Методика изучения темы геометрические преобразования в школьном курсе геометрии

Обновлено: 02.07.2024

Понятия подобия является одним из важнейших в курсе планиметрии. Учащиеся знакомы с реальными предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах (географические карты, фотографии, модели автомобилей, кораблей, и т.д.).

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. эти изображения представления представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом.

Основная цель изучения преобразования подобия – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников.

По А.В. Погорелову на изучение подобия фигур отводится 17 часов. Изучается в 9 классах до изучения тем площади. Подобие фигур разделено на 9 тем. В конце главы вводится углы, вписанные в окружность и пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. В начале дается понятие гомотетии и подобии фигур. Затем рассматривается подобие треугольников, признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников.

Определение (А.В. Погорелов). Преобразование фигур F называется преобразованием подобия если при этом преобразование расстояния между точками изменяется в одно и то же число раз, то есть для любых двух точек X и Y фигуры F и точки X’ и Y’ фигуры F’, в которые они переходят, XY=кXY’.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

1) все их соответственные углы равны (достаточно равенство двух углов);

2) все их стороны пропорциональны;

3) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Два прямоугольных треугольника подобны, если:

1) их катеты пропорциональны;

2) катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;

3) два угла треугольника равны двум углам другого.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

По Л.С. Атанасяну в главе 7 подобные треугольники отводится 19 часов. Основное внимание в главе уделено подобным треугольникам. Изучается в 8 классах после глав четырехугольники и площади.

Определение подобных треугольников дается на основе теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, весьма просто доказываются признаки подобия треугольников. Они широко используются в курсе геометрии. Кроме того, материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В конце главы вводится синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

При изучении данной темы нужно иметь в виду, что свойства подобных фигур будут многократно применяться при дальнейшем изучении курса геометрии. Поэтому следует уделить значительное внимание и время решению задач, направленных на формирование умений доказывать подобие треугольников с использованием признаков и вычислять элементы подобных треугольников.

При изучении признаков подобия достаточно доказать два признака, так как первый доказывается с опорой на теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, а доказательства двух других аналогичны. Применение метода подобия треугольников к доказательствам теорем учащиеся изучают на примере теоремы о средней линии треугольника. С учащимися интересующимися математикой можно рассмотреть задачи на построение методом подобия.

После изучения подобных треугольников рассматривается вопрос о подобии произвольных фигур на интуитивной основе.

Два тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое.

Таким образом, мы рассмотрели два способа изучения подобия треугольников: можно рассмотреть подобные треугольники как частные случаи подобных фигур (А.В.Погорелов) или можно определить подобные треугольники как треугольники, имеющие соответственно пропорциональные стороны и соответственно равные углы (Л.С.Атанасян)

В современном школьном обучении все более усиливается тенденция гуманизации образования, которая в области методики обучения математике понимается как направленность всего учебно-воспитательного процесса на личность учащегося. В решении задачи всестороннего развития личности учащегося широкие возможности предоставляет такой раздел математики как геометрия, которая в силу своей специфики отражения реальной действительности глубоко сочетает логику и наглядность, общее и частное, абстрактное и конкретное.

Файлы: 1 файл

Реферат Метод геометричеких преобразований.docx

О преобразованиях подобия не говорится. Рассматривается лишь частный случай – гомотетия. Доказывается основное свойство гомотетии: при гомотетии с коэффициентом k отрезок AB переходит в отрезок A’B’, параллельный AB и такой, что A’B’=|k|AB, а любая группа F отображается в фигуру F’, подобную F и с коэффициентом подобия k. При этом всякий элемент фигуры F отображается в соответствующий элемент фигуры F’. В курсе стереометрии понятие преобразования пространства не вводится.

В учебном пособии Александрова понятие преобразования вводится на основе функционального подхода, достаточно полно рассматриваются свойства движений и подобия плоскости. Доказывается теорема о представлении подобия композиции движения и гомотетии. Применение движений к равенству фигур не осуществляется, хотя группа движений плоскости в книге рассмотрена.

Заключение

Целью настоящего исследования было изучение применения метода геометрических преобразований к построению школьного курса геометрии в период реформы математического образования в 1964 – 1987 гг., а так же выявление значения метода геометрических преобразований в современном школьном курсе геометрии.

В соответствии с целью работы, можно сделать следующие выводы:

Литература

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учеб. Пособие для студентов физ. – мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1986 – 336 с.
Заславский А.А. Геометрические преобразования, М.:МЦНМО, 2004.
Атанасян JI.C., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. средн. шк. М.: Просвещение, 1990. - 336с.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1993. - 207с.
Геометрия: Учеб. пособ. для 6-8 кл. средн. шк. / А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. Под ред. Колмогорова А.Н. 4-е изд. - М.: Просвещение, 1982.
Колмогоров А.Н. Новые программы и некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в современной школе\\ Математика в школе. 1967. – №2. - с. 2-3.
Колмогоров А.Н. Совремекнная математика и математика в современной школе\\ Математика в школе. 1971. – №6. - с. 4-13.
Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль, М.: Просвещение, 2001.
Погорелов А.В. Геометрия: Учеб.для 7-11 кл. среди.шк. М.: Просвещение. 1990.
Программы для общеобразовательных учреждений. Математика. М.: Просвещение, 1996.
Саранцев Г.И. Система задач на геометрические преобразования в курсе математики восьмилетней школы. Дис. канд. пед. наук. Саранск, 1971.
Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования \\Математика в школе. 1997. – №2, 3, 4. - с. 4-13.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 кл. М.: Дрофа, 1997..
Энциклопедия элементарной математики, Кн. 4 – Геометрия, М.: Физматгиз, 1963.
Яглом И.М. Геометрические преобразования, 4.1, Гостехиздат, М., 1955.
Яглом И.М. Геометрические преобразования, 4.1, Гостехиздат, М., 1956.

О колмогоровской реформе школьного математического образования (1964-1985 гг.) 5

Значение метода геометрических преобразований. Эрлангенская программа Клейна. 11

Главная цель – разобраться что такое геометрические преобразования. В частности – движение. Какие виды движений существуют и какими свойствами обладают.

Симметрия, подобие равенство – не преобразование, а отношения. При этом понятия движение необходимо для изучения.

Элементы симметрии рассматриваются в 5-6 классе, но в дальнейшем не используются. Движение завершающая тема в учебнике Атанасяна, Александрова, где показана её применение в жизни и математике. Но при изучении курса геометрии они не работают, хотя их следовало бы использовать там, где этот метод наиболее эффективен. Кроме того изучение преобразований имеет, большое общекультурное и прикладное значение например симметрия в природе и технике.

Методические рекомендации по изучению геометрических преобразований.

Возможность знакомства с сим фигурами появляется при изучении геом материала математики в 5-6 классе.

При рассмотрении преобразования в системном курсе имеет смысл воспользоваться рас-ми моделями, комп. анимациями.

Систематизация и обобщение видов преобразования и их свойств следует выполнять при итоговом выполнении в основной школе.

Уровень строгости изложения материала выбирается учителем в зависимости от подготовки учащихся и выбираемого им дальнейшего вида изучения.

34. Методика изучения параллельности на плоскости и в пространстве.

Первая встреча с параллельными прямыми происходит в 6 классе. Это обусловлено целями пропедевтики и рассмотрения координатной плоскости. Созданию образа || прямых служит наблюдения окружающей обстановки. Важное значение имеет формирование практических умений при построении || прямых.

Учение о параллельности в курсе планиметрии можно разделить на следующие части: определение || прямых, существование || прямых, построение || прямых, аксиома || прямых, свойства ||, признаки || - ти, применение изученной теории в решении задач. Последний раздел присутствует во всех предыдущих.

В 8 классе изучается теорема Фалеса (если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) и на ее основе свойства средней линии треугольника и трапеции.

Параллельность прямых в пространстве.

Методика изучения параллельности прямых и плоскостей.

Содержание: определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.

Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.

Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” может быть получен с помощью операции отрицания понятий “прямые пересекаются”, “прямые лежат в одной плоскости”.

Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве

проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;

провести логический анализ формулировки определения;

выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;

сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.

Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:

прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;

прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.

Т.о. следует пок-ть как могут быть решены известные школьникам задачи с помощью геометрических преобразований.

При изучении многогранников рассматриваются с симметрии многогранников. При изучении фигур вращения рассматривается повороты и комбинации движений, выполняются практические работы(построение образов фигур)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Тема 6. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии.

Общая характеристика материала. Различные подходы к изучению геометрических преобразований в школе.

Методические особенности изложения отдельных вопросов.

Метод геометрических преобразований и возможности его использования при решении задач.

1. Применение преобразований (а частности, движений) к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т.д.

Мощный толчок развитию идеи геометрических преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии.

С этих позиций геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе.

В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач.

Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников.

Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач.

Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных –с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное).

Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану:

Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия.

Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры.

Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя.

Упражнения на распознавание.

Доказательство того, что данное преобразование является движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний.

Доказательство специфических свойств данного вида преобразований.

С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера.

По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого).

В частности, выписав соответствующие формулы для всех углов, получим пропорциональность соответствующих сторон.

Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов.

3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий.

Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании.

Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование.

Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами.

Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи.

Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов:

подготовительный, 2) ознакомительный, 3) формирующий; 4) совершенствующий.

Задания для самостоятельной работы:

Обоснуйте выбор геометрического преобразования для решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом.

Доказать признаки подобия треугольников с использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам.

Вопросы для самопроверки:

В чем суть Эрлангенской программы Ф. Клейна?

Что является предметом изучения геометрии в средней школе с точки зрения Эрлангенской программы?

Какова роль материала о геометрических преобразованиях в школьном курсе?

Как представлена данная содержательная линия в действующих учебниках по геометрии?

Какова методическая схема изучения частных видов движений в школьном курсе?

Каковы методические особенности изучения преобразований подобия?

Опишите возможную методику изучения всех признаков подобия треугольников на одном уровне.

Докажите признаки подобия треугольников с использованием подходов, отличных от имеющихся в действующих учебниках.

Какие этапы овладения методом геометрических преобразований можно выделить? В чем суть каждого из этих этапов?

Литература : 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Тема 7. Векторы в школьном курсе математики.

Место темы в программе. Анализ содержания и подходов к его изложению.

Методика изучения отдельных вопросов.

Изучение векторов в курсе стереометрии.

1. Понятие вектора является одним из фундаментальных в современной математике. Важность этого понятия для геометрии была показана Германом Вейлем, предложившим в 1918 году векторную аксиоматику евклидовой геометрии.

Материал о векторах стал изучаться в школьном курсе сравнительно недавно. Необходимость его включения в содержание курса геометрии следовала из следующих соображений.

Изучение векторной алгебры важно с точки зрения обогащения идейного содержания учебного курса, приближая его к современной геометрической науке.

Знакомство с векторами необходимо ученикам для изучения смежных курсов: физики, астрономии, химии, географии.

Векторы дают эффективный и компактный метод решения различных геометрических (аффинных и метрических) задач и доказательства ряда теорем.

Углубляется представление учащихся о величинах в том плане, что вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением.

Происходит обобщение знаний учащихся об арифметических и алгебраических операциях.

Рассматриваются 4 варианта введения понятия вектора в школьном курсе:

Модернистский Ввести вектор, наряду с точкой и прямой как основное понятие, описываемое соответствующей системой аксиом (по Вейлю). При этом курс геометрии строится на полностью векторной основе.

Вектор рассматривать как одно из геометрических преобразований, отождествить ею с параллельным переносом (А.Н. Колмогоров).

Рассмотреть вектор как направленный отрезок (А.В. Погорелов, Л.С. Атанасян).

Ввести вектор как порядочную пару чисел, то есть на чисто координатной основе (свести геометрию к алгебре), все действия над векторами сводились бы к действиям над числами.

Определение вектора как направленного отрезка было значительно более наглядным для школьников и больше подходила к физическим представлениям о векторе, поэтому в некоторых учебниках используется именно такое определение.

Основное понятие для векторов в пространстве рассматриваются аналогично.

В учебнике Атанасяна метод координат рассматривается уже позже введения понятия вектора, поэтому большой блок материала дается на чисто геометрической основе. В большой мере используется наглядно-геометрический подход, чем координатный.

Учащимся предлагается подействовать на вектор различными движениями и выяснить, изменилось ли направление и абсолютная величина вектора при применении того или иного движения. Делается вывод, что в случае параллельного переноса абсолютная величина и направление не меняются. То есть, если векторы совмещаются параллельным переносом, их называют равными, при этом их абсолютная величина и направления совпадают. Отметим, что здесь возникает кажущееся противоречие с определением равных фигур. Это объясняется тем, что век5тор характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением, которое сохраняется только при параллельном переносе.

Центральным вопросом является введение координат вектора.

Можно предложить следующую схему:

В системе координат с нанесенной координатной сеткой рассмотрим несколько вопросов: Какие из изображенных векторов равны? Как можно показать, не измеряя отрезков и углов? Попробуйте посчитать клеточки при движении от начала к концу этих векторов (3 клеточки вправо и 2 вверх). Таким образом, мы определили координаты векторов.

Задание: В тетрадях постройте точки А (2, 3) и В (4, 7). Аналогично определите координаты вектора АВ и выясните связь между координатами вектора АВ и соответствующими координатами его начала и конца.

Итог – определение координат вектора.

Далее закрепляем определение на примерах.

Переходим к доказательству этого факта.

Скалярное произведение векторов.

Материал, связанный с векторами разделяется на две большие группы вопросов:

Вопросы аффинной геометрии. Здесь в основном решаются задачи на установление параллельности, выполнение отношения отрезков, параллельный перенос, гомотетия, принадлежность трех точек одной прямой, принадлежность четырех точек одной плоскости и т.д.

Описывает метрическую часть темы. Это скалярное произведение векторов и его свойства. Здесь решаются задачи на вычисление расстояний, углов, нахождение множества точек.

Таким образом, без изучения скалярного произведения векторов из поля зрения учащихся выпадает большое количество метрических задач и в значительной мере теряется эффективность применения векторного метода..

Однако, скалярное произведение векторов совсем недавно стало изучаться в планиметрии в силу следующих трудностей:

Учащиеся привыкли, что умножение –есть операция, ставящая в соответствие двум элементам одного множества элемент того же множества. Скалярное же произведение векторов – есть число, то есть элемент множества, совершенно отличного от множества векторов.

Свойства скалярного произведения весьма отличны от свойств ранее изученных произведений.

Само определение скалярного произведения громоздко: либо это сумма произведений двух пар соответствующих координат, либо – произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

Аксиоматика школьного курса планиметрии не предопределяет строго логическую структуру курса стереометрии, то есть аксиоматика стереометрии может по своему характеру отличаться от планиметрической. Соответственно делались попытки изложить курс стереометрии на основе более современных математических методов, в частности, на векторном. При этом бы появилась возможность объединить курсы геометрии и алгебры на координатно-векторной основе. Однако, данный вариант пока не реализован в силу ряда субъективных трудностей:

Алгебраизация геометрии не способствует развитию пространственных представление школьников, их геометрической интуиции, не способствует их реальным представлениям.

В среднем звене трудно воспитать у школьников высокую алгебраическую культуру и дать четкие представления об аксиоматическом методе, которые необходимы для изучения стереометрии на векторной основе.

Не разработана в должной мере соответствующая методика преподавания.

Усвоение понятийного аппарата, связанного с векторами, создает предпосылки для овладения учащимися векторным методом решения задач, включающим в себя следующие компоненты:

Перевод условия задачи на векторный язык и разложение введенных векторов по базисным (если необходимо).

Составление векторного равенства и его преобразование.

Замена векторного равенства алгебраическим уравнением и его решение.

Объяснение геометрического смысла найденного решения.

Задания для самостоятельной работы.

Показать реализацию компонентов векторного метода на примере решения задачи: Найти один из углов между диагональю куба и диагональю какой – либо грани куба.

Вопросы для самопроверки:

Чем вызвана необходимость и целесообразность изучения векторов в школьном курсе?

Какие возможности введения понятия вектора в школьном курсе можно выделить?

Каково содержание данной темы в школьных учебниках?

Методика изучения координат вектора и операций над ними.

Каковы методические особенности изучения скалярного произведения векторов?

Какие варианты изучения векторов возможны в курсе стереометрии? Положительные и отрицательные стороны этих вариантов.

Каковы основные компоненты, из которых состоит овладение векторным методом?

Читайте также: