия позволяет оставить некоторые задачи незавершенными, что вызывает у учащихся интерес и стимулирует их учебно-познавательную деятельность;
выводы по аналогии позволяют уменьшить степень схематизации и идеализации действительности и обучают учащихся проводить, в отличие от логических умозаключений, еще и рациональные умозаключения, основанные на здравом смысле;
аналогия содействует появлению новых ассоциаций, которые способствуют углубленному, более сознательному пониманию материала, качественному обновлению знаний;
знания, приобретенные отдельно друг от друга, посредством аналогии соединяются воедино, а значит, аналогия способствует систематизации знаний и рациональному их запоминанию.

Рассмотрим некоторые подходы исследователей к определению аналогии.

Аналогия как понятие, выражающее отношение сходства между различными объектами, системами, явлениями, процессами.
Аналогия как эвристический метод научного познания и как средство переноса информации из одной области в другую.
Аналогия как особая логическая форма умозаключения, как один из методов рассуждения.

В литературе чаще всего аналогию трактуют в отмеченном выше первом понимании и тогда она есть характеристика глубокого внутреннего сходства, одинаковости структуры множеств предметов различной природы. Сходство объектов, которые принадлежат различным классам, проявляется в общности некоторых или всех существенных свойств этих объектов. Термин "аналогия" происходит от греческого слова "analogia", что означает "соответствие". Сложный объект Х аналогичен сложному объекту У относительно набора Р характеристик, если в Р найдется хотя бы одна характеристика, общая для Х и У.

Обычная схема умозаключения по аналогии: объект Х обладает признаками a, b, c, d, e, объект У обладает признаками b, c, d, e, следовательно, объект У, вероятно, обладает признаком а.

Приведем примеры аналогий планиметрических и стереометрических фактов.

Устанавливается связь по аналогии между треугольниками и тетраэдрами, между окружностью и сферой и т.д. В планиметрии известен факт: "В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от сторон треугольника". Находя аналогию между простейшим многоугольником — треугольником и простейшим многогранником — тетраэдром, мы строим следующее умозаключение по аналогии: "В любой тетраэдр можно вписать единственную сферу, центр которой находится на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от граней тетраэдра". Конечно, это утверждение требует своего дедуктивного доказательства, которое строится на синтезе понятий и их свойств, относящихся к тетраэдру, причем этот синтез строится в том же порядке, в каком он проводился и для треугольников.
Плоскостная изопериметрическая теорема — пространственная изопериметрическая теорема.

Об авторе: Зловидова Ирина Анатольевна, магистрант 2 курса ОмГПУ г. Омска факультет математического образования.

Читайте также: