Методика изучения числовых последовательностей и прогрессий в средней школе

Обновлено: 04.07.2024

Содержание

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И

МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Исполнитель: Ооржак Туяна Валентиновна

Студентка 4 курса 2 группы ФМФ

Научный руководитель: ст. преп. А.К. Хурума (_____________)

С оценкой ____________

Подпись руководителя ____________

Глава 1.Основные теоретические положения по теме

«Арифметическая и геометрическая прогрессии
§ 1. Арифметическая прогрессия ……………………………………………….5
1.1.1. Числовые последовательности ………………………………………. 5
1.1.2. Определение арифметической прогрессии. Ее свойства ………………6
1.1.3. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии ……. 9
§ 2. Геометрическая прогрессия ……………………………………………. 12
1.2.1. Определение и свойства геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии ……………………………………………12
1.2.2. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии ……. 15
1.2.3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| ………………. 54

Список использованной литературы………………………………………..55

Объектом исследования является процесс изучения прогрессии в курсе средней школы.

Цель работы – систематизировать и обобщить материал по арифметической и геометрической прогрессиям в процессе обучения математике.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач:

Для того чтобы решить поставленные задачи использовались

Прогрессии — частные случаи последовательностей, поэтому изучая их мы принимаем за основу вопросы, относящиеся к последовательностям. Как и всякие последовательности, прогрессии являются функциями, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли ученики. Это функции натурального аргумента.

Ученые всего мира договариваются о некоторых вещах, касающихся вопросов науки. Так, например, задумавшись над вопросом: зачем писать , если будет легче писать , договорившись навсегда, что аргумент -натуральное число . Так и сделали: заменили запись на .

И еще договорились заменить на , на , на " width="16" height="12" />
и т.д., соответственно на " width="17" height="12" />
. Или, что тоже самое, заменить на " width="15" height="12" />
, на " width="16" height="11" />
, на " width="16" height="11" />
и т.д., на " width="17" height="11" />
. Таким образом, в качестве примера, для функции получим:

;

и так далее.

Теперь то, что мы получили, для удобства можно записать в строку друг за другом 1, 4, 9, 16, 25, …, , …

Эта последовательность и будет примером числовой последовательности.

Итак, подводя краткий итог, мы для себя должны уяснить, что записи вида:

1) ;

2) ;

3) , , , …, , … или , , , …, , где ;

4) , , , …, , … или , , , …, , где

различны по внешнему виду, но по смыслу означают одно и то же.

Числовые последовательности

Числовой последовательностью называется множество чисел, занумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров,

т.е. , , , …, , … или сокращенно . Числа, из которых составлена последовательность, называют ее членами.

Числовая последовательность задана, если всякому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторое число . Задать числовую последовательность – это значит указать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т.е. задать функцию , где — f правило соответствия между и , ;. Общим членом последовательности называется ее – й член .

Или другими словами: последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной. Например, в последовательности все члены равны 4. (). Можно записать .

$\ \<1; 2; 3; . n\> Конечной числовой последовательностью называется последовательность, содержащая членов, т.е. числовая функция , заданная на множестве$
.

Как и функцию, последовательность можно задать различными способами: аналитически (формулой), таблицей, графиком и т.д. Чаще всего последовательность задают с помощью формулы – го члена или рекуррентно.

Рекуррентный способ задания последовательности заключается в том, что указывается соотношение, позволяющее найти член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Задана формула . Записать последовательность.

$\ b_1= \ 1^2-5\cdot1= 1-5 = -4$

$\ b_2= \ 2^2-5\cdot2 = 4-10=-6$

$\ b_3= \ 3^2-5\cdot3 = 9-15=-6$

$\ b_4= \ 4^2-5\cdot4=16-20=-4$

$\ b_5= \ 5^2-5\cdot5 =25-25=0$

$\ b_6= \ 6^2-5\cdot6 = 36-30=6$

$\ (b_n): -4; -6; -6; -4; 0; 6 .$

Таким образом, наша последовательность будет иметь вид

Рекуррентный способ задания последовательности

а) Известно, что + a_ + a_" width="192" height="15" />
и ; ; , при " width="43" height="15" />
. Записать последовательность.

" width="43" height="15" />
. Подставляя в формулу + a_ + a_" width="192" height="15" />
вместо последовательно 4; 5; …., получаем:

; ;

Значит

б) Известно, что + u_" width="137" height="15" />
и , при . Записать последовательность.

; ;

Значит

Эта последовательность называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи.

Примеры заданий с решениями

$\ u_n= \frac <n(n+1)> Пример 1. Последовательность задана формулой$
.

а) Выпишите эту последовательность.

б) Найдите " width="31" height="12" />
, " width="36" height="11" />
и " width="35" height="13" />
.

$\ u_1= \frac <1(1+1)> а)$
=

$\ u_2= \frac <2(2+1)> $
=

$\ u_3= \frac <3(3+1)> $
=

$\ u_4= \frac <4(4+1)> $
=

$\ u_5= \frac <5(5+1)> $
=

$\ u_6= \frac <6(6+1)> $
=

$\ u_7= \frac <7(7+1)> $
=

То есть наша последовательность будет выглядеть так: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; ….

$\ u_<100> б) = \frac$
=

= \frac " width="153" height="26" />
= " width="74" height="26" />
.

Пример 2. Подберите одну из возможных формул члена последовательности " width="18" height="22" />
; " width="18" height="22" />
; " width="18" height="22" />
; " width="25" height="22" />
; " width="25" height="22" />
.

$\frac <n(n+6)> Ответ:$
.

$\<0; \frac<7> Пример 3. Закономерность, по которой выписаны члены последовательности, не всегда легко обнаружить. Например, пусть дана последовательность: ; 13; \frac; 62; \frac; 171. \>$
. Найдите какое-нибудь правило, определяющее эту последовательность.

$\ u_n= \frac <n^3-1> Ответ: формула для общего члена этой последовательности имеет, например, вид$
.

Теперь при изучении последовательностей и прогрессий вы с легкостью найдете нужный член последовательности и сможете задать последовательность формулой.

Как я уже отметила в начале этой статьи, прогрессии — это частные случаи последовательностей и в следующих статьях мы с вами рассмотрим арифметическую и геометрическую прогрессии. Также рекомендую Вам познакомиться с методом математической индукции, который применяется для широкого круга задач.

Одним из важнейших понятий математики и ее школьного курса является понятие функции. Числовые последовательности, являясь одним из важнейших классов числовых функций, возникли и развились задолго до создания учения о функции и являются объектом самостоятельного изучения.

Ваш браузер должен поддерживать фреймы Ваш браузер должен поддерживать фреймы--> --> Ваш браузер должен поддерживать фреймы--> --> Ваш браузер должен поддерживать фреймы--> -->

-75%

Развитие пространственных представлений школьников в обучении математике в условиях реализации ФГОС

Читайте также: