Методика изучения линейной функции в основной школе

Обновлено: 04.07.2024

Автор: Митякова Марина Валерьевна

Организация: МОУ Купанская СШ г.о.г. Переславль-Залесский

Населенный пункт: Ярославская область, с.Купанское

1. Особенности методической системы учебников.

В основу курса положено:
- сбалансированное развитие содержательно- методических линий, олицетворяющих каждый из 4 разделов курса (обучающиеся систематически возвращаются к важнейшим понятиям курса, составляющих основу этих разделов);

- взаимопроникновение и взаимодействие основных содержательно-методических линий курса;
- вариативность методических решений при структурировании учебного материала (принцип соподчинения материала по основной цели его изучения);
- принцип систематичности (распределен материал по годам обучения, определено место каждого фрагмента);
-научность (опора на теорию арифметики рациональных чисел, алгебраические выражения – это обобщение числовых выражений, рассматриваются только числовые функции, курс алгебры – это курс школьной арифметики);
-доступность (усиление мотивации, демонстрация образца решения, запись решения типовых задач, изложение материала с постоянным нарастанием уровня сложности);

- рациональный выбор технологии подачи теоретического и задачного материала;

-сбалансированность развивающей и информационной функций обучения;
-создание условий для дифференциации обучения;

-использование конкретно-индуктивного метода (от частного к общему).

В учебнике объединен теоретический и задачный материал. Главы взаимосвязаны и расположены в такой последовательности, которая благоприятствует использованию материала предшествующих глав. Каждый пункт главы посвящен относительно самостоятельному вопросу, существенному для данного курса.

2. Система упражнений.

Основная функция упражнений – организация усвоения теории (основных понятий, формул, терминологии, обозначений) и выработка у обучающихся практических умений и навыков. Упражнения, находящиеся после каждого пункта, распределены по сложности:
- базовый уровень;
- средний уровень.

3. Методические особенности изучения функций.
-Принцип систематичности в изучении функций;

- рассмотрение новых видов алгебраических выражений связывается с изучением свойств и графиков соответствующих классов функций;

-постепенное развитие графических представлений в ходе изучения конкретных функций;

- использование графиков в качестве наглядных опорных моделей в различных разделах курса.

4. Последовательность изложения материала.

Способы задания функции (первое представление).

Изучение линейной функции у = kx +b, (b≠0) и её частного вида – прямой пропорциональности у = kx.

Взаимное расположение графиков линейных функций.

Рассмотрение примеров реальных зависимостей.

Функции у = х 2 и у = х 3 и их графики. Свойства функций.

Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными

Функция у = k/x и её график. Свойства функции. Расположение графика в координатной плоскости при k >0 и k

Функция у =√х, её свойства и график. Связь функции у =√х с функцией у = х 2 , где х ≥0.

Графический способ решения уравнений.

Возрастание и убывание функции.

Функция у = ах 2 , её свойства и график.

Простейшие преобразования графиков функций. Функции у = ах 2 + n и
у = а (x – m) 2 .

Построение графика квадратичной функции.

Функция занимает одно из ведущих мест в школьном курсе алгебры и имеет многочисленные приложения в других науках. В начале изучения, с целью мотивации, актуализации вопроса сообщаю, что ни одно явление, ни один процесс в природе не могут быть изучены, никакая машина не может быть сконструирована, а затем действовать без полного математического описания. Одним из инструментом для этого является функция. Её изучение начинается в 7-м классе, как правило, дети не вникают в определение. Особенно труднодоступными понятиями являются такие как область определения и область значения. Используя, известные связи между величинами в задачах на движение, стоимости перекладываю их на язык функции, удерживая связь с её определением. Таким образом, у учащихся понятие функции формируется на осознанном уровне. На этом же этапе ведётся кропотливая работа над новыми понятиями: область определения, область значения, аргумент, значение функции. Использую опережающее обучение: ввожу обозначения D(у), Е(у), знакомлю с понятием нуля функции (аналитически и графически), при решении упражнений с участками знакопостоянства. Чем раньше и чаще учащиеся встречаются с трудными понятиями, тем лучше их осознают на уровне долговременной памяти. При изучении линейной функции целесообразно показать связь с решением линейных уравнений и систем, а позднее с решением линейных неравенств и их систем. На лекции учащиеся получают большой блок (модуль) новой информации, поэтому в конце лекции материал " отжимается" и составляется конспект, который учащиеся должны знать. Практические навыки отрабатываются в процессе выполнения упражнений с применением различных методов, в основе которых индивидуальная и самостоятельная работа.

1. Некоторые сведения о линейной функции.

Линейная функция очень часто встречается в практической деятельности. Длина стержня является линейной функцией температуры. Длина рельсов, мостов также является линейной функцией температуры. Расстояние, пройденное пешеходом, поездом, автомашиной при постоянной скорости движения, – линейные функции времени движения.

Линейная функция описывает ряд физических зависимостей и законов. Рассмотрим некоторые из них.

1) l = l_о(1+at) – линейное расширение твёрдых тел.

2) v = v_о(1+bt) – объёмное расширение твёрдых тел.

3) p=p_о(1+at) – зависимость удельного сопротивления твёрдых проводников от температуры.

4) v = v_о + at – скорость равноускоренного движения.

5) x= x_о+ vt – координата равномерного движения.

Задача 1. Определите линейную функцию по табличным данным:

Решение. у= kx+b, задача сводится к решению системы уравнений: 1=k•1+b и 3=k•3 + b

Задача 2. Двигаясь равномерно и прямолинейно, тело прошло за первые 8с 14м, а ещё за 4с – 12 м. Составьте по этим данным уравнение движения.

Решение. По условию задачи имеем два уравнения: 14= х_о+8•v_о и 26=х_о+12•v_о, решая систему уравнений, получаем v=3, х_о =-10.

Ответ: х = -10 + 3t.

Задача 3. Из города вышел автомобиль, движущийся со скоростью 80км/ч. Через 1,5 ч вдогонку ему выехал мотоцикл, скорость которого 100 км/ч. Через сколько времени мотоцикл его догонит? На каком расстоянии от города это произойдёт?

Ответ: 7,5ч, 600км.

Задача 4. Расстояние между двумя точками в начальный момент 300м. Точки движутся навстречу друг другу со скоростями 1,5 м/с и 3,5м/с. Когда они встретятся? Где это произойдёт?

Ответ: 60 с, 90 м.

Задача 5. Медная линейка при 0 о С имеет длину 1м. Найдите увеличение её длины при повышении её температуры на 35 о , на 1000 о С (температура плавления меди 1083 о С)

2. Прямая пропорциональность.

Многие законы физики выражаются через прямую пропорциональность. В большинстве случаев для записи этих законов используется модель

в отдельных случаях –

Приведём несклько примеров.

1. S = v•t (v – const)

2. v = a•t (a – const, a – ускорение).

3. F = kx (закон Гука:F – сила, к– жёсткость(const), х– удлинение).

4. Е= F/q (Е– напряженность в данной точке электрического поля, Е – const, F– сила, действующая на заряд, q – величина заряда).

В качестве математической модели прямой пропорциональности можно использовать подобие треугольников или пропорциональность отрезков (теорема Фалеса).

Задача 1. Поезд проехал мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м, за 15 с. Каковы длина поезда и его скорость?

Решение. Пусть х – длина поезда, х+150 – суммарная длина поезда и платформы. В данной задаче скорость постоянна, а время пропорционально длине.

Имеем пропорцию: (х+150) :15 = х : 5.

Откуда х = 75, v = 15.

Ответ. 75 м, 15 м/с.

Задача 2. Катер прошел по течению 90 км за некоторое время. За то же время он прошел бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время проплывет плот?

Задача 3. Какова была первоначальная температура воздуха, если при нагревании на 3 градуса его обьём увеличился на 1% от первоначального.

Ответ. 300 К (Кельвин) или 27 0 С.

Лекция по теме "Линейная функция".

Алгебра, 7 класс

1. Рассмотрим примеры задач с применением известных формул:

S = v·t (формула пути), (1)

С = ц·к (формула стоимости). (2)

Задача 1. Автомобиль отъехав от пункта А на расстояние 20км продолжил свой путь со скоростью 62 км/ч. На каком расстояние от пункта А будет находиться автомобиль через t часов? Составьте выражение к задаче, обозначив расстояние S, найдите его при t = 1ч, 2,5 ч, 4ч.

1) Используя формулу (1) найдём путь, пройденный автомобилем со скоростью 62 км/ч за время t, S₁ = 62t;
2) Тогда от пункта А через t часов автомобиль будет находиться на расстояние S = S₁ + 20 или S = 62t + 20, найдём значение S:

при t = 1, S = 62*1 + 20, S = 82;
при t = 2,5, S = 62*2,5 + 20, S = 175;
при t = 4, S = 62*4+ 20, S = 268.

Замечаем, что при нахождении S меняется только значение t и S, т.е. t и S – переменные, причём S зависит от t, каждому значению t соответствует единственное значение S. Обозначив, переменную S за Y, а t за x, получим формулу для решения данной задачи:

Задача 2. В магаине купили учебник за 150 рублей и 15 тетрадей по n рублей. Сколько денег уплатили за покупку? Составьте выражение к задаче, обозначив стоимость С, найдите его при n = 5,8,16.

1) Используя формулу (2) найдём стоимость тетрадей С₁ = 15n;
2) Тогда стоимость всей покупки С= С₁+150 или С= 15n+150, найдём значение C:

при n = 5, С = 15•5 + 150, С= 225;
при n = 8, С = 15•8 + 150, С= 270;
при n = 16, С = 15•16+ 150, С= 390.

Аналогично, замечаем, что С и n переменные, для каждого значения n соответствует единственное значение С. Обозначив, переменную С за Y, а n за x, получим формулу для решения задачи 2:

Сравнивая формулы (3) и (4) убеждаемся, что переменная Y находится через переменную х по одному алгоритму. Мы рассмотрели лишь две разные задачи, описывающие окружающие нас явления каждый день. На самом деле процессов, изменяющих по полученным законам – множество, поэтому такая зависимость между переменными заслуживает изучение.

Решения задач показывают, что значения переменной х выбраны произвольно, удовлетворяющие условиям задач (положительные в задаче 1 и натуральные в задаче 2), т. е. х – независимая переменная (её называют аргументом), а Y – зависимая переменная и между ними однозначное соответствие, а по определению такая зависимость является функцией. Следовательно, обозначив коэффициент при х буквой k, а свободный член буквой b, получим формулу

Определение. Функция вида y= kx + b, где k, b – некоторые числа, х - аргумент, y– значение функции, называется линейной функцией.

Для изучения свойств линейной функции введём определения.

Определение 1. Множество допустимых значений независимой переменной, называется областью определения функции (допустимые – это значит те числовые значения х при которых выполняются вычисления y) и обозначается D(у).

Определение 2. Множество значений зависимой переменной, называется областью значения функции (это те числовые значения, которые принимает y) и обозначается Е(у).

Определение 3. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают формулу в верное равенство.

Определение 4. Коэффициент k при х называется угловым коэффициентом.

Рассмотрим свойства линейной функции.

1. D(у) – все числа (умножение определено на множестве всех чисел).
2. Е(у) – все числа.
3. Если y = 0, то х = -b/k, точка (-b/k;0) – точка пересечения с осью Ох, называется нулём функции.
4. Если х= 0, то y= b, точка (0;b) – точка пересечения с осью Оу.
5. Выясним, в какую линию выстроит точки линейная функция на координатной плоскости, т.е. что является графиком функции. Для этого рассмотрим функции

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x – 2.

Для каждой функции составим таблицу значений. Зададим произвольные значения переменной х, и вычислим соответствующие значения переменной Y.

Линейная функция, ее свойства и ее графика: содержание темы, анализ учебной литературы, математическая карта. Характеристика и сущность методических рекомендаций, связанных с решением задач и подачей теоретического материала. Понятие линейной функции.

Рубрика	Педагогика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	12.06.2011
Размер файла	287,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Содержание

1.1 Анализ учебной литературы

1.2 Анализ теоретического содержания темы

1.2.1 Математическая карта темы

1.2.2 Логико-математический анализ понятий темы

1.2.3 Логико-математический анализ утверждений темы

1.2.4 Логико-математический анализ алгоритмов и правил

1.3 Анализ задачного материала темы

2.1 Анализ методической литературы

2.2 Тематическое планирование обучения теме

2.3 Методика обучения теоретическому материалу темы

2.4 Методика обучения решению задач темы

2.5 Описание приложения

методический математический обучение функция

Данная тема является начальным этапом в обеспечении систематической фундаментальной подготовки учащихся. Функциональные понятия конкретизируются при изучении линейной функции и ее частного вида - прямой пропорциональности. Формирование всех фундаментальных понятий и выработка соответствующих навыков, а также изучение конкретных функций сопровождаются рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами.

Данная тема - начальный этап в систематическом изучении функции, одного из глобальных понятий математического анализа.

Задачи реферативной работы:

· Изучить учебную и методическую литературу по данной теме;

· Провести логико-математический анализ содержания темы;

· Описать методику обучения теоретическому материалу темы, решению задач темы;

· Подобрать соответствующий дидактический материал.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования результатов реферата в процессе преподавания школьного курса математики.

Реферат состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

1.1 Анализ учебной литературы

Элементы анализа темы

Алгебра 7 класс, Алимов Ш. А.-М.: Просвещение, 2002

Алгебра 7 класс, Макарычев Ю. Н.-М.: Просвещение, 2003

Алгебра 7 класс с углубленным изучением математики, Макарычев Ю. Н.-М.: Мнемозина, 2004

1. Структурные особенности темы

1.1. общее представление темы

ГлаваVI. Линейная функция и ее график.

Глава II. Функции.

Глава 7. Функции.

1.2. представление теоретического материала

§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости.

Определение зависимой и независимой переменной, функциональной зависимости, графика функции.

§ 31. Функция y=kx и ее график.

Свойства функция y=kx, определение коэффициента пропорциональности, прямой и обратной пропорциональной зависимости.

§ 32. Линейная функция и ее график.

Определение линейной функции, ее графика. Свойства линейной функции.

Упражнения к главе VI.

§ 4. Функции и их графики.

10. Что такое функция?

Определение функциональной зависимости (функции), аргумента и функции от этого аргумента, область определения функции.

11. Вычисление значений функции по формуле.

Способ задания функции с помощью формулы.

12. График функции.

Определение графика функции.

§ 5. Линейная функция.

13. Линейная функция и ее график.

Определение линейной функции, построение графика.

14. Прямая пропорциональность.

Определение прямой пропорциональности, построение ее графика.

15. Взаимное расположение графиков линейной функции.

Определение углового коэффициента, свойства линейной функции.

Дополнительные упражнения к главе II.

§ 14. Функции и их графики

33. Что такое функция.

Определение функциональной зависимости (функции), аргумента и функции от этого аргумента, область определения функции, числовой функции.

34. График функции.

Определение графика функции.

§ 15. Линейная функция.

35. Прямая пропорциональность.

Определение прямой пропорциональности, построение ее графика.

36. Линейная функция и ее график.

Определение линейной функции, построение графика. Определение углового коэффициента, свойства линейной функции.

§ 16. степенная функция с натуральным показателем.

Дополнительные упражнения к главе 7.

1.3. представление задачного материала темы

Разделяются по уровню сложности, задание условий текстом и по графику.

Задания разделяются на обязательные и для домашней работы; задание условий текстом и по графику.

Задания не разделяются, задание условий текстом и по графику.

2. методические особенности темы

2.1. характер изложения темы

Тема изложена индуктивным методом.

2.2. выделение материала для заучивания

Основной материал, который необходимо знать выделен розовым прямоугольником слева от текста.

Основной материал, который необходимо знать выделен жирным шрифтом и розовым прямоугольником.

Основной материал, который необходимо знать выделен жирным шрифтом.

Используются иллюстрации графиков функции.

2.4. другие методические особенности

Содержатся обозначения начала и окончания решения задачи, начала и окончания обоснования утверждения или вывода формулы. В конце каждого параграфа даны контрольные вопросы.

В изложении теоретического материала рассмотрены решения многих задач. В конце каждого пункта содержатся упражнения для повторения и контрольные вопросы.

3. Выводы

Учебник наглядный, цветной, четко выделен основной материал. Содержится большое количество задач на разные уровни сложности.

Учебник наглядный, цветной, четко выделен основной материал. Тема представлена подробно, содержится большое количество задач на разные уровни сложности.

Учебник наглядный, но не цветной. Тема представлена подробно с рассмотрением большого количества примеров.

1.2 Анализ теоретического содержания темы

1.2.1 Математическая карта темы

1.2.2 Логико-математический анализ понятий темы

Подведение под понятие

Следствие из определения

Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной (аргументом), а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями а, называют зависимой переменной (функцией).

независимая переменная, зависимая переменная

значения S определяются выбранными значениями а

Через род и видовые отличия

S=50t,

S-зависимая переменная, t-независимая переменная

Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Путают, какая из переменных называется зависимой, а какая независимой.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.

абсциссы равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.

Через род и видовые отличия

Понятие координатной плоскости, оси абсцисс и ординат.

С помощью графика функции можно найти значение функции, соответствующее заданному значению аргумента и наоборот.

недостаточные знания о координатной плоскости, в связи с этим неправильные построения.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b- некоторые числа.

y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b- некоторые числа.

Через род и видовые отличия

Понятие функции, независимой переменной.

При формулировке определения учащиеся путают в формуле буквы x, k и b.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x- независимая переменная, k - не равное нулю число.

y=kx, где x- независимая переменная, k - не равное нулю число.

Через род и видовые отличия

Понятие функции, независимой переменной.

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Таким образом, по данной теме представлено 4 новых определения: независимая переменная (аргумент), зависимая переменная (функция), график, линейная функция, прямая пропорциональность.

1.2.3 Логико-математический анализ утверждений темы

Достаточное, необходимое условие

Графики двух линейных функций y=kx+b и пересекаются, если

линейные функции y=kx+b и

Понятие линейной функции, пересечения

Графики двух линейных функций y=kx+b и параллельны, если

линейные функции y=kx+b и

Понятие линейной функции, параллельности

Представленные в теме утверждения рассматриваются как свойства функции, выражают необходимое условие. Данные утверждения простые и явно выделены в тексте. Всем утверждениям дается обоснование.

1.2.4 Логико-математический анализ алгоритмов и правил

В явном виде алгоритм построения графика линейной функции не представлен.

Выделим основную последовательность действий при построении графика y=kx+b:

1. Найти координаты двух точек графика

2. Отметить данные точки на координатной плоскости

3. Провести через полученные точки прямую

Данный алгоритм обладает свойствами:

· Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любую линейную функцию;

· Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;

· Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;

· Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;

· Результативность, так как алгоритм дает результат.

Опорные знания: понятие линейной функции, координатной плоскости, построение точек по координатам.

Также можно выделить алгоритм построения графика функции y=kx:

1. Найти координату одной точки графика, отличную от точки (0,0)

2. Провести через полученную точку и точку начала координат прямую.

Данный алгоритм обладает свойствами:

· Массовость, так как по данному алгоритму можно построить любой график функции y=kx;

· Дискретность, так как каждый шаг алгоритма является законченным;

· Элементарность шагов, так как каждый шаг учащиеся могут выполнить;

· Детерминированность, так как каждый шаг определен предыдущим;

· Результативность, так как алгоритм дает результат.

Опорные знания: понятие функции вида y=kx, координатной плоскости, построение точек по координатам.

1.3 Анализ задачного материала темы

По способу задания

По характеру требований

По дидактической цели

По способу решения

По уровню усвоения

Выяснить: 296-299, 304, 310

Найти: 300, 301, 305-309

Построить: 302-304, 311,312

Обязательные: 299, 300, 302, 304, 308, 310, 311

Смешанные: 296-298, 306, 307

Тренировочные: 301, 303, 305, 309, 311, 312

Алгоритмические: 299, 300-303, 311, 312

Смешанные: 296-298, 304-310

2 УУ: 299-306, 311, 312

3 УУ: 296-299, 307-310

На отработку определения: 299-302

На построение: 302-306, 311, 312

с рисунком: 326, 327, 331

Выяснить: 317-319, 328, 329

Найти: 320, 323-327, 30, 331

Обязательные: 319-321, 323, 328, 330

Смешанные: 317, 318, 325, 326, 327

Тренировочные: 322, 324, 329, 331

Алгоритмические:319-321, 323, 324, 328, 329, 330

Смешанные:317, 318, 325-327,331

3 УУ: 317, 318, 325-327, 331

На отработку определения: 319, 321, 322

На построение: 323, 324

текстовые задачи: 335-346

Выяснить: 335, 341, 345, 347

Найти: 336-340, 346

Построить: 342, 344

Алгоритмические: 335-338, 342-344, 347

Смешанные: 339, 345

2 УУ:335-337, 340-344, 347

3 УУ: 338, 339, 345, 346

На отработку определения: 335,336, 337, 338,341, 343, 346, 347

На построение: 342, 344

Таким образом, по данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий линейной функции и прямой пропорциональности, а так же на отработку свойств линейной функции. Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям. Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применение новой темы, так как в учебнике приведен лишь один пример подобной задачи.

2.1 Анализ методической литературы

При написании реферата была изучена следующая методическая литература:

В соответствии со схемой, изучения линейной ф-ии начинается с рассмотрения задач:

1. На шоссе расположены пункты А и В удаленные друг от друга на 20 км, мотоцикл выехал из В в направлении противоположном А со скоростью 50км/ч. За t часов мотоциклист проедет 50*t и будет находиться от А на расстоянии 50t+20км => зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить ф-лой S=50t+20, где t≥0.

2. Ученик купил тетради по 3 коп за штуку и ручку за 35 коп. Какова стоимость всей покупки. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей, если х – число тетрадей, а у –стоимость покупки, то у=3х+35. Вывод каждому х соответствует у, т.е. в обоих случаях мы встретились с функциями заданными формулами вида у=кх+в, где х – независимая переменная, к и в – некоторые числа. Такие функции называются линейными.

Опр: линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида: у=кх+в, где х – независимая переменная, к и в - некоторые числа. Даже рассматривая конкретную функцию учащиеся выясняют, что является графиком линейной функции. Например, у=0,5х-2, составляют таблицу, отмечают точки на координатной плоскости. Без доказательства принимается, что графиком линейной функции является прямая. Необходимо научить учащихся строить график функции по двум точкам, по точкам пересечения функции с координатными осями. х=0, у=b; y=0, x=a. В ходе решения задач на построение графиков функций учащиеся проводят элементарные исследования, устанавливают свойства.

Вопрос

В математике тригонометрические функции часто определяются аналитическим путем: с помощью степенных рядов, как решения дифференциального уравнения, как интегральные представления. Тригонометрические функции могут быть определены геометрическими средствами. Существуют различные варианты изложения элементов тригонометрии в школьном курсе математики. Они основаны на применении системы координат, векторов, геометрических преобразований.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 0° до 180°; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащихся на тот факт, что с каждой из формул для cos a, sin а и tg а связываются еще две формулы:

Всего, таким образом, получается девять формул. Назовите (с учетом приведенных выше формул) основные виды задач на решение прямоугольного треугольника.

Разработайте опорный конспект для доказательства следующих тригонометрических тождеств:

sin 2 a +cos 2 a = 1, tg 2 a +1 = , 1 + =

sin (90° — a) = cos a, cos (90° — a) = sin a.

Определения косинуса, синуса и тангенса углов от 0° до 180° являются генетическими. В этих определениях указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции. В пособии [23] говорится следующее: «До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0° до 180°. Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R.Пусть а — острый угол, который образует радиус ОА с положительной полуосью х. Пусть х и у — координаты точки А. Значения sin a, cos ос и tg а для острого угла а выражаются через координаты точки А. Именно:

cos a = Sin a= Tg a=

Определим теперь значения sin a, cos a и tg a этими формулами для любого угла а. (Для tg а угол а = 90° исключается.).

В курсе алгебры и начал анализа осуществляется последний, заключительный этап изучения тригонометрических функций. В него входят: 1) закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот; 2) формирование представлений об углах с градусной мерой, большей 360°; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа); 3) описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла; 4) утверждение функциональной точки зрения на cos a, sin а и tg а (трактовка cos a, sin а и tg а как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т. д.); 5) повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом к которым является тождество cos (а + р) = cos а cos (3 — sin а sin (3 (формула косинуса суммы двух аргументов); 6) применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

Вопрос

Решение уравнений составляет алгебраическую часть школьного курса. Задачи и методы алгебры возникли в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач, эти приемы заключались в составлении и решении уравнений поэтому алгебра долгое время воспринималась как наука об уравнениях, сюда же привлекали и тождественные преобразования, которые подчинялись цели решения уравнений. В учебно-методической литературе уравнение рассматривается как аналитическая запись задачи об отыскании совокупности тех значений переменных при которых выражения в левой и правой части принимают равные значения. Согласно этому уравнение – это не само равенство, а лишь вопрос о $-и значений неизвестных, при которых имеет место равенство, при этом отождествляются понятия: уравнение, решить уравнение. Тем не менее термин уравнение часто употребляется вне связи с задачей отыскания его решения так например говорят о уравнении касательной, уравнении движения точки и т.п. Учащиеся начинают решать уравнения рано. В 1 кл. решают уравнения на основе правил нахождения неизвестного слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого. Во 2 кл. – на основе правил нахождения неизвестного множителя, делимого, делителя. В 3 – 4 кл. умения закрепляются. В 5 кл. – уравнение определяется как равенство, содержащее неизвестные числа. Число при котором уравнение превращается в верное называется корнем уравнения. Решить уравнение – найти все его корни. В 6 кл. – возможность прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число. Вводится перенос членов уравнения. В 7 кл. уравнение определяется как равенство содержащее переменную. Формулируется свойство равносильности. Решение линейного уравнения с параметрами. Понятие системы и рассматривается система линейных уравнений. Построение графика уравнения ax+by=c. В 8 кл. – квадратные уравнения. Решаются уравнения ax 2 +bx +c=0. решение дробно – рац. уравнений. В 9 кл. продолжается изучение уравнений и систем уравнений. Знакомятся с понятием степень целого рац. уравнения, что позволяет решать уравнения 3,4 степени. Система с двумя параметрами, графическое решение уравнений. Разработанный аппарат решения уравнений позволяет решать содержательные текстовые задачи методом уравнений. Программой предусматривается, чтобы в процессе обучения учащихся усвоили математические ЗиУ, усвоили важнейшие понятия курса, терминологию и язык, основ-е термины, формулы, правила, приемы и методы решения задач. Виды уравнений: линейные – ax+by=c, квадратные ax 2 +bx+c=0, дробно - рациональные, уравнение степени, логарифмические, показательные, тригонометрические. Методы решения: алгебраический (подстановка, замена, умножение на число), графический. Метод. замечания. 1. Понятие уравнений тесно связано с понятием корень уравнения, решить уравнение, система уравнений. Если уч-ся усваивают эти понятия, то => понимание теории и решения задач. Необходимо систематически разъяснять их смысл, приводя примеры. 2. При изучении уравнений уч-ся должны усвоить идею равносильности, использовать свойства равносильности уравнений и тождественных преобразований => рациональное решение уравнений. Целесообразно от уравнений с дробными коэффициентами перейти к уравнениям с целыми коэффициентами. 3. Необходимо обучить уч-ся алгоритмическим приемам. 4. Хорошим применением уравнений является текстовые задачи по алгебре. 5. для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики тесно связано с числовой теорией, с функциональной линией, что служит наглядностью при решении уравнений. Без линии тождественных преобразований невозможно решение любого уравнения и их систем.

Вопрос

Изучение вопроса о квадратичной функции осуществляется в следующей последовательности, сначала изучается у=2x 2 . Задача: найти зависимость площади поверхности куба от длинны его ребра. Пусть длинна ребра куба х см, площадь поверхности куба равна 6х 2 см 2 , если обозначить х поверхности куба через у, то получаем равенство у=6x 2 . В рассматриваемой задаче мы встретились с ф-ией, которая задается ф-лой у=ах 2 , где х – независимая переменная, а – некоторое число. Итак рассмотрим ф-ию у=ах 2 , выясним что является графиком этой ф-ии, каковы св-ва этой ф-ии:

1) при а=1, у=х 2 – графиком является парабола.

2) при а=1,5 у=1,5х 2 . Составляют таблицу, строят график и рассматривая график учащиеся приходят к выводу, что график ф-ии у=1,5х 2 можно получить из параболы у=х 2 , растяжением по оси х а полтора раза.

3) при а=0,5, у=0,5 х 2 – составляют таблицу, аналогично рассматривая график данной ф-ии

приходят к выводу, что график ф-ии у=0,5х 2 можно получить из параболы у= х 2 сжатием по оси х в два раза.

4) При а=-0,5, у=-0,5 х 2 – график ф-ии у=-0,5 х 2 может быть получен из графика ф-ии у=0,5 х 2 с помощью симметрии относительно оси х.

Вывод график ф-ии у=ах 2 при любом значении а≠0 называется параболой, затем:

1) при любом а, если х=0, то у=0 => график ф-ии проходит через начало координат.

2) при a>0, если х≠0, то у>0; при а 0, у уменьшается при xє(-∞;0], увеличивается при xє[0;+∞), при а 2 +bx+c

Опр: квадратичной ф-ией называется ф-ия, которую можно задать ф-лой y=ax 2 +bx+c, где х – независимая переменная, a,b,c – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Для выяснения, что является графиком квадратичной ф-ии рассматривают пример: . Показывают, что график данной ф-ии может быть получет из графика ф-ии у=½х 2 с помощью параллельного переноса. Для этого выполняют некоторые преобразования: выделяют квадрат двучлена в правой части: , строят в одной сис-ме координат графики ф-ий у=½х 2 и у=½(х-5) 2 +3. Рассмотрим графики данных ф-ий. Учащиеся приходят к выводу, что любая точка графика у=½(х-5) 2 +3 может быть получена параллельным переносом соответствующих точек графика ф-ии , т.е. парал-ным переносом при котором всякая точка с координатами (х₀;y₀) переходят в точку с координатами (х₀+5;y₀+3). Из свойств параллельного переноса следует, что графиком ф-ии у=½(х-5) 2 +3, а значит и ф-ии является парабола, равная параболе у=½х 2 . Далее рассматривают ф-ию в общем виде y=ax 2 +bx+c. В результате преобразований получают у=а(х+b/2а) 2 – (b 2 -4ас)/4а. Эта формула имеет вид y=a(x-m) 2 +n, m=(-b)/2a, n=(b 2 -4ас)/4а, можно докь-ть, что график функции y=a(x-m) 2 +n получился из графика ф-ии y=ax 2 с помощью пар. переноса при котором точка а с координатами (х₀;y₀) переходит в точку с координатами (х₀+m;y₀+n) => графиком ф-ии y=ax 2 +bx+c является парабола, равная y=ax 2 , ее вершиной является точка с координатами (m;n).

Для практики удобно строить график квадратичной ф-ии по нескольким точкам: 1) точки с координатами (m,n); 2) точки пересечения с осью Ох: y=0, ; 3) точка пересечения с осью Оу х=0, у=с. Далее рассматривают свойства функции: область определения функции, область значения функции, монотонность, точки пересечения с координатными осями, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение ее.

Читайте также: