Метод весов при решении уравнений начальная школа
Обновлено: 02.07.2024
Запись двух равных чисел будет выглядеть, например, так:
а запись двух равных числовых выражений может быть записана:
Про равенство можно сказать верно оно или нет. Например, 4 + 3 = 10 - 3 — верное равенство, 11 - 2 = 5 + 1 — неверное.
Можно заметить, что если в равенстве поменять местами правую и левую части, то оно не изменится. Действительно, если 2 + 5 = 9 - 2 — это верное равенство, то и 9 - 2 = 2 + 5 — тоже верное равенство. Это свойство равенств называется симметричностью.
Мы знаем, что в выражении могут присутствовать неизвестные числа. Обычно их обозначают маленькими латинскими буквами: x, y, z и т.п. Например: 5 + x или 7 + 8x. Запись 8x — это общепринятый способ обозначения произведения числа 8 и неизвестной x: 8 * x.
Если в равенстве присутствует неизвестная величина, то его называют уравнением.
Например, самое простое уравнение может выглядеть так:
или чуть сложнее:
или еще немного сложнее:
2x - 18x + 6 - 3 = 7 - 4x + 2 + 15x.
Возникает вопрос при каких значениях неизвестной, наше уравнение превратится в верное равенство? Сколько таких значений и как их найти?
Значения неизвестной, при которых уравнение превращается в верное равенство называются корнями уравнения, а поиск этих значений — процессом решения уравнения. Например уравнение:
Превращается в верное равенство при х = 2:
Значит это уравнение имеет один корень х = 2. Есть уравнения, которые имеют два корня, есть, которые имеют 3 или более корней. Есть уравнения, которые имеют бесконечное количество корней. Например уравнение:
10x + 7 - 2 = 12x - 2x + 5
Будет верно при любом x. Также уравнение может совсем не иметь корней:
10x + 7 - 1 = 12x - 2x + 5
Легко убедиться, что какое бы x мы не взяли это уравнение не превратится в верное равенство.
Метод "весов" так или иначе применяется при решении любых уравнений. Чтобы понять суть этого метода, вспомним, что уравнение - это прежде всего равенство, и как мы говорили в начале, равенство предметов возникает при сравнении этих предметов.
Давайте представим себе весы, на которых мы будем сравнивать различные предметы (точнее их веса). Будем говорить, что весы находятся в равновесии, если чаши весов находятся на одном уровне. Вот эти весы в равновесии:
Рис.1 Весы в равновесии
Рис.2 Весы не в равновесии
Если весы находятся в равновесии, это значит что вес содержимого левой чаши равен весу содержимого правой чаши. Посадим на обе чаши по одинаковому слону и получим весы в равновесии:
Можно сказать, что у нас есть равенство: Мслона = Мслона.
Рис.3 Весы в равновесии
А если на левой чаше сидит слон, а на правой мышка, то равновесия нет:
Рис.4 Весы не в равновесии
Добавим на правую чашу миллион мышек и получим другое неравенство:
Рис.5 Весы не в равновесии
Уберем лишних мышек чтобы привести весы в равновесие:
Рис.6 Весы в равновесии
Теперь мы можем сказать что вес слона равен весу мышек, то есть мы получили равенство: Мслона = Ммышек.
Отметим еще раз аналогию, которую мы проводим: если весы находятся в равновесии, можно говорить о равенстве содержимого левой и правой чаши.
Что произойдет если к весам, находящимся в равновесии, на левую чашу что-нибудь добавить? Очевидно, левая чаша перевесит правую:
Рис.7 Весы в равновесии
Вместе с потерей равновесия пропадает и равенство правой и левой чаши. Чтобы восстановить равновесие надо добавить такой же банан на правую чашу:
Рис.8 Весы в равновесии
Равновесие восстановлено! Из вышепроделанного можно сделать вывод, что если к чашам весов, которые находятся в равновесии добавить одинаковый груз, то равновесие не изменится! Вспоминаем нашу аналогию и получаем важное свойство равенства:
1. Если к обеим частям верного равенства добавить одинаковое число или выражение, то равенство останется верным!
7 = 7 - равенство верно.
Добавим к обеим частям 33:
7 + 33 = 7 + 33 - равенство верно.
3 + 4 = 10 -3 - равенство верно.
Добавим к обеим частям 15:
3 + 4 + 15 = 10 - 3 + 15 - равенство верно.
Следующие свойства равенства можно получить аналогичными рассуждениями на примере весов (проведите их самостоятельно):
2. Если от обеих частей верного равенства отнять одинаковое число или выражение, то равенство останется верным
3. Если обе части равенства умножить на одно и тоже число или выражение, то равенство останется верным.
4. Если обе части равенства разделить на одно и тоже число или выражение не равное нулю, то равенство останется верным.
Итак, метод “весов” помог нам найти эти важные свойства равенства. Давайте применим их для решения уравнений. Возьмем для примера следующее уравнение:
Для начала вспомним, что решить уравнение - это значит найти все его корни, то есть все значения x, при которых уравнение превращается в верное равенство или доказать, что таких корней нет. Процесс решение уравнения - это последовательность преобразований исходного уравнения, в результате которой получается уравнение вида x = значение. Т.е. решение нашего уравнения должно выглядеть так:
Полученное значение x и будет корнем уравнения. Еще раз, наша цель: путем преобразований исходного уравнения получить уравнение: x = число.
Заметим, что чтобы достичь нашей цели необходимо чтобы в правой части уравнения не осталось членов с неизвестным, а в левой свободных членов (чисел без x). Действительно, в выражении x = число, слева от знака равно нет свободных членов, а справа нет членов с неизвестным.
Для начала давайте избавимся от слагаемых с неизвестным в правой части уравнения. Для этого воспользуемся свойством, которое мы получили из метода весов, а именно: если отнять одно и тоже значение от обеих частей равенства, то равенство останется верным. В правой части уравнения присутствует член 3x, отнимем его от обеих частей уравнения:
5x + 7 - 3x = 3x + 17 - 3x
Приведем подобные члены:
Теперь избавимся от свободного члена в левой части уравнения путем вычитания из обеих частей числа 7:
2x + 7 - 7 = 17 - 7
Приведем подобные слагаемые:
Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 2:
Корень нашего уравнения 5. Убедимся в этом подставив его в исходное уравнение:
Реальная ситуация Математическая модель 1. Цена груш дешевле цены яблок на 3 рубля 1. 4х – 6у = 15 2. Цена груш и цена яблок одинакова 2. у – х = 3 3. Цена груш дороже цены яблок в 2 раза 3. 3х = 5у 4. 3 кг груш стоят столько же, сколько 5 кг яблок 4. х = у 5. 4 кг груш стоят на 15 рублей дороже 6 кг яблок 5. х = 2у Пусть х руб-цена 1 груш, у руб-цена 1 яблок
Упростите выражение: а) 46а + 54а – а – 2а б) 23 m – 14m + 48 в) 56 b + 14 b – 70 b г) 37х - 17х + 34х – 54х + 100 д) 3 y + 10 + 14 y-8
Составьте математическую модель и решите задачу.
Катя купила 3 ручки и альбом за 33 руб, а Вася 8 таких же ручек и блокнот за 8 руб. За покупки они заплатили одинаковую цену. Сколько стоила одна ручка?
3 х + 3 3 = 8 х +8 -3 х 3 х + 3 3 -3 х = 8 х +8 -3 х
3 х + 3 3 -3 х = 8 х +8 - 3 х 3 3 = 8 х +8 - 3 х 33= 5 х +8
5 х +8 =33 5 х = 33-8 5 х =25 x =25:5 x =5
Вычесть из обеих частей уравнения одно и то же выражение с переменной; Упростить, получившееся уравнение; Решить уравнение, используя правила нахождения неизвестного компонента.
Обе части уравнения можно поменять местами, увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Решить уравнение: 5 x + 6 = 7 x – 10 . 5 x + 6 – 5 x = 7 x – 10 – 5 x ; Из обеих частей вычли 5 x . 6 = 2 x – 10; Упростили правую и левую часть уравнения, используя свойства чисел. 2 x – 10 = 6; Поменяли местами части уравнения 2 x = 6 + 10; Находим неизвестное уменьшаемое: к разности прибавляем вычитаемое. 2 x = 16; x = 16 : 2; x = 8. Находим неизвестный множитель: произведение делим на известный множитель. Ответ: 8
6 x + 9 = 2 x + 33; 6 x +9 – 2 х =2 x +33– 2 х ; 4 х + 9 = 33; 4 х = 33 – 9; 4 х = 24; х = 24 : 4; х = 6. Ответ: 6 2 x + 11 = 4 x – 9 ; 2 x +11– 2 х = 4 x –9 – 2 х ; 11 = 2 х – 9; 2 х – 9 =11 2 х = 11 + 9; х = 20; х = 20 : 2; х = 10. Ответ: 10
3( х +8)=5 х -16 3 х +24=5 х -16 3 х +24- 3 х =5 х -16- 3 х 24=2 х -16 2 х -16=24 2 х =16+24 2 х =40 х =40:2 х =20 Ответ : 20
Всё ли вам было понятно на уроке? Довольны ли вы своими знаниями? Что вам понравилось на уроке? Что не понравилось на уроке?
Спасибо за урок!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект урока. Тема: "Решение уравнений высших степеней" 8 класс
Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал.
Конспект урока "Решение иррациональных уравнений методом замены переменных"
Конспект урока по математике. "Уравнение". 5 класс.
Урок по теме "Уравнение" - урок обощения и систематизации знаний.
Конспект урока "Решение логарифмических уравнений и неравенств"
Урок обобщающего повторения в 11 классе.
План - конспект урока "Решение квадратных уравнений"
Предаставлен план-конспект урока объясгнения нового материала с использованием ЭОР и ИКТ и презентация .
Конспект урока "Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения."
Конспект урока "Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.".
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Описание презентации по отдельным слайдам:
Нахождение неизвестных компонентов равенства 1. Сложение Х + 23 = 36 24 + у = 47 х;у-неизвестные слагаемые 2. Вычитание а – 17 = 59 37 – в = 21 а-неизвестное уменьшаемое в – неизвестное вычитаемое 3. Умножение z ⸳ 7 = 21 14 ⸱ r = 56 z;r – неизвестные множители 4.Деление s : 3 = 15 60 : t = 15 s – неизвестное делимое t – неизвестный делитель
Составить равенство по картинке
Рассуждения: 50+x = 210 -50 -50 _________ х = 160 ------------------ 50 +160 =210 210 = 50+х -50 -50 _________ 160 = х ------------------ 50 +160 =210
Рассуждения: 5x - 3 = 17 +3 +3 __________ 5х = 20 :5 :5 х = 4 ------------------- 5⸱4 - 3 = 17 Обе части равенства содержат число 3 Обе части равенства содержат множитель 5 Проверяем
Правило весов 1. Обе части равенства можно поменять местами 2.Обе части равенства можно увеличить или уменьшить на одно и тоже число, отличное от нуля 3. Обе части равенства можно умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля
Определения -Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти -Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения -Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня
Решите устно уравнения 7⸱у=21 23– x =12 38+x=78 x :6=4 10-5x =5 6x – 14 = 4 7x:8=7 49+x = 0
Решить уравнения методом весов 6х +9= 2х + 33 2х + 11= 4х - 9
Найти ошибку в решении 1) (32-х)+12=17 2)(4х+8):5=16 32-х=17+12 4х+8=16⸱5 32-х=29 4х+8=80 х=32-29 4х=80+8 х=4 4х=88 х=88:4 х=22
Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 Реши уравнения: а + 17 = 98 247 – х = 199 (139 + у) – 27 = 459 Реши уравнения: 67 +m= 95 n– 431 = 528 425 – (k+ 13) = 392 В летний лагерь прибыли 147 детей. После того, как несколько человек ушли дежурить в столовую, на площадке осталось 118 детей. Сколько человек ушли дежурить в столовую? В трамвае ехали 112 пассажиров. На остановке несколько человек вышли, после чего в трамвае осталось 63 пассажира. Сколько человек вышли из трамвая на остановке?
Ответы к самостоятельной работе 1 вариант 2 вариант 1) а=81 1) m=28 2) х= 48 2) n=959 3) у=347 3) k=20 4) 29 ЧЕЛОВЕК 4) 49 ЧЕЛОВЕК
Смайлик с каким словом вы выберете после окончания урока ?
Спасибо за урок !
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam
- Курс добавлен 31.01.2022
- Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 611 971 материал в базе
Материал подходит для УМК
8.5. Что такое уравнение
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
- 18.06.2020 2088
- PPTX 2.4 мбайт
- 44 скачивания
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Воракуто Ирина Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям
Время чтения: 2 минуты
Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи
Время чтения: 1 минута
В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик
Время чтения: 2 минуты
В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет
Время чтения: 1 минута
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
3. Пусть х руб-цена 1 груш, у руб-цена 1 яблок
Реальная ситуация
Математическая
модель
1. Цена груш дешевле цены яблок на
3 рубля
2. Цена груш и цена яблок одинакова
1. 4х – 6у = 15
2.
у–х=3
3. Цена груш дороже цены яблок
в 2 раза
4. 3 кг груш стоят столько же, сколько
5 кг яблок
3.
3х = 5у
4.
х=у
5. 4 кг груш стоят на 15 рублей
дороже 6 кг яблок
5.
х = 2у
4. Упростите выражение:
а)
б)
в)
г)
д)
46а + 54а – а – 2а
23m – 14m + 48
56b + 14b – 70b
37х - 17х + 34х – 54х + 100
3y +10 + 14y-8
5. Найти неизвестное число
Катя купила 3 ручки и
альбом за 33 руб, а Вася 8
таких же ручек и блокнот
за 8 руб. За покупки они
заплатили одинаковую
цену. Сколько стоила одна
ручка?
1) Вычесть из обеих частей
уравнения одно и то же
выражение с переменной;
2) Упростить, получившееся
уравнение;
3) Решить уравнение, используя
правила нахождения
неизвестного компонента.
Обе
части
уравнения
можно поменять местами,
увеличить,
уменьшить,
умножить или разделить
на одно и то же число,
отличное от нуля.
18. ФИЗМИНУТКА
Решить уравнение:
5x + 6 = 7x – 10.
5x + 6 – 5x = 7x – 10 – 5x; Из обеих частей вычли 5x.
6 = 2x – 10;
Упростили правую и левую часть
уравнения, используя свойства чисел.
2x – 10 = 6;
Поменяли местами части уравнения
2x = 6 + 10;
Находим неизвестное уменьшаемое: к
разности прибавляем вычитаемое.
2x = 16;
x = 16 : 2;
x = 8.
Находим неизвестный множитель:
произведение делим на известный
множитель.
Ответ: 8
6x + 9 = 2x + 33;
6x +9 –2х =2x +33–2х;
4х + 9 = 33;
4х = 33 – 9;
4х = 24;
х = 24 : 4;
х = 6.
Ответ: 6
2x + 11= 4x – 9;
2x +11– 2х = 4x–9 –2х;
11 =2х – 9;
2х – 9 =11
2х = 11 + 9;
х = 20;
х = 20 : 2;
х = 10.
Ответ: 10
23. 3(х+8)=5х-16
1.
Всё ли вам было понятно на уроке?
2. Довольны ли вы своими знаниями?
3. Что вам понравилось на уроке?
4. Что не понравилось на уроке?
Читайте также: