Метод узловых потенциалов кратко

Обновлено: 02.07.2024

Наряду с решением электрических схем по законам Кирхгофа и методом контурных токов используется метод узловых потенциалов [1]. Его применение рационально в случае, если количество узлов больше количества независимых контуров в схеме.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Метод узловых потенциалов (МУП) заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа и закона Ома определяются напряжения в узлах электрической цепи (потенциалы узлов φ) относительно некоторого базисного узла, а затем по закону Ома находятся токи в отдельных ветвях. Количество уравнений для решения электрической цепи по МУП равно $ N_>- 1- N_ $, где $ N_> $ – число узлов, $ N_ $ – число особых ветвей. Особой ветвью называется такая ветвь, в которой имеется только источник напряжения и отсутствует сопротивление.

Вывод метода

Вывод метода узловых потенциалов рассмотрим на примере схемы, указанной на рис. 1. Обозначенное комплексное сопротивление $ \underline $ представляет собой эквивалентное сопротивление соответствующей ветви. Проводимостью ветви называется обратная этому значению величина, т.е. $ \underline = \frac<\underline> $.

Рис. 1. Обобщённый пример электрической цепи

Обозначим на схеме токи, задав им произвольное направление, и пронумеруем узлы на схеме. В качестве базисного узла, относительно которого будем производить расчёты потенциалов, выберем узел 4 ($ \underline_ = 0 $).

Рассмотрим на примере 1-го узла вывод формулы расчёта узлового потенциала, для этого запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

По закону Ома выразим неизвестные токи в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле, через потенциалы узлов по концам этих ветвей:

Подставим выраженные токи в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, заменив сопротивления проводимостями, и сгруппируем уравнение относительно неизвестных потенциалов:

$$ -((\underline_-\underline_)+\underline_) \cdot \underline_- ((\underline_-\underline_)+\underline_) \cdot \underline_- (\underline_ + \underline_) \cdot \underline_- \underline_ = 0, $$

$$ -\underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ = 0, $$

$$ \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_ + \underline_)- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ =-\underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_. $$

Расписав уравнения для остальных узлов, получим систему уравнений, решив которую можно получить значения неизвестных потенциалов:

$$ \begin \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_ + \underline_)- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ =-\underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \\ \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_ + \underline_)- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ = \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \\ \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_ + \underline_)- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ = \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ \end $$

Нахождение токов осуществляется по закону Ома через вычисленные потенциалы узлов:

Вывод частного случая метода узловых потенциалов

Рассмотрим вывод уравнений для расчёта цепей с двумя и более особыми ветвями, не имеющими общих узлов. Вывод уравнений произведём на примере схемы рис. 2. Как и в предыдущем случае, произвольно обозначим на схеме токи и пронумеруем узлы. Для уменьшения числа уравнений в качестве базисного узла примем узел 4, к которому примыкает особая ветвь с $ \underline_ $. Таким образом потенциал $ \underline_ = 0 \space \textrm $, а потенциал $ \underline_ = \underline_ $.

Рис. 2. Электрическая цепь с двумя особыми ветвями без общего узла.

Потенциалы по концам особой ветви с источником $ \underline_ $ невозможно вычислить по уравнениям, выведенным в предыдущем пункте, поскольку проводимость этой ветви будет бесконечно большой. В то же время потенциалы узлов этой ветви будут отличаться на величину ЭДС. Поэтому достаточно определить потенциал с одной стороны. Для этого составим уравнение по первому закону Кирхгофа, к примеру, для узла 6:

$$ \underline_ + \underline_- \underline_ = 0. $$

Токи $ \underline_ $ и $ \underline_ $ можно выразить по закону Ома через потенциалы по концам ветвей, в которых они протекают, но ток $ \underline_ $ остаётся неизвестным. Выразим его через первый закон Кирхгофа для узла 3, расположенного на противоположном конце особой ветви, и подставим в предыдущее уравнение:

$$ \underline_ =- \underline_- \underline_- \underline_, $$

$$ \underline_ + \underline_ + \underline_ + \underline_ + \underline_ = 0. $$

По закону Ома выразим токи в ветвях через потенциалы узлов:

$$ -\underline_ \cdot (\underline_ + \underline_) + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_) + \underline_ \cdot \underline_ = \\=-\underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_, $$

$$ \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_)- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_) = \\ = \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_. $$

Выразим потенциал узла 3 через $ \underline_ $ и $ \underline_ $ и подставим в предыдущее уравнение:

$$ \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_)- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ + (\underline_ + \underline_) \cdot (\underline_ + \underline_) = \\ = \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_, $$

$$ \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_ + \underline_ + \underline_)- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot \underline_ = \\ = \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_ + \underline_ \cdot \underline_- \underline_ \cdot (\underline_ + \underline_) + \underline_. $$

Уравнения для расчёта остальных неизвестных потенциалов (в узлах 2 и 5) и токов записываются аналогично предыдущему пункту, а токи в особых ветвях находятся по первому закону Кирхгофа.

Методика расчёта электрических цепей по методу узловых потенциалов приведена здесь.

Список использованной литературы

Рекомендуемые записи

При исследовании электрических цепей и моделировании часто пользуются векторными диаграммами токов и напряжений. Под векторной…

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие…

Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п – 1

Таким образом, алгоритм расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующий:

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел (j_n) и пронумеровать все остальные (n-1)-e узлы.

3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.

4. Записать систему уравнений в виде:

или в развернутом виде:

В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.

5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных k = n – 1 потенциалов при помощи метода Крамера.

6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.

7. Проверить баланс мощности.

Порядок расчета не зависит от вида источников, действующих в цепи. Однако расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеализированные источники ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для успешного решения подобных задач необходимо правильно обозначить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС. Если таких ветвей q, то количество уравнений в системе сократится до k = n – 1 – q.

Пример. Если в данной схеме (рис. 2.6) в качестве опорного узла выбрать узел 1 (j₁ = 0), то потенциалы второго и третьего узлов можно считать известными и равными соответственно j₂ = E₁ и j₃ = E₁–E₂. Тогда неизвестным остается только потенциал четвертого узла, для которого составим уравнение по методу узловых потенциалов:

Следует отметить, что уравнения для 2-го и 3-го узлов составить не представляется возможным из-за появляющихся неопределенностей вида , т.к. сопротивление ветви, содержащей идеализированный источник ЭДС, равно нулю, а проводимость соответственно .

Подставим известные значения:

Из полученного уравнения найдем неизвестный , а далее и все токи.

Для разветвленной цепи, имеющей только два узла и произвольное количество ветвей, метод узловых потенциалов вырождается в метод двух узлов. Решение сводится к отысканию значения потенциала одного из узлов, т.к. потенциал другого узла может быть принят равным нулю.

Система уравнений превращается в одно уравнение:

(2.15)

при условии, что

После определения U₁₂ токи ветвей и напряжения источников тока находят при помощи обобщенного закона Ома.

Пусть (рис. 2.7), тогда

По обобщенному закону Ома

Пусть (рис. 2.7), тогда

При расчётах сложных цепей постоянного тока можно применять следующие методы :

1. Если можно, то представляют электрические цепи в виде последовательных и параллельных соединений сопротивлений. Как находится общее сопротивление при таких соединениях нам известно, тогда сложная задача превращается в простую.

2. Пользуются законом Ома для неоднородного участка цепи (содержащего источник тока). Применение этого метода рассмотрим в следующей статье. ( Неоднородным называется участок цепи, включающий в себя источник тока. Здесь надо учитывать , что ток, протекающий по участку, определяется не только разностью потенциалов между концами участка, но и ЭДС источника.)

3. Применяют метод узловых потенциалов.(Этот метод заключается в том, что потенциал одного узла в цепи приравнивают к нулю, а потенциалы других узлов сравнивают с ним. Учитывая, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, находят токи, а затем потенциалы узлов).

4. Применяют правила Кирхгофа .(Первое правило: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Второе правило: Алгебраическая сумма произведений тока на сопротивление участка контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре).

Решите следующую задачу, применив метод узловых потенциалов.

Задача . Найти все токи в электрической цепи, изображённой на рисунке, если все сопротивления одинаковы и равны 1 Ом. ЭДС источника 14 В. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Ответ: 8 А; 2 А; 6 А: 4 А.

Предыдущая запись: Закон Ома для неоднородного участка цепи. Его применение к расчёту сложных электрических цепей.

Следующая запись: Применение метода узловых потенциалов к расчёту электрических цепей постоянного тока.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Метод узловых потенциалов – один из методов анализа электрической цепи, который целесообразно использовать, когда количество узлов в цепи меньше или равно числу независимых контуров. Данный метод основан на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа. При этом, потенциал одного из узлов цепи принимается равным нулю, что позволяет сократить число уравнений до n-1.

1 – Для начала примем узел 4 за базовый и будем считать его потенциал равным нулю.

2 - Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узла 1,2,3 (для узла 4 не составляем, так как это не требуется)

3 – Используя обобщённый закон Ома составим уравнения для нахождения каждого из токов (за ϕi берем потенциал узла из которого ток выходит, а за ϕ потенциал узла в который ток входит) Gi – проводимость i-ой ветви.

4 – Подставим полученные выражения для токов в уравнения из пункта 2, получим

Данная система уравнений записана для цепи состоящей из 4 узлов, а для n узлов справедливо

Проводимости G₁₁,G₂₂ и т.д. – сумма проводимостей сходящихся в узле (собственные проводимости), всегда берутся со знаком плюс. Проводимости G₁₂,G₂₁ и т.д. проводимости ветвей соединяющих узлы (общие проводимости), всегда берутся со знаком минус.

Если источник тока или ЭДС направлен к узлу, то берем со знаком плюс, в противном случае со знаком минус.

5 – Решив систему уравнений из пункта 4 любым доступным способом, найдем неизвестные потенциалы в узлах, а затем определим с помощью них токи.

Читайте также: