Метод координат в школьном курсе математики

Обновлено: 28.06.2024

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:

- дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;

- показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;

- способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от 2 точек – для прямой, от одной точки – для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат.

1.2 Анализ школьных учебников

Хорошо известно, что, как бы ни строился школьный курс геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства теорем и решения задач. Среди таких методов важное место занимают такие методы, как метод геометрических преобразований, метод координат, векторный метод. Сами эти методы тесно связаны между собой. В зависимости от концепции, раскрываемой авторами учебников геометрии для средней школы, тот или иной метод может занимать доминирующее значение. Так в учебнике [22] активную роль играет метод координат, который весьма плодотворен.

Тема: Методика формирования и использования координатного и векторного методов в школьном курсе математики.

Цели: Определить цели и учебные задачи введения и использования координатного и векторного методов в школьном курсе математики, систематизировать понятного аппарата по координатному и векторному методам, раскрыть специфику использования координатного и векторного методов в школьных курсах алгебры и геометрии, проанализировать школьные учебники по вопросам формирования и использования координатного и векторного методов.

Общие вопросы и задания:

1.Цели и учебные задачи координатного метода в школе.

Цели изучения координатного метода в школьном курсе геометрии:

дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;

показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;

способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

1. переводить геометрический язык на аналитический;

2. строить точку по заданным координатам;

3. находить координаты заданных точек;

4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

5. вычислять расстояние между прямой и плоскостью, прямыми и

6. вычислять угол между прямой и плоскостью, прямыми и плоскостями;

7. оптимально выбирать систему координат;

8. составлять уравнения заданных фигур (плоскости и прямые) и

9. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

10. выполнять преобразование алгебраических соотношений

2. Цели изучения векторного метода в средней школе:

 дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;

 показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого расширять их кругозор и формировать мировозрение;

 использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;

 формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Задачи:
1) перевод условия задачи на язык векторов, в том числе:

введение в рассмотрение векторов;

выбор базисных векторов;

разложение всех введенных векторов

составление системы векторных равенств (или одного равенства).

упрощение векторных равенств

замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решения

объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы (или одного уравнения).

3. Понятийный аппарат.

На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции.

Понятийный аппарат, которым должен овладеть ученик, чтобы научиться решать геометрические задачи векторным методом в основной школе:

 основные понятия: вектор, начало вектора, конец вектора, одинаково направленные векторы, противоположно направленные векторы, абсолютная величина вектора (модуль вектора), равные векторы, нулевой вектор, неколлинеарные векторы.

4. Компоненты векторного метода.

Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного метода:

перевод условия задачи на язык векторов, в том числе:

введение в рассмотрение векторов;

выбор базисных векторов;

разложение всех введенных векторов

составление системы векторных равенств (или одного равенства).

упрощение векторных равенств

замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решения

объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы (или одного уравнения).

5. Этапы формирования векторного метода у учащихся.

1. дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;

2. показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого расширять их кругозор и формировать мировозрение;

3. использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;

4. формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Координатный метод решения задачи.

Задача. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей. (Атанасян, Геометрия 10 -11 класс)

Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (Здесь y – высота трапеции).

2. Найдем координаты середин диагоналей, используя формулу (2), и учитывая, что середина делит отрезок в отношении l=1. Для точки О: . Для точки О₁: . По формуле (6) найдем расстояние между точками О и О₁:

Ответ: .

Замечание. Мы вводили в рассмотрение неизвестную нам высоту трапеции y. Но на этапе вычислений она сократилась.

Векторно-координатный метод решения задачи.

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ₁С).(Атанасян, Геометрия 10-11класс).

Решение: Составим уравнение плоскости (АВ₁С.):

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В₁(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=, c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Найдем координаты вектора

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

Вложение	Размер
Исследовательская работа	520.01 КБ

Предварительный просмотр:

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Это дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики вводятся и изучаются вектор и метод координат, потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие задачи, связанные с этими понятиями на уроках физики, математики, географии. Поэтому повышенное внимание к данной теме оправдано.

Чтобы освоить определённый набор приёмов векторного и координатного методов решения геометрических задач и уметь применять их при решении задач необходимо знать теорию, провести подробный анализ условия задачи и применить имеющиеся знания к решению той или иной задачи.

раскрыть содержание метода, рассказать основные формулы и теоремы,
показать применение метода при решении конкретных задач,
решить сложные стереометрические задачи с использованием координатно-векторного метода.

изучить основы аналитической геометрии.
исследовать и изучить типичные задачи, встречающиеся на итоговой аттестации.
анализ различных методов решения задачи: координатно-векторный метод, геометрический с применением теорем;
сравнение преимуществ и недостатков каждого метода.

Предмет исследования – применение координатно-векторного метода к решению стереометрических задач.

Методы и приёмы исследования:

поиск, анализ и синтез различных источников информации: книг, статей, Интернет-ресурсов;
самостоятельное решение задач и геометрическим, и координатно-векторным способами;
сравнение двух решений одной задачи и выявление более рационального.

1.1. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — осями координат. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью аппликат.

Начало координат обозначается буквой О, оси координат обозначаются соответственно символами Ох, Оу, Оz.

Пусть М — произвольная точка пространства, М х , Му и М г — её проекции на координатные оси (рис. 1).

Координатами точки М в заданной системе называются числа:

х = ОМ х , у = ОМ у , z = ОМ г ,

где ОМ Х есть величина отрезка оси абсцисс, ОМ у — величина отрезка оси ординат, ОМ z — величина отрезка оси аппликат. Число х называется абсциссой, у — ординатой, z — аппликатой точки М. Символ М (х; у; z) обозначает, что точка М имеет координаты х, у, z.

Три плоскости Оху, Охz и Оуz вместе разделяют пространство на восемь частей; их называют координатными октантами и нумеруют так, как показано на рис. 2.

1.2. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

Расстояние d между двумя точками M 1 (x 1 ; у 1 ; z 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) в пространстве определяется формулой

Координаты х, у, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками M 1 (х 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ), в отношении , определяются по формулам:

, ,

В частности, при λ = 1 имеем координаты середины данного отрезка:

, , .

1.3. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Если угол между векторами а , b обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой . (1)

Из формулы (1) следует, что ab > 0, если — острый угол, ab — тупой; ab = 0 в том и только в том случае, когда векторы a и b перпендикулярны (в частности, a = 0, если a = 0 или b = 0).

Если векторы а и b заданы своими координатами:

, и ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов:

Угол между векторами и

даётся формулой , или в координатах,

Применение метода координат удобно при решении геометрических задач. Процесс решения каждой задачи, решаемой с помощью метода координат, условно разбивают на три этапа:

В кубе ABCDA 1 B1C1D1 с ребром 1 точка О – центр грани ABCD. Найти угол между прямыми A 1 D и B 1 O.

1 способ. Координатно-векторный метод

Поместим наш куб в прямоугольную систему координат как показано на рисунке, таким образом, что вершина Е лежит в начале системы координат, тогда вершины A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B 1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Направляющие векторы прямых A 1 D и B 1 O: и ; искомый угол φ между ними находим по формуле:

cos ∠ φ = = = ,

2 способ. Геометрический

Проведем прямую В 1 С параллельно прямой A 1 D. Угол CB 1 O будет искомым.

В основании квадрат АВСD, из треугольника DВС по теореме Пифагора найдем DВ

DВ = = , тогда ВO = .

2) Из прямоугольного треугольника BB 1 O по теореме Пифагора:

B 1 O = .

3) Из прямоугольного треугольника CB 1 O найдём угол CB 1 O:

данный угол составляет 30°,так как напротив него лежит катет OC равный половине гипотенузы B 1 C.

На ребрах AD и ВВ 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у которого АВ:AD:АА 1 = 1:2:2, взяты соответственно точки E и F – середины этих ребер. Найдите угол, который образует прямая EF с прямой АС 1 .

1 способ. Координатно-векторный метод

Введем систему координат с началом в точке А, ось Ох направим по AD, ось Оу –по AB, ось Оz – по .

Определим координаты всех вершин параллелепипеда.

По условию АВ: АD: АА 1 = 1:2:2

АВ= а, АD=2а, АА 1 =2а.

А 1 (0;0;2а); С 1 (2а;а;2а); F(0;a;a).

(-а; а; а) (2а;а;2а).

EF и АС 1 скрещивающиеся,

cos

2 способ. Геометрический

Построим прямую ЕС 2 ║ АС 1 , таким образом, что С 2 лежит на продолжении прямой В 1 С 1 за точку С 1 . Так как АЕ = х, то и С 1 С 2 = х. Прямая ЕС 2 пересекает ДС 1 в точке М, которая является серединой ДС 1, так как ЕМ – средняя линия треугольника АDС 1 .

Угол FЕМ – искомый.

Из треугольника DСС 1 найдем по теореме Пифагора ДС 1 = = х , так как М середина ДС 1 , то ДС 1 = . Из прямоугольного треугольника ЕDМ: ЕМ = . Из треугольника АВF: АF= х . Из треугольника АЕF: ЕF = х .

$C:\Documents and Settings\Админ\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Фото125.jpg$

Точка F середина ВВ 1 , точка М середина ДС 1 , тогда FМ= В 1 N = = .

Из треугольника ЕFМ по теореме косинусов найду косинус угла ЕFМ: = .

Ответ: .

В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45 о . На ребре МС взята точка F – середина этого ребра. Найдите угол, который образует прямая AF с плоскостью МОС, точка О – середина ребра АВ.

1 способ. Координатно-векторный метод

Найдем (AF;(MOC))= .

Ведем систему координат Оxyz так, чтобы точка О совпала с началом координат, М OZ;

CO- медиана и высота АВС. Все боковые ребра равно наклонены к основанию, потом М проектируется в центр описанной около АВС окружности, то есть в середину гипотенузы О, АО=ОВ=ОС; С Ох; В Оу.

Пусть АС = СВ = а, тогда АВ= ; О(0;0;0) В(0; ;0) А(0; ;0) С( ;0;0).

ОМ= ОС, т.к ОМС равнобедренный прямоугольный. М(0;0; )

FK|| OM, FK OC; FK средняя линия CMO, FK= ;

, OF .

Угол АFО – искомый.

cos

cos АFO = = = .

2 способ. Геометрический

AF =F

CO-медиана и высота Δ ACB; CO ⊥ AB; O-медиана и высота Δ MAB; MO ⊥ AB AB ⊥ (MOC) (признак перпендикулярности прямой и плоскости).

AO ⊥ (MOC), O AB; AF-проекция наклонной AF на плоскость MOC.

Δ AFO прямоугольный, ∠ AFO=90 ° , AO ⊥ (MOC),FO (MOC) AO ⊥ FO.

Sin AFO= ; AO= AB= ; MO=OB=

MB =MO +OB = + . MB=a

MA=MB=MC=AC=a Δ AMC-равносторонний AF-медиана и высота Δ AMC

AF =AC -CF =a - = ; АF =

sin AFO = , cos АFO .

Ответ: .

В правильной треугольной призме, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и А 1 С.

1 способ. Координатно-векторный метод

Поместим призму в декартову систему координат, таким образом, что бы АС лежал на оси абсцисс, и точка С(0; 0; 0). Тогда координаты точки А(1; 0; 0), А 1 (1; 0; 1).

$C:\Documents and Settings\Админ\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Фото123.jpg$

Найдем координаты точки В. В треугольнике АСВ опустим из точки В перпендикуляр ВН на АС. ВН = = .

СА 1 , ВА < ; ; 0>. = = = .

2 способ. Геометрический

Построим СN параллельно АВ, таким образом, что СN = АВ, тогда АВСN – ромб. Угол А 1 СN – искомый.

$C:\Documents and Settings\Админ\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Фото123.jpg$

Из треугольника АА 1 С найдем А 1 С: А 1 С = = .

Δ NАА 1 = ΔС АА 1 по трем сторонам, значит NА 1 = СА 1 = .

По теореме косинусов из треугольника NА 1 С найдем искомый угол:

= = = . Ответ : .

В правильной четырехугольной пирамиде ВСD длины стороны основания и высоты соответственно равны 1 и 2. Найти расстояние между прямыми BD и SA.

1 способ. Координатно-векторный метод

Введем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в вершину А основания пирамиды и направив оси координат так, как показано на рисунке. Тогда вершины пирамиды будут иметь координаты А(0; 0; 0), В(1; 0; 0), D(0; 1; 0), S ( ; ; 2) и соответственно координаты векторов: , В, ВD. Общий перпендикуляр к прямым AS и BD обозначим EF.

EF= EА + АВ + ВF=k*SА + АВ + m* ВD. Коэффициенты k и m найдем из условий EF ⊥ ВD и EF ⊥ SА. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Тогда EF < > и = = .

2 способ. Геометрический

Прямые AS и BD скрещивающиеся. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Произведем соответствующие построения: АС перпендикулярна ВD, так как в основании квадрат. EF – наклонная к плоскости основания и перпендикуляр к AS, по теореме о трех перпендикулярах EF перпендикулярна ВD. Значит EF- искомое расстояние.

Треугольник А С равнобедренный, высота пирамиды, EF – перпендикуляр к AS и BD. Из прямоугольного треугольника АВС найдем АС по теореме Пифагора: АС = . Так как

F – середина АС, то EF = . Из прямоугольного треугольника ASF: AS= = , = = . Из треугольника АEF: EF = * АF = = .

Ответ: .

Данный элективный курс содержит программу курса и 2 презентации " Нахождение расстояний"," Нахождение углов". Будет полезна при подготоке к решению задачи 12 ЕГЭ профиля.

Содержимое разработки

Авторская программа элективного курса по математике

для учащихся 11 класса

учителя математики 1 квалификационной категории МОУ Вохомская средняя общеобразовательная школа Вохомского района Костромской области

Адеевой Галины Витальевны.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа элективного курса по теме ориентирована на коррекцию уровня подготовки, дополнение и углубление базового и предметного образования, компенсацию недостатков обучения по профильным предметам. Математика является обязательным предметом для сдачи ЕГЭ и о немалую часть материала единого государственного экзамена составляют задачи по геометрии. Результаты ЕГЭ показывают пробелы изучения геометрии в школе. Самыми трудными заданиями по математике являются геометрические задачи.

Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах ЕГЭ (как и в вариантах многих вступительных экзаменов в вузы), тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников.

В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину.

Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности. Существование формального алгоритма для таких построений совершенно не облегчает задачу, поскольку каждый случай достаточно уникален, а любая систематизация лишь усложняют процесс.

Именно поэтому задача C2 оценивается в два балла. Первый балл дается за правильные построения, а второй — за правильные вычисления и собственно ответ.

Преимущества традиционного решения:

Высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10-11 классах;

При правильном подходе значительно сокращается объем вычислений.

Необходимо знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии;

В методе координат главная нагрузка приходится на алгебраические выкладки, однако их целесообразность базируется на наглядном осмыслении задачи. Что же требуется , чтобы освоить метод координат? 1)знание определенных формул; 2) умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях; 3)умение составлять уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

- углубить теоретическое и практическое содержание курса стереометрии;

- развивать пространственные представления и логическое мышление;

- развивать умение применять знания на практике, приводить аргументированное решение, анализировать условие задачи и выбирать наиболее рациональный способ решения.

Задачи курса:

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения стереометрических задач;

- создать условия для выдвижения различных гипотез при поиске решения задачи и доказательства истинности или ложности этих гипотез;

- развивать интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создавать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционные и практические занятия, с использованием презентаций, групповые, индивидуальные формы работы.

Весь теретический и практический материал крса представлен в презентациях,которые прилагаются к данной рабочей программе.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- выполнять чертежи по тексту задачи; находить углы и расстояния в пространстве

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения задач;

- уметь анализировать задачу и выбирать наиболее рациональный способ ее решения.

Читайте также: