Метод неопределенных коэффициентов кратко

Обновлено: 05.07.2024

Итак, в качестве примера возьмем правильную дробь (степень многочлена числителя меньше, чем степень многочлена знаменателя), которую постараемся разложить на простейшие.

В первую очередь необходимо разложить знаменатель. Такое разложение всегда возможно, при чем известно, что оно будет единственным и представлять собой комбинацию двучленов и одночленов. В нашем случае применяем схему Горнера, которую я описал в прошлой статье :

Схему Горнера применяем, пока не получится остаток, отличный от нуля. Два нулевых остатка - кратность корня х=-1 равна 2. что выражается в возведении в квадрат одночлена (x-1) в итоговом разложении. Оставшийся двучлен неприводимый над R - вещественных корней не имеет (посчитайте дискриминант).

Ну что ж, применяем метод неопределенных коэффициентов, а затем приводим все дроби в одну монструозную:

Обратите внимание, что для двучлена имеющего вещественные корни (х-1)^2 в числителе ставим коэффициенты А и B. Для неприводимого над полем R двучлена в третьем слагаемом в числителе ставим линейную функцию Cx+D. Других вариантов нет, просто запомните.

Теперь наша задача приравнять коэффициенты при степенях у числителей исходной и полученной дроби. Чтобы не ошибиться. я всегда делаю разные линии подчеркивания: прямые, волнистые и т.д. В итоге получим вот такую систему линейных уравнений:

Получив коэффициенты, конечно же необходимо подставить и проверить решение системы. В нашем случае всё сходится великолепно, поэтому с чистой душой можно писать ответ:

Теперь осталось перевести дух и проинтегрировать всё это безобразие. Но на сегодня хватит. Спасибо за внимание!

Метод неопределенных коэффициентов применяют при интегрировании рациональных дробей.

Рациональной дробью называется дробь вида \left( x \right)>\left( x \right)>" width="41" height="30" />
, где \left( x \right)" width="53" height="18" />
и \left( x \right)" width="52" height="18" />
являются многочленами степени и соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя \left( x \right)" width="53" height="18" />
ниже степени знаменателя \left( x \right)" width="52" height="18" />
, то есть если ; в противном случае дробь называют неправильной (если ).

$\frac<P_<m> Любая правильная рациональная дробь \left( x \right)>\left( x \right)>$
может быть единственным образом представлена в виде суммы простых рациональных дробей.

Простыми (наипростейшими) рациональными дробями называются дроби вида:

$1) \frac<x-a> ; \qquad 2) \frac<<<\left( x-a \right)>^>>,\ m\ge 1\in Z; \qquad 3) \frac+px+q>$

причем квадратный трехчлен +px+q" width="94" height="20" />
не имеет действительных корней (то есть );

Если заданная рациональная дробь неправильная, то вначале нужно выделить целую часть, а для этого поделить числитель на знаменатель в столбик.

Задание	Выполнить деление многочлена $f\left( x \right)=x^<5>-6x^+2x^-4$ на многочлен $g\left( x \right)=x^-x+1 .$
Решение	Поделим многочлен на многочлен уголком:

$\frac<x^<5> -6x^+2x^-4><x^-x+1>=x^+x^-6x-5+\frac<x^-x+1>$

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

$\frac<P_<m> Чтобы разложить правильную рациональную дробь \left( x \right)>\left( x \right)>$
на простые дроби, необходимы следующие действия.

$\frac<A_<1> >+\frac><<<\left( x-a \right)>^>>+. +\frac><<<\left( x-a \right)>^>>$

$<<\left( x^<2> А каждому сомножителю +px+q \right)>^>$
отвечает выражение вида

$\frac<B_ x+C_>+px+q>+\fracx+C_><<<\left( x^+px+q \right)>^>>+. +\fracx+C_><<<\left( x^+px+q \right)>^>>$

$\frac<P_<m> Если рациональная дробь \left( x \right)>\left( x \right)>$
является неправильной ( ), то, прежде всего, необходимо выделить целую часть, поделив числитель на знаменатель в столбик. И далее придерживаться алгоритма.

$\frac<x+1> +5x^+6x^>$

$x^<4> +5x^+6x^=x^\left( x^+5x+6 \right)=x^\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$

Тогда искомое разложение принимает вид:

$\frac +5x^+6x^>=\frac<x^\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)>=\frac>+\frac<A_><x^>+\frac<A_>+\frac>$

В правой части приводим к общему знаменателю:

$\frac<x+1> \left( x+2 \right)\left( x+3 \right)>=$

$=\frac<A_<1> x\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)+A_\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)+A_x^\left( x+3 \right)+A_x^\left( x+2 \right)><x^\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)>$

Две дроби равны, если равны их числители и знаменатели соответственно, то есть получаем

$x+1=A_<1> \left( x^+5x^+6x \right)+A_\left( x^+5x+6 \right)+A_\left( x^+3x^ \right)+A_\left( x^+2x^ \right)$

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующей степени переменной:

$\left. \begin & x^ \\ & x^ \\ & x^ \\ & x^ \\ \end \right|\begin A_+A_+A_=0, \\ 5A_+A_+3A_+2A_=0, \\ 6A_+5A_=1, \\ 6A_=1. \\ \end$

Решая полученную систему

$\left\< \begin A_+A_+A_=0, \\ 5A_+A_+3A_+2A_=0, \\ 6A_+5A_=1, \\ 6A_=1 \\ \end \right$

относительно неизвестных коэффициентов ,\ A_,\ A_" width="95" height="16" />
и " width="21" height="15" />
, будем иметь:

$\left\< \begin A_=\frac, \\ A_=\frac, \\ A_=-\frac, \\ A_=\frac. \\ \end \right.$

Итак, искомое представление в виде суммы простейших дробей

$\frac<x+1> +5x^+6x^>=\frac\cdot \frac+\frac\cdot \frac<x^>-\frac\cdot \frac+\frac\cdot \frac$

Примеры решения интегралов данным методом

$\int \frac<x^<2> +1> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>dx$

$f\left(x\right)=\frac<x^<2> +1> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>=1+\frac <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>$

$\frac<x+3> Дробь <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>$
представим в виде суммы простейших дробей:

$\frac<x+3> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>=\frac +\frac$

Неизвестные коэффициенты и найдем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Вначале дроби, стоящие в правой части последнего равенства приведем к общему знаменателю:

$\frac<x+3> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>=\frac<A\left(x+1\right)+B\left(x-2\right)> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>$

Далее воспользуемся тем фактом, что две дроби равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. В итоге получаем равенство двух многочленов:

$x+3=A\left(x+1\right)+B\left(x-2\right)$

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях:

$\left. \begin > \\ > \end\right|\begin \\ \end\Rightarrow \left\<\begin ,> \\ .> \end\right.$

$\frac<x+3> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>=\frac \frac -\frac \frac$

$f\left(x\right)=\frac<x^ +1> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>=1+\frac \frac -\frac \frac$

Тогда заданный интеграл принимает вид:

$\int \frac<x^ +1> <\left(x-2\right)\left(x+1\right)>dx=\int \left(1+\frac \frac -\frac \frac \right)dx =\int dx +\frac \int \frac -\frac \int \frac =$

$=x+\frac<5> \ln \left|x-2\right|-\frac \ln \left|x+1\right|+C$

Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.

Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а₀+ а₁х + а₂х 2 +. + а _nx n , заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а₀, а₁, а₂, . а_n равны нулю.

Теорема №2 (следствие теоремы № 1).

Пусть и f(x) = а₀+а₁х +. + а _nx n , и g (x)= b ₀+ b ₁х + b ₂х 2 +. + b_nx n .
Для того чтобы f(x)= g(x)необходимо и достаточно, что бы а₀= b₀, а₁ = b₁, а₂ = b ₂ , . а _n= b_n Рассмотрим примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов.

Деление многочлена на многочлен.

Пример 1. Выполнить деление многочлена х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 на многочлен х 2 – х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 = (х 2 – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 2 – х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:

Раскроем скобки в правой части равенства:

Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:

Ответ: Q(x) = x 3 + x 2 - 6x - 5, R(x) = x + 1.

Пример 2. Выполнить деление многочлена х 7 –1 на многочлен х 3 + х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 7 –1 = (х 3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 3 + х + 1).

Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q ₄x 4 + q ₃x 3 + q ₂x 2 + q ₁x + q₀,
R(x) = r ₂x 2 + r ₁x + r0.

Подставим Q(x) и R(x):

Раскроем скобки в правой части равенства:

Получаем систему уравнений:

Ответ: Q(x) = x 4 - x 2 - x + 1, R(x) = 2x 2 - 2.

Расположение многочлена по степеням.

Возьмем функцию Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням f(x) по степеням (х-х₀).

Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов а₀, а₁, . а_n. В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степеням x. Так как мы имеем тождество, то (по теореме № 2) коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе n+1 уравнений с n+1 неизвестными а₀, а₁, . а_n , которую нужно решить.

Пример 3. Расположим многочлен по степеням.

Решение. Полагаем:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:

Решая систему, находим:

Пример 4. Расположим f(x) = х 4 - 8х 3 + 24х 2 - 50х + 90 по степеням (х-2).

Решение: Полагаем х₄ - 8х 3 + 24х 2 - 50х + 90

Ответ: f(x) =

Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.

Пример 5. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида произведение (х - 1)(х + 3)(х + 5).

Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:

(х - 1)(х + 3)(х + 5) = х 3 + ах 2 + вх - 15, где а и в - неизвестные коэффициенты.

Для вычисления их положим х = 1 и х = - 3, тогда получим:

откуда а =7, в = 7.

Разложение многочлена на множители

Пример 6. Дан многочлен

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х 4 + 3х 3 - 15х 2 - 19х + 30 = (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Ответ: (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Пример 7. Дан многочлен .

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -7,-2,2,3. Следовательно х 4 + 4х 3 - 25х 2 - 16х + 84 = (х - 2)(х - 3)(х + 2)(х + 7)

Ответ: (х - 2)(х - 3)(х +2)(х + 7)

Упрощение выражений

Пример 8. Разность является целым числом. Найдем это число.

Решение: Так как,

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Решая данную систему уравнений, получим а = 5, b = -4.

Аналогично устанавливаем, что

Пример 9. Является ли разность целым числом.

Решение: Т.к.

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

из второго уравнения тогда первое уравнение принимает вид

b 2 = 12,5 - - не удовлетворяет условию задачи, или b 2 = 9, откуда b = -3 или b = 3 - не удовлетворяет числу Значит, а = 5.

Окончательно получаем: - иррациональное число.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Раскроем скобки, сгруппируем:

с = 4;
b - 4 = 1;
-а + 15 - 8 = 0;
b = 5;
а = 7

Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Раскроем скобки, сгруппируем

Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений

Пример 12. Решим уравнение х 4 + х 3 - 4х 2 - 9х - 3 = 0.

Решение: Предположим, что корни уравнения - целые числа, тогда их надо искать среди чисел

Если х = 1, то
если х = -1, то
если х = 3, то
если х = -3, то

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем разложить многочлен на множители в следующем виде:

, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:

Проверим вариант № 2, когда b = -1; d = 3:

а = -2, с =3

Пример 13. Решить уравнение: х 4 - 15х 2 + 12х + 5= 0.

Решение: Разложим многочлен f(х) = х 4 - 15х 2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: , где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:

Системе удовлетворяет вариант №2, т.е. а = 3, b = -1, c = -3, d = 5.

О решении одного класса кубических уравнений.

Пусть дано кубическое уравнение: а ₁ х 3 + b ₁х 2 +с ₁х +d₁ = 0, где а ≠ 0.
Приведём его к виду х 3 + ах 2 +bх + с = 0 (1), где а = , в = , с =
Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:
Раскроем скобки, сгруппируем: y 3 +3у 2 m + 3ym 2 + m 3 + ay 2 + 2aym +am 2 + by +bm + с = 0,
y 3 + y 2 (a +3m) +y(3m 2 +2am +b) + m 3 +am 2 +bm + с = 0.

Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:

Решения этой системы: m = -; a 2 = 3b. Таким образом, при произвольном с и при a 2 = 3b уравнение подстановкой х = у - можно привести к двучленному уравнению третьей степени.

Пример14. Решить уравнение: х 3 + 3х 2 +3х - 9 =0.

Решение: В данном уравнении а = 3, в =3, тогда условие a 2 = 3b выполняется, а m = - = -1. Выполним подстановку х = у -1.

Уравнение принимает вид: (у -1) 3 +3(у -1) 2 +3(у -1) – 9 = 0.
y 3 -3y 2 +3у -1 +3у 2 – 6у +3 +3у –3 – 9 = 0.
y 3 – 10 = 0, откуда у = , а х = - 1.

Пример15. Решить уравнение: х 3 + 6х 2 + 12х + 5 = 0.

Решение: а = 6, в =12, тогда условие a 2 = 3b (62 = 3×12) выполняется, а m = - = -2.

Выполним подстановку х = у - 2. Уравнение принимает вид: (у -2) 3 +6(у -2) 2 +12(у -2) + 5 = 0.

у 3 – 6у 2 + 12у – 8 + 6у 2 -24у + 24 + 12у – 24 + 5 = 0.
у 3 – 3 = 0, у = , а х = - 2.

Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.

Алгоритм интегрирования рациональных функций

Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.

Из урока "Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей" известно, что рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В том же уроке говорилось о том, как представить неправильную дробь в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

На этом уроке будем учиться интегрировать такие рациональные функции, которые представлены в виде правильных дробей. Для этого существует метод неопределённых коэффициентов, основанный на теореме, которая гласит, что всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простых дробей.

Приведённый ниже алгоритм интегирования рациональных функций будет пошагово проиллюстрирован в примерах.

Алгоритм интегрирования рациональных функций

Шаг 1. Определить вид многочлена в знаменателе дроби (он может иметь действительные, кратные действительные, комплексные и кратные комплексные корни) и в зависимости от вида разложить дробь на простые дроби, в числителях которых - неопределённые коэффициенты, число которых равно степени знаменателя.
Шаг 2. Определить значения неопределённых коэффициентов. Для этого потребуется решить систему уравнений, сводящуюся к системе линейных уравнений.
Шаг 3. Найти интеграл исходной рациональной функции (дроби) как сумму интегралов полученных простых дробей, к которым применяются табличные интегралы.

Переходим к первому шагу алгоритма

Шаг 1: разложение исходной дроби

Многочлен в знаменателе имеет действительные корни. То есть, в знаменателе имеет место цепочка сомножителей вида , в которой каждый из сомножителей находится в первой степени. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

Пример 1. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

От нас требуется разложить подынтегральное выражение - правильную дробь на простые дроби.

Решение. Дискриминант уравнения положительный, поэтому многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Получаем следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей:

Пример 2. Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции

Решение. Разложим знаменатель подынтегрального выражения на множители. Сначала можно вынести за скобки x. (На сайте есть урок о вынесении общего множителя за скобки.) Получаем следующую дробь:

Для разложения квадратного трёхчлена в скобках решаем квадратное уравнение:

Получаем разложение знаменателя на множители в подынтегральном выражении:

Дискриминант решённого выше квадратного уравнения положительный, то есть имеем дело со случаем, когда многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Разложение исходной дроби подынтегрального выражения будет следующим:

Как и в первом примере, числа, обозначенные большими буквами, пока неизвестны. Отсюда и название - метод неопределённых коэффициентов.

Многочлен в знаменателе имеет кратные действительные корни. Этот случай имеет место, когда в цепочке сомножителей в знаменателе присутствует выражение вида , то есть один из многочленов в степени 2 и больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

Пример 3. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Представляем разность квадратов в виде произведения суммы и разности .

Тогда подынтегральное выражение запишется в виде

все уравнения с многочленами которого имеют действительные корни. Это случай кратных действительных корней, так как последний сомножитель находится во второй степени. Получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Как видим, в этом случае нужно понижать степень кратного многочлена с исходной до первой и записывать простую дробь с каждой из этих степеней в знаменатель.

Пример 4. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Уравнения с многочленами в знаменателе имеют действительные корни, а сами многочлены присутствуют в степенях больше первой. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Многочлен в знаменателе имеет комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения , присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля. В этом случае при разложении дроби в простой дроби, соответствующей описанному выше сомножителю, в числителе нужно записывать линейное выражение с переменной x (это выражение - последнее в следующей записи):

Пример 5. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Уравнение в скобках имеет комплексные корни, а оба сомножителя присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Пример 6. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Представим знаменатель дроби в подынтегральном выражении в виде следующего произведения сомножителей:

Решение. Уравнение с последним сомножителем имеет комплексные корни, а все сомножители присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:

Многочлен в знаменателе имеет кратные комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения , присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля и этот сомножитель присутствует в степени 2 или больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:

То есть в сумме простых дробей число простых дробей с линейным выражением в числителе должно быть равно степени сомножителя, имеющего комплексные корни.

Пример 7. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Квадратный трёхчлен имеет комплексные корни и присутствует в знаменателе подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:

Пример 8. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .

Решение. Квадратный трёхчлен в знаменателе имеет комплексные корни и присутствует в подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:

Шаг 2: нахождение неопределённых коэффициентов

На первом шаге мы представили подынтегральные дроби в виде суммы дробей с неопределёнными коэффициентами. В начале этого шага потребуется привести полученную сумму дробей к общему знаменателю. После этого в их числителях будут произведения неопределённых коэффициентов на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях.

Полученное таким образом выражение приравнивается к числителю исходной дроби. Затем составляется система из уравнений, в которых степени икса одинаковы. Путём решения системы и находятся неопределённые коэффициенты. Для решения достаточно знать, как системы уравнений решаются методом подстановки и методом сложения.

Пример 1. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:

Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:

В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:

Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:

Решаем полученную систему:

Итак, , отсюда получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:

Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем:

Можно заметить, что если принять за значение икса единицу, то второе и третье слагаемые в правой части равенства обратятся в нули и нет необходимости их вычислять. Тогда получаем, что . Далее по уже отработанной схеме получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Шаг 3: нахождение интеграла исходной функции (дроби)

Полученные простые дроби и интегировать проще. К исходной сумме дробей применяется правило интеграла суммы (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличные интегралы. Чаще всего требуется применять табличные интегралы, приводящие к натуральному логарифму и арктангенсу.

Пример 1. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Интегрируем изначальную рациональную функцию как сумму дробей и используем табличный интеграл 10, приводящий к натуральному логарифму:

Последнее действие с натуральным логарифмом - приведение к единому выражению под логарифмом - может требоваться при выполнении работ, но требуется не всегда.

Пример 2. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Вновь применяем табличный интеграл, приводящий к натуральному логарифму:

Пример 3. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной простой дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:

Пример 4. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:

Пример 5. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Интегрируем и получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:

Пример 6. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Опять получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:

Пример 7. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Интегрируя, получаем натуральные логарифмы и дробь:

Приведение к единому логарифму попробуйте выполнить самостоятельно.

Пример 8. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Читайте также: