Методика изучения перпендикулярности в школьном курсе геометрии
Обновлено: 04.07.2024
По каждой из этих частей проводится учет знаний учащихся: самостоятельные работы, контрольные работы, опрос учащихся на уроке и др.
В процессе изучения каждой из указанных частей следует исходить из общей схемы взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, с которой учащиеся познакомились в начале курса стереометрии при изучении параллельности в пространстве. Это дает возможность случай перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве вписать в общую схему взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, связать перпендикулярность в пространстве с аксиоматикой стереометрии, планомерно осуществлять повторение при изучении нового материала.
При ее изучении особое внимание следует уделить решению задач; в задачах надо использовать многогранники – призмы и пирамиды – с целью подготовки учащихся к изучению соответствующего раздела в курсе стереометрии XI класса. Особо выделить задачи, решаемые с помощью векторного аппарата, а также задачи, решаемые по готовому рисунку устно.
Основная цель: сообщить учащимся основные факты об одном из наиболее важных отношений между прямыми и плоскостями – перпендикулярности; ввести понятие углов между прямыми и плоскостями, между плоскостями.
Данная тема изучается в 10 классе.
Перпендикулярность прямых в пространстве.
Этот раздел рассматривается как повторение пройденного ранее. Повторение нужно вести по следующему плану:
- определение взаимно перпендикулярных прямых:
- пересекающиеся и скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые;
- иллюстрация их на моделях многогранников и в окружающей действительности.
При повторении важно подчеркнуть, что в пространстве взаимно перпендикулярные прямые могут не иметь общих точек.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Изучение целесообразно начать с повторения о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве.
Как нетрудно видеть, прямая и плоскость перпендикулярны тогда, когда они пересекаются.
Встает вопрос, в каком случае прямая, пересекающая плоскость будет ей перпендикулярна.
Как показывает опыт, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости. Это положение иллюстрируется на наглядном пособии (на модели прямой призмы, на рисунке, с помощью стереометрического ящика). После этого дается определение перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Важно заметить, что перпендикулярность прямой и плоскости сводится к перпендикулярности прямых в пространстве, что уже знакомо учащимся.
В учебной литературе по стереометрии приняты различные определения перпендикулярности прямой и плоскости:
Для школьного изложения курса геометрии весьма целесообразно в определение перпендикулярности прямой и плоскости включить требование их пересечения. Если этого не включить в определение, то надо этот факт специально доказывать, что является нелегким для учащихся на этой поре обучения. Второе из приведенных определений включает в себя частный случай взаимного расположения данной прямой и прямых на плоскости, о котором говорится в определении, а именно случай их пересечения. Случай скрещивания этих прямых исключается. Оно, конечно, доступнее для учащихся, соответствует уровню развития их пространственного представления. В дальнейшем по мере развития учащихся это определение вполне можно расширить.
Надо сказать, что второе определение дает полный объем изучаемого понятия.
Такое определение облегчит доказательство некоторых теорем курса, в частности доказательство теоремы о трех перпендикулярах.
Судить о перпендикулярности прямой и плоскости, пользуясь определением, невозможно, поскольку прямых, принадлежащих плоскости, бесчисленное множество. Оказывается, о перпендикулярности прямой и плоскости можно судить по перпендикулярности этой прямой двум прямым, лежащим в плоскости, которые должны проходить через точку пересечения прямой и плоскости (рис 1 а).
Если в определение перпендикулярности прямой и плоскости включены скрещивающиеся прямые. То в этом случае достаточно потребовать, чтобы две прямые, принадлежащие плоскости, пересекались (рис 1 б)
Учащимся важно показать на наглядном пособии, что прямая, перпендикулярная двум параллельным прямым, лежащим в плоскости, может оказаться не перпендикулярной плоскости.
В итоге этой работы формируется теорема, которая получила название признака перпендикулярности прямой и плоскости (теорема о двух перпендикулярах), и ее доказательство проводится в классе учителем и сопровождается продуманными записями.
Перпендикулярность плоскостей.
Раздел о перпендикулярности плоскостей в пространстве целесообразно начать с повторения о взаимном расположении двух плоскостей. С помощью рисунков, опираясь на жизненные представления учащихся, выясняется, что две перпендикулярные плоскости являются пересекающимися. Это требование включается в определение перпендикулярных плоскостей.
По аналогии с перпендикулярностью прямых о перпендикулярности двух плоскостей судят по углу между ними. Поэтому встает проблема: что такое угол между плоскостями? В решении этой проблемы в имеющихся учебных пособиях для школы изложены различные точки зрения. В учебнике Л.С. Атанасяна и др. сначала вводится понятие двугранного угла, а затем на этой основе дается определение перпендикулярных плоскостей. В учебном пособии А.В. Погорелова угол между плоскостями рассматривается как угол между прямыми, полученными при пересечении двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения. Такой подход к изучению перпендикулярных плоскостей позволяет на этой стадии обучения избежать введения нового понятия двугранного угла, которое для учащихся является непростым.
Такой подход к определению перпендикулярных плоскостей позволяет совершенно естественно перейти к пункту о перпендикулярности двух плоскостей, используя аналогию с перпендикулярностью прямой и плоскости, что является, несомненно, выигрышным при изучении этого вопроса. Однако при введении самого понятия перпендикулярных плоскостей в этом случае нежелательно использовать аналогию с введением понятий перпендикулярных прямых и перпендикулярности прямой и плоскости.
В процессе введения перпендикулярных плоскостей необходимо использовать наглядность из окружающей обстановки, модели многогранников (куба, прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы), стереометрический ящик.
В учебнике А.Д. Александрова и др. сначала предварительно доказывается признак перпендикулярности плоскости, исходя из предположения, что такие плоскости существуют, а затем показывается конструктивно их существование.
Во всех остальных случаях существование перпендикулярных плоскостей может быть показано конструктивно сразу после введения определения этого понятия.
В процессе изучения раздела о перпендикулярных плоскостях с учащимися отрабатываются такие вопросы, как:
а) определение перпендикулярных плоскостей;
б) признак перпендикулярности плоскостей (его доказательство);
в) построение перпендикулярных плоскостей;
г) решение задач с использованием определения и признака перпендикулярности плоскостей.
Эти вопросы должны быть центральными в процессе контроля знаний учащихся: при устном опросе, в процессе решения задач в классе и дома, при составлении самостоятельных и контрольных работ для учащихся.
Были изучены 3 учебника:
1. Геометрия: учеб.для 10-11кл.сред.шк./Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-М.: Просвещение,2006.
В этом учебнике тема дана в виде главы. В нее входят 3 параграфа. В каждом параграфе даются под пункты. После каждого параграфа даются задачи.
Перпендикулярность прямой и плоскости. (стр.36)
15. Перпендикулярные прямые в пространстве.
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.
17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Всего дано 22 задачи. Из них 14 задач являются обязательными, а 8 задач не являются обязательными на базовом уровне.
2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. (стр.40)
19. Расстояние от точки до плоскости.
20. Теорема о трех перпендикулярах.
21. Угол между прямой и плоскостью.
Всего дано 28 задачи. Из них 23 задач являются обязательными, а 5 задач не являются обязательными на базовом уровне.
3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
22. Двугранный угол.
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
24. Прямоугольный параллелепипед.
25*. Трехгранный угол.
26*. Многогранный угол.
Всего дано 30 задачи. Из них 21 задач являются обязательными, а 9 задач не являются обязательными на базовом уровне.
Пункт 25, 26 для углубленных классов.
После прохождения этой темы даются вопросы к главе 2. Всего 10 вопросов.
А потом дополнительные задачи. Всего 20 задач.
2. Геометрия: учеб.для 7-11кл. сред.шк./Погорелов.-М.:Просвещение,1992.
В этом учебнике тема дана в виде параграфа. В конце параграфа идут контрольные вопросы (всего 15 из них 8 на определение, 7 на доказательство). А после идут задачи (всего 62 задачи из них 7 задач повышенной трудности).
Параграф 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей. (стр252)
143. Перпендикулярность прямых в пространстве.
144. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
145. Построение перпендикулярных прямой и плоскости.
146. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
147. Перпендикуляр и наклонная.
148. Теорема о трех перпендикулярах.
149. Признак перпендикулярности плоскостей.
150. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
151. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении.
3. Геометрия: 10-11кл.: учебник для общеобразовательных учебных заведений./Шарыгин и др.-М.: Дрофа,2002.
В этом учебнике дается в виде нескольких параграфов. После каждого даются задачи.
1.4. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Всего 15 задач. Из них 7 задач простые(базовые), 3 задачи важные, 1 задача полезная, 4 задач трудные.
1.5. Теорема о трех перпендикулярах.
Всего 16 задач. Из них 6 задач простые(базовые), 6 задачи важные, 1 задача полезная, 3 задачи трудные.
-Сформулируйте определение, какие плоскости называются перпендикулярными?
-две пересекающие плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.
-А когда 2 плоскости перпендикулярные?
-когда они пересекаются и при пересечении образуется 4 двугранных угла и каждый двугранный угол равен 90 градусов.
-Как вы считаете, будет ли плоскость потолка перпендикулярна плоскости стены? Будет ли плоскость стены перпендикулярна плоскости пола? (не знают, но предположат, что да)
-Будет ли основание куба перпендикулярно какой-либо грани? Будет ли грань перпендикулярна основанию куба?
-Можете ли вы быть уверены в том, что, потолок перпендикулярен стене? Что грань куба пересекает основание под прямым углом? И т.д.
-Значит, нам нужно каким-то образом выяснить это, узнать новую теорему или признак, по которому мы сможем точно ответить на данные вопросы. А еще это нам понадобится при решении задач, где надо установить перпендикулярность плоскостей.
2. Раскрытие содержания теоремы.
Давайте рассмотрим 3 примера.
Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом больше 90 градусов и поставим ручку так, чтобы она была перпендикулярна, например, нижней плоскости.
- Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку?
-Как при этом были расположены плоскости?
-под углом больше 90 градусов.
2) смоделируем 2 ситуацию. Возьмем книгу и развернем так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом меньше 90 градусов и поставим опять ручку перпендикулярно нижней плоскости.
-Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку, принадлежит ли ручка верхней плоскости?
-нет, ручка как бы проткнет верхнюю плоскость или, как мы говорим, пересечет ее.
-Как при этом расположены плоскости?
-под углом меньше 90 градусов.
3) смоделируем последнюю ситуацию. Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом равным 90 градусов и ручку поставим также перпендикулярно нижней плоскости.
-Проходит ли верхняя плоскость через ручку, принадлежит ли ручка в данном случае верхней плоскости?
- Как при этом расположены плоскости?
-перпендикулярно, т.е. под углом равным 90 градусов.
-Выдвинете свою гипотезу, когда же плоскости будут перпендикулярными?
- если одна из 2 плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
3. Мотивация необходимости доказательства теоремы.
- Ребята, мы с вами предположили, что, если 2 пересекающиеся прямые, лежащая в плоскости параллельна двум пересекающимся прямым, другой плоскости, то они параллельны только на основе опыта. А вдруг мы не рассмотрели случай, когда параллельности плоскостей не будет? Чтобы убрать все сомнения докажем нашу гипотезу.
4. Формулировка теоремы, работа над ее структурой.
Гипотеза, которую вы выдвинули, является признаком перпендикулярности плоскостей. Сформулируем его: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
- Выделите условие и заключение теоремы.
- условие: одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.
- заключение: такие плоскости перпендикулярны.
5. Поиск доказательства теоремы.
-Как вы считаете, с чего нужно начать доказательство? (с чертежа, записи того, что дано и что нужно доказать)
- Что дано в теореме? (2 плоскости, причем одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.)
- Что нужно доказать? (что плоскости перпендикулярны).
-Рассмотрим плоскости альфа и бетта, такие, что плоскость альфа проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости бетта. Точка А – точка пересечения прямой АВ и плоскости бетта.
- Обратимся к чертежу, как расположены эти плоскости относительно друг друга?
- они пересекаются по некоторой прямой А*.
-Верно, обозначим эту прямую АС. Значит плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой АС.
- Значит, какой вывод мы можем сделать о прямой АС?
- прямая АС одновременно принадлежит и прямой альфа и прямой бетта.
-Как расположена прямая АВ по отношению к плоскости бетта?
- прямая АВ перпендикулярна этой плоскости, это следует из дано.
- А если какая-то прямая перпендикулярна какой-то плоскости, то что из этого следует?
-что прямая, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости. В нашем случае, если прямая АС лежит в плоскости бетта, то прямая АВ перпендикулярна прямой АС.
- Нам нужно доказать, что плоскости альфа и бетта перпендикулярны. Т.е. что это значит?
-из определения, это значит, что угол между плоскостями должен быть равен 90 градусов.
-А как найти угол между плоскостями?
- нужно определить градусную меру двугранного угла (фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости).
- Как вы заметили при пересечении плоскостей образовалось 4 двугранных угла. А как найти градусную меру двугранного угла?
-нужно определить градусную меру линейного угла, так как градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
-Т.е. нам нужно на чертеже получить линейный угол, который будет равен 90 градусов. Давайте проведем дополнительное построение и построим прямую АД перпендикулярную прямой АС.
-Что вы можете сказать об угле ВАД?
-это линейный угол двугранного угла, образованного пересечением двух плоскостей и будет равен 90 градусов.
- Почему угол ВАД = 90 градусов?
- АД перпендикулярно АС, а АВ перпендикулярна плоскости бетта, или как мы сказали АВ также перпендикулярна АС, а из этого следует, что АД перпендикулярна АВ.
-Верно. А что из этого следует?
-плоскости альфа и бетта перпендикулярны.
6. Оформление доказательства теоремы.
7. Усвоение формулировки теоремы.
1. Сформулируйте еще раз признак, по которому можно сделать вывод о перпендикулярности плоскостей:
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
2. Переформулируйте признак, но чтобы смысл не менялся:
Если даны две плоскости, и одна из них проходит через прямую, перпендикулярную ко второй плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
8. Усвоение доказательства теоремы.
Как мы доказывали данный признак?
На какие понятия опирались?
Использовали ли дополнительные построения?
Докажите данный признак, если даны плоскости бетта и гамма, причем прямая МN, принадлежащая плоскости бетта, перпендикулярна плоскости гамма, а МN пересекает плоскость гамма в точке N.
9. Решение задач по применению теоремы.
Первичное осмысление и закрепление новых знаний.
В классной комнате, используя признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости.
Работа в парах. Использую признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости на модели куба.
Укажите плоскости, которым перпендикулярна плоскость АВСД? Перпендикулярна ли плоскость АА1В1В плоскости ДД1С1С?
ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ "ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ"
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Геометрия - один из сложнейших разделов математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их отношения. В школьном курсе затрагивается лишь малая часть всего того, что представляет собой геометрия, как наука. В школе ученики изучают лишь планиметрию и стереометрию, не затрагивая более сложные системы и пространства. И, как правило, более сложной для понимания является стереометрия - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве. Встает вопрос, почему же это происходит? Большей части учащийся бывает очень сложно понять, к примеру, методы построения объемных фигур или как они пересекаются в трехмерном пространстве. Так же у многих детей возникает проблема с представлением у себя в голове полной картины стереометрической задачи. Не понимая, что и как выглядит, невозможно решить стереометрическую задачу. Ведь на листе бумаги или на доске невозможно нарисовать подробную объемную модель, со всеми ее особенностями и свойствами. Поэтому в наше время, многие преподаватели предпочитают объяснять материал при помощи компьютерных технологий и других различных средств.
Главная ошибка учащихся: стремление просто выучить, не до конца понимая изучаемый материал. Десятые и одиннадцатые классы, не вникая в размещение предметов в пространстве, начинают ошибаться при решении задач, если одну и ту же действие проводить в разных ситуациях. Например, учащийся, верно изображает высоту правильной треугольной пирамиды, проведенную из основания, но затрудняется изобразить апофемы, проведенные на боковых гранях.
В основном, при целенаправленном изучении можно добиться заметных результатов в развитии пространственных представлений учащегося и в формировании его абстрактного мышления.
Развитие у учащихся пространственного мышления – одна из самых важных задач обучения математики. К достижению этой цели способствует применение наглядных пособий, использовать которые можно независимо от возраста учащихся. Самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий – один из способов преподавателя донести до учеников изучаемый материал. В процессе изготовления моделей многогранников, они усваивают полученные теоретические знания и навыки. При независимом изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся.
Другая проблема заключается в построении чертежей. Как было уже сказано, в тетради сложно построить правильный чертеж, отображающий правильную картину поставленной задачи. Ведь в реальной жизни мы привыкли решать задачи, ориентируясь на ситуацию, чертеж или общую картину сложившейся проблемы. Как известно, одну из самых важных ролей в геометрических задачах имеет чертеж. Он является гарантией дальнейшего правильного решения поставленной задачи. Обучающиеся сразу приступают к построению объёмной фигуры, не уделяя внимания технике выполнения чертежа, и из-за этого допускают ошибки при построении изображения, в результате чего усложняют себе дальнейшее решение множества задач.
Но в любом случае, какая бы не возникала проблема, преподаватель должен уметь их решать. Он должен понятно и доступно объяснять материал, предоставлять ученикам максимально доступную модель изучаемого понятия. В нашем случае можно использовать современные компьютерные технологии или хотя бы приближенную модель. К примеру для того, чтобы изобразить плоскость можно использовать лист бумаги, а для модели прямой подойдет и обыкновенная ручка или карандаш. Достаточно приложить минимум усилий, но результат будет намного лучше. Намного больше учеников поймут изучаемый материал.
Также не стоит забывать о том, что учащиеся очень быстро теряют интерес к предмету. В особенности, это относится к геометрии. Стереометрия – один из тех разделов геометрии, который является наиболее занимательным и полезным в обыденной жизни. Поэтому при изучении материла, не стоит забывать о подкреплении интереса учащихся к изучаемой теме. Нас окружают примеры использования теории и свойств перпендикулярности прямых и плоскостей. Что и нужно донести до учащихся. Видя примеры в живую, и понимая теорию, у ученика не возникнет проблем с пониманием всего материала.
Атанасян Л.С. Геометрия 10-11, учеб. для общеобраз. учреждений. – М.: Просвещение, 2005.
Бескин Л.Н. Стереометрия: Пособие для учителей средней школы. – М.: Просвещение, 1971.
Методическая разработка содержит теоретический материал и материал для самостоятельного выполнения заданий обучающимися.
План лекции:
Определение перпендикулярных плоскостей.
Признак перпендикулярности плоскостей.
Свойство перпендикулярных плоскостей.
Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Признак перпендикулярности плоскостей
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойство перпендикулярных плоскостей
Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.
Задание для самостоятельного выполнения
Задание 1. Сделать краткий конспект по данной теме.
Задание 2. Выучить все формулировки определений и теорем.
Задание 3. Решить задачу, предварительно сделав рисунок.
Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости прямоугольника АВСD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы 45 0 и 30 0 соответственно.
а) Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные.
б) Найдите стороны прямоугольника.
Задание 4. Решить задачу, предварительно сделав рисунок.
Из точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6 см, к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60 0
Найдите сторону квадрата.
Читайте также: