Математические методы исследования в школе
Обновлено: 05.07.2024
В работе рассматриваются исследовательские задачи из разных разделов математики, которые решаются в урочное время. Учащиеся проводят мини-исследования.
Предварительный просмотр:
Исследования на уроках математики
Технологии проведения исследовательских работ предполагают три вида работ:
Первый – элементы исследования на уроке.
Второй - интенсивная работа над исследовательскими задачами в аудиторное время. Это можно делать, например, в рамках летней школы или специальной проектной неделе в училище
Третий - индивидуальная работа в свободное время с консультациями учителя с выходом на научно- практическую конференцию.
Речь об исследовательских задачах на уроке.
Исследователем можно быть
и перед лицом огромной
и перед лицом школьной задачи,
миллионы раз решавшейся
считаю, что содержательная исследовательская работа по математике на уроке возможна и полезна .
ученик легче включается в решение сложных исследовательских задач, если имеет опыт решения простых.
Что такое исследовательские задачи
Выделим два подхода к обучению. При одном – назовем его традиционным – ученик изучает новую теорию, решает задачу, получает оценку и ждёт от учителя новой задачи. Предполагается, что у задачи есть единственный правильный ответ и учитель его знает. При другом подходе – назовём его исследовательским – ученик сам ставит вопросы и ищет на них ответы, выдвигает гипотезы, доказывает и опровергает их. Всякий полученный ответ может стать основанием для новых вопросов. Результат может быть не известен учителю заранее. Можно сказать, что ученик попадает в новый математический мир и учится жить в нём .
Три мнения об исследовательских задачах:
считаю, что всё это не так. Чтобы начинать решать такие задачи, не надо ждать старших классов, уже материал начальной школы позволяет вводить элементы исследования (см. [K5]). Полезно начинать с самого простого, с вещей, доступных несильным ученикам. Далее, хорошее обучение должно дать понятие о методах, характерных для изучаемой науки. При работе с исследовательскими задачами ученикам неизбежно приходится иметь дело с методами науки математики, поэтому исследовательские задачи могут стать органической частью обучения математике.
Хорошие задачи для исследования. Итак, ученик попадает в новый незнакомый мир. Он привык, что раньше учитель знакомил его с основными законами этого мира, а здесь он должен открыть их сам. Но оставлять его совсем без ориентиров нельзя. Поэтому хорошая задача для начинающих – та, в которой есть естественный параметр , по которому можно двигаться в исследовании, т.е. легко выделяемая последовательность частных случаев, так что в каждый момент ученик сам понимает, что можно делать дальше. И совсем хороша та задача, где и к идее доказательства можно прийти, последовательно двигаясь по этому параметру.
О новизне работ. Считаю, что никакой объективной новизны от работы школьника не требуется. Результат должен быть субъективно новым – школьник открывает то, чего не знал. Конечно, сильный школьник при хорошем руководителе и удачно поставленной задаче иногда может получить объективно новый результат, и это здорово. Но это нисколько не умаляет работу тех, кто не достиг таких успехов. Цель исследовательской работы не в том, чтобы получить чемпионский результат, а в том, чтобы делать математические открытия на уровне, доступном ученику . Более-менее содержательные субъективные открытия доступны почти всем.
Покажу на примерах, как можно решать несложную исследовательскую задачу на уроке и какие умения приобретут учащиеся
Приведу примеры исследовательских задач из разных разделов математики.
Квадраты на клетчатой бумаге
Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1.
Потом я сказала им, что интересно исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Работа имеет естественное продолжение:
Задача 1: Найдите площади многоугольников, изображённых на рисунке
Формула Пика . Формула Пика. На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?
Обобщение. Решить аналогичную задачу для многогранников в пространстве.
S= n + m/2 -1 N- узлы внутри решетки, m- узлы на границе
Простые числа и представимость в виде суммы двух квадратов.
Теорема : Все простые числа кроме 2, представимые в виде a²+b² , представимы в виде 4n+1 . И наоборот: все простые числа, представимые в виде 4n+1 , представимы в виде a²+b² .
Зная c , d и e , при условии что c 2 +4de = простое число, но не 2,
можно подобрать a и b такие, что c 2 +4de= a²+b² = простое число, но не 2 .
Если число можно представить в виде c 2 +4de , то его представление в этом виде можно представить геометрически. Начнём так делать:
Научные методы исследования в математике являются одновременно и методами учебной работы учащихся, так как в процессе обучения учащиеся открывают для себя математические истины.
Применение при обучении математики
методов научного исследования
Анализ и синтез как методы исследования и методы обучения.
Индукция и дедукция как виды умозаключения и формы обучения.
Анализ и синтез являются и методами исследования, и методами обучения. Они используются при решении задач, при доказательстве теорем, при формировании математических понятий.
Анализ – метод исследования (логический прием), состоящий в том, что изучаемый объект мысленно или практически расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из этих элементов рассматривается отдельно как часть расчлененного целого.
Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое.
В математике чаще всего под анализом понимают прием мышления, при котором мы от следствия переходим к причине, породившей это следствие.
Под синтезом понимаем прием мышления, при котором мы от причины переходим к следствию.
При решении задач анализ может высткпать в двух формах:
когда мы двигаемся от искомых данных к данным известным (идут от неизвестного),
анализ в форме расчленения, т.е. когда целое расчленяется на части.
Анализ в форме рассуждений от искомых к данным подразделяется нна следующие виды:
- восходящий анализ: исходным моментом решения задачи является её заключение, преобразование которого происходит путем отыскания достаточных признаков его справедливости.
- нисходящий анализ имеет две разновидности:
1) несовершенный анализ – при решении задачи несовершенным аннализом за исходное берется заключение задачи.
2) метод доказательства от противного:
а) предположим противоположное от того, что требуется доказать …
б) из предположенного следует, что …
с) получение противоречия с условием задачи
д) значит, наше предположение не верно и т. д.
-алгебраический метод – это такая форма анализа, при котором связи между искомыми и данными устанавливаются с помощью составления уравнения или системы уравнений (реже неравенств).
Анализ в форме расчленения:
Разбиваем условие задачи на отдельные части,
Выделяем отдельные условия, остальные пока не используем,
Из выделенных условий составляем более легкую вспомогательную задачу и решаем ее,
Обнаружив идею решения вспомогательной задачи, переходим к решению первоначально-поставленной задачи.
Анализ в форме расчленения чаще всего используется при решении задач на построение.
Синтез: суть синтетического решения состоит в том, что первые вспомогательные суждения являются логическим выводом из условия задачи. Далее вспомогательные суждения получаются как следствия из первых и т.д.
Этот метод чаще всего применяется при решении несложных задач. К явным недостаткам синтеза относятся:
отсутствие рассуждений на основании которых определяется план решения задачи ;
отсутствие аргументации почему поступаем так, а не иначе;
трудность выбора нужных исходных данных и тех следствий из них, которые ведут к цели.
Пример: Погорелов А. В. §4, п. 37
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Что надо знать, чтобы доказать, что ВО || АС?
Какие фигуры можно рассмотреть для доказательства равенства углов?
- ∆ ВМС и ∆ ВОС. ВС – общая сторона. Угол МВС= углу ВСО (как внутренние накрест лежащие углы при || прямых и секущей (ВМ || ОС)). Предположим , что угол А = углу С= α,тогда по свойству внешнего угла имеем угол А + угол С= угол КВС.
2α = угол КВС = 2*угол ОВС (т. к. ВО – биссектриса)
Α = угол ОВС следовательно ∆ ВМС =∆ ВОС
Т. к. треугольники равны, что можно сказать о соответствующих элементах?
- угол ВМС = углу ВОС
4. Т. к. угол ВМС = углу ВОС то, что можно сказать о ВО и АС?
II. Синтез
1.Что можно найти зная, что ВО – биссектриса угла КВС?
- угол ОВС = углу КВО = ½ КВС (по условию).
2. Что можно сказать еще о внешнем угле КВС?
- угол КВС = угол А + угол С (по условию), угол КВС = 2*угол С = 2*угол α.
3. Из 1 и 2 следует угол ОВС – углу КВО = ½*2 α = α.
4. Какой вывод можно сделать из того, что угол ОВС = углу АСВ – они накрест лежащие при ВС. Следовательно, ВО || АС.
Вывод. Признак параллельности прямых: если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов = 180 градусов, то прямые параллельны.
Индукция – умозаключение, при котором из двух или нескольких единичных суждений получают одно новое общее суждение (от частного к общему).
Дедукция – одна из форм умозаключений, при которой из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое менее общее суждение (от общего к частному).
Процесс получения новых знаний состоит в переходе от одних суждений к другим суждениям на основе умозаключений. При этом умозаключения могут быть как индуктивными, так и дедуктивными. Чаще всего умозаключение представляет собой силлогизм.
Единичное суждение – окружность пересекается с прямой не более, чем в двух точках.
Единичное суждение – элипс может пересекаться с прямой не более, чем в двух точках.
Частное суждение – окружность и элипс – виды конических сечений.
Общее суждение – все конические сечения могут пересекаться с прямой не более, чем в двух точках.
Общее суждение – в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Частное суждение –в треугольнике АВС, АВ = ВС.
Новое общее суждение – угол А = углу С
Индукция – метод исследования, при котором для изучения некоторого явления изучают отдельные объекты, устанавливают в них некоторые свойства, от которых зависит изучение всего объекта.
Пример: объект – арифметическая прогрессия:
аn = а1 + (n-1)d – доказывается методом математической индукции. Этот пример можно отнести и к индукции – как форме обучения (форма изложения материала).
Индукция начинается с наблюдения опыта сравнения.
Пример. Теорема о сумме углов треугольника.
Начертить треугольник, измерить углы, найти сумму углов, сравнить результаты, полученные учениками, выдвинуть гипотезу, сформулировать теорему.
Другой способ (он лучше, т. к. позволяет открыть и способ доказательства теоремы). Пусть у треугольника разноцветные углы. Отрежем эти углы. На прямой от точки отложим эти углы. Угол А + угол В + угол С = 180 градусов.
Индукция может быть полной и неполной. Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких частных или единичных суждений (эти умозаключения могут быть ложными).
Полная индукция – умозаключения, основанные на рассмотрении всех частных или единичных суждений. Выводы эти всегда истинны.
Пример: коммутативность сложения на множестве N.
2+3=5, 3+2=5 следовательно, 2+3=3+2
Это полная индукция. Выводы истинны
Пример: y(x) = x 2 + x +41, х принадлежит N – формула простого числа
у(1) = 1+1+41=43 – простое число
у (2) = 4+2+41=47 – простое число
Дедукция как метод исследования.
Для получения какого-нибудь нового знания о некотором объекте рассматривают ближайший к данному объекту класс объектов (родовое понятие); изучают свойства родового понятия и все эти свойства переносятся на изучаемый объект.
Пример: рассмотрим квадрат.
Исследуя свойства прямоугольника, ромба, переносим эти свойства на квадрат.
Дедукция – особая форма изложения материала: когда от общих правил и положений переходим к менее общим правилам и положениям.
Пример: учебник Погорелова А. В. 7-11 класс. Геометрия.
Вводится понятие преобразования подобия,
Читайте также: