Логические основы построения эвм основные логические операции и средства их реализации кратко

Обновлено: 05.07.2024

Булева алгебра переложила этот жизненный опыт на аппарат математики, формализовала его, ввела жесткие правила получения однозначного результата. Союзы стали называться здесь логическими операторами.

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем. Такими операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Часто конъюнкцию обозначают & , дизъюнкцию - || , а отрицание - чертой над переменной, обозначающей высказывание.

При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание – это унарная операция, т.к выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности , в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

Логические основы компьютера

В ЭВМ используются различные устройства, работу которых прекрасно описывает алгебра логики. К таким устройствам относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в используемой в ЭВМ системе счисления. Как известно она двоичная. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать как числа, так и значения логических переменных.

В ЭВМ применяются электрические схемы, состоящие из множества переключателей. Переключатель может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае – ток проходит, во втором – нет. Описывать работу таких схем очень удобно с помощью алгебры логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

Вентили, триггеры и сумматоры

Вентиль представляет собой логический элемент, который принимает одни двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализации. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Триггеры и сумматоры – это относительно сложные устройства, состоящие из более простых элементов – вентилей.

Триггер способен хранить один двоичный разряд, за счет того, что может находиться в двух устойчивых состояниях. В основном триггеры используется в регистрах процессора.

Сумматоры широко используются в арифметико-логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют суммирование двоичных разрядов.

В основе построения компьютеров, а точнее аппаратного обеспечения, лежат так называемые вентили . Они представляют собой достаточно простые элементы, которые можно комбинировать между собой, создавая тем самым различные схемы. Одни схемы подходят для осуществления арифметических операций , а на основе других строят различную память ЭВМ.

Вентель - это устройство, которое выдает результат булевой операции от введенных в него данных (сигналов).

Простейший вентиль представляет собой транзисторный инвертор, который преобразует низкое напряжение в высокое или наоборот (высокое в низкое). Это можно представить как преобразование логического нуля в логическую единицу или наоборот. Т.е. получаем вентиль НЕ .

Соединив пару транзисторов различным способом, получают вентили ИЛИ-НЕ и И-НЕ . Эти вентили принимают уже не один, а два и более входных сигнала. Выходной сигнал всегда один и зависит (выдает высокое или низкое напряжение) от входных сигналов. В случае вентиля ИЛИ-НЕ получить высокое напряжение (логическую единицу) можно только при условии низкого напряжении на всех входах. В случае вентиля И-НЕ все наоборот: логическая единица получается, если все входные сигналы будут нулевыми. Как видно, это обратно таким привычным логическим операциям как И и ИЛИ. Однако обычно используются вентили И-НЕ и ИЛИ-НЕ, т.к. их реализация проще: И-НЕ и ИЛИ-НЕ реализуются двумя транзисторами, тогда как логические И и ИЛИ тремя.

Выходной сигнал вентиля можно выражать как функцию от входных.

Транзистору требуется очень мало времени для переключения из одного состояния в другое (время переключения оценивается в наносекундах). И в этом одно из существенных преимуществ схем, построенных на их основе.

Для логических величин обычно используются три операции:

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики :

Математическая логика имеет непосредственную связь с теорией проектирования ЭВМ. С помощью логических функций и законов математической логики может быть описано поведение различных компонентов ЭВМ. Кроме того, современные языки программирования немыслимы без встроенных в них логических функций.

При записи тех или иных логических выражений используется специальный язык, который принят в математической логике. Ее основоположником является великий немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Ирландский математик Джордж Буль продолжил создание математической логики, которая оперирует не числами, а высказываниями. Высказывание - это любое утверждение, относительно которого можно сказать: истинно оно или ложно.

Так, например, предложение “7 - нечетное число” следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение “Июль - зимний месяц” тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения “ученик десятого класса” и “информатика - интересный предмет”. Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие “интересный предмет”. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа “в городе A более миллиона жителей”, “у него голубые глаза” не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Употребляемые в обычной речи связки: "не”, “и”, “или”, “если. , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Элементарные высказывания соответствуют алгебраическим переменным, составные – функциям.

Так, например, из элементарных высказываний “Иванов - сыщик”, “Иванов - скрипач” при помощи связки “и” можно получить составное высказывание “Иванов - сыщик и скрипач”, понимаемое как “Иванов - сыщик, хорошо играющий на скрипке”.

При помощи связки “или” из этих же высказываний можно получить составное высказывание “Иванов - сыщик или скрипач”, понимаемое в алгебре логики как “Иванов или сыщик, или скрипач, или и сыщик и скрипач одновременно”.

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

К основным логическим операциям относят операцию НЕ (отрицание, инверсия – NOT ), операцию И (логическое умножение, конъюнкция – AND ), операцию ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция – OR ).

В математической логике определяется специальная алгебра – алгебра логики, содержащая операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, которые позволят производить тождественные преобразования логических выражений.

Логические функции характеризуются (задаются) так называемыми таблицами истинности, или соответствия. Таблица истинности представляет собой таблицу, устанавливающую соответствие между возможными значениями наборов переменных и значениями функции. Сложные логические функции, как правило, выражаются через простые. Простые логические функции, зависящие от одной или двух логических переменных, называются элементарными. Ниже приведены таблицы истинности базовых логических операций.

Таблица - Основные логические операции

Таблица - Дополнительные логические операции

ЭВМ строятся из компонентов с двумя устойчивыми состояниями. Одно состояние обозначается нулем, другое – единицей. На такие компоненты воздействуют двоичные сигналы. Под воздействием сигналов компоненты изменяют свои состояния, т.е. состояние компонентов или значения их выходных сигналов зависят от значений воздействующих сигналов. Очевидно, что функционирование компонентов ЭВМ следует описывать логическими функциями. По этой причине алгебра логики находит непосредственное и широкое применение при разработке и использовании средств электронной вычислительной техники.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания функционирования аппаратных средств компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует два вывода:

1. Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных.

2. На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Обработка информации в ЭВМ происходит путем последовательного выполнения элементарных операций. К ним относятся: установка, сдвиг, прием, преобразование, сложение и некоторые другие. Для выполнения каждой из этих операций сконструированы электронные узлы – регистры, счетчики, сумматоры, преобразователи кодов и т.д. Из этих узлов строятся интегральные микросхемы очень высокого уровня: микропроцессоры, модули ОЗУ, контроллеры внешних устройств и т.д. Сами указанные узлы собираются из основных базовых логических элементов – как простейших, реализующих логические функции И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и им подобных, так и более сложных, таких как триггеры.

Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Введем условные обозначения основных логических элементов.

В качестве характерных устройств выберем два наиболее важных и интересных – триггер и сумматор. Триггер – это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Простейший вариант триггера собирается из четырех логических элементов И-НЕ (рисунок 13). Он имеет два входа R , S и два выхода – прямой и инверсный . Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает “хлопанье”. Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Самый распространённый тип триггера - так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set - установка, и reset -сброс).

Логическая схема триггера

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы И-НЕ.

4. Последняя комбинация R =1 и S =1 приводит к тому, что на обоих выходах триггера установиться 1! Такое состояние логически недопустимо и крайне неустойчиво, поскольку снятие входных напряжений приведет к тому, что триггер случайным образом перейдет в одно из своих устойчивых состояний. Такая ситуация на практике является запрещенной. Ниже приведена таблица истинности триггера.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта, соответственно, 8 * 2 10 = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

Многоразрядный двоичный сумматор , предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров. Начнем с изучения логической структуры простейшего возможного устройства, являющегося звеном сумматора – полусумматора, который реализует сложение двух одноразрядных двоичных чисел. В результате получается двухразрядное двоичное число. Его младшую цифру обозначим S , а старшую, которая при сложении многоразрядных чисел будет перенесена в старший разряд, через C_o (от английских слов “ Carry out ” – “выходной перенос”).

Обе цифры можно получить по следующим логическим формулам:

Составим для этих формул таблицу истинности.

Таблица истинности для полусумматора

Таким образом, для реализации полусумматора достаточно соединить параллельно входы двух логических элементов, как это показано на рисунке.

Логическая схема полусумматора

При построении схемы сумматор (рис.) удобно представить в виде двух полусумматоров, из которых первый суммирует разряды числа, а второй к полученному результату прибавляет бит переноса. Ниже приводится таблица истинности одноразрядного сумматора.

Таблица. Таблица истинности для одноразрядного сумматора

Сумматор, составленный из двух полусумматоров

Перейти к многоразрядным числам можно путем последовательного соединения соответствующего количества сумматоров.

Данная последовательность логических схем отражает важнейшую в современной цифровой электронике и вычислительной технике идею последовательной интеграции. Такая интеграция позволяет реализовать все наиболее функционально сложные узлы современного компьютера.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Электронные вычислительные машины

Электронные вычислительные машины (ЭВМ) представляют собой устройство, предназначенное для выполнения вычислительных операции по заданной программе.

Современная электронная вычислительная машина – это сложнейший комплекс устройств, восхищающий своим технологическим совершенством и разнообразием физических принципов работы.

Вычислительные машины в зависимости от способа представления информации подразделяются на две большие группы: вычислительные машины непрерывного действия, или аналоговые вычислительные машины (АВМ), и вычислительные машины дискретного действия, или цифровые вычислительные машины (ЦВМ).

В АВМ входные, выходные и промежуточные величины представляются в виде токов или напряжений, значения которых в определенном масштабе соответствуют числом.

Математические действия над числами заменяются в АВМ различными преобразованиями электрических токов или напряжений.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область и находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (анализ и синтез автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).

Формы мышления. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления (речи) от его содержания.

Логика- это наука о формах и способах мышления.

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

Понятие- это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержания понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением. Высказывание может быть ложным или истинным. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношение реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности.

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо ложно, либо истинно.

Умозаключение. Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений (высказываний), получать заключение, то есть новое знание. Примером могут быть геометрические доказательства.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Алгебра логики (раздел высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому в алгебре чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над действительными числами).

Для структурно-функционального описания логических схем, составляющих основу любого дискретного вычислительного устройства, ЭВМ или ВС в целом, используется аппарат булевой алгебры, созданной в 1854 г. Дж. Булем как попытка изучения логики мышления математическими методами. Впервые практическое применение булевой алгебры было сделано К. Шенноном в 1938 г. для анализа и разработки релейных переключательных сетей, результатом чего явилась разработка метода представления любой сети, состоящей из совокупности переключателей и реле , математическими выражениями и принципов их преобразования на основе правил булевой алгебры. Ввиду наличия аналогий между релейными и современными электронными схемами аппарат булевой алгебры нашел широкое применение для анализа, описания и проектирования последних. Использование булевой алгебры позволяет не только более удобно оперировать с булевыми выражениями (представляющими те или иные электронные узлы), чем над схемами или логическими диаграммами , но и на формальном уровне путем эквивалентных преобразований и базовых теорем упрощать их, давая возможность создавать экономически и технически более совершенные электронные устройства любого назначения. Являясь основным средством анализа, разработки и описания структурно-функциональной архитектуры современной ВТ, булева алгебра является обязательной составной частью курса “компьютерной информатики”, а также целого ряда разделов вычислительных наук.

Логические основы ЭВМ

Рассмотрим, как применяется алгебра высказываний при конструировании устройств.

Чтобы конструировать устройство, мы должны знать:

Каким образом следует реализовать логические значения 0 и 1 в виде электрических сигналов на входе и выходе устройства;

Каким образом описать работу этого устройства:

Существует ли алгоритм, позволяющий по известной таблице истинности построить схему устройства;

Из каких элементов должно состоять устройство.

Цифровой сигнал - это сигнал, который может принимать только одно из двух установленных значений.

Физическая природа сигнала может быть самой различной. Сигналами могут считаться, например, появление на выходе преобразователя напряжения или давления воздуха определенной величины, включение лампы или звонка, нажатие кнопки, срабатывание электромагнитного реле и другие изменения в электрической цепи. При этом обязательно надо, чтобы имелось два существенно различных состояния некоторой физической величины, моделирующие истинность и ложность логических высказываний.

Логическим элементом называется преобразователь, который, получая сигналы об истинности отдельных высказываний, обрабатывает их и в результате выдает значение логического отрицания, логической суммы или логического произведения этих высказываний.

Логические функции и логические элементы

ЦВМ состоит из отдельных элементов, выполняющих элементарные операции, Элемент-это обычно электронная схема. Все элементы ЦВМ разделить на группы в зависимости от значения этих элементов: логические, запоминающие, усилительные и специальные.

Конъюнкцию двух высказываний можно записать по правилам логического умножения (логическое умножение):

Логический элемент И выполняет действие умножение.

Дизъюнкцией назовем сложное высказывание, которое истинно при истинности хотя бы одного из составляющих его высказываний, и ложно, если оба высказывания, которые образуют сложное.

Логическое сложение:

Логический элемент ИЛИ выполняет действие сложение.

Логический элемент, реализующий логическую функцию НЕ, называется инвертором.

Введем условные обозначения основных логических элементов.

Простейший вариант триггера собирается из четырех логических элементов И-НЕ (рисунок 13). Он имеет два входа R, S и два выхода – прямой и инверсный . Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает “хлопанье”. Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Логическая схема триггера

4. Последняя комбинация R=1 и S=1 приводит к тому, что на обоих выходах триггера установиться 1! Такое состояние логически недопустимо и крайне неустойчиво, поскольку снятие входных напряжений приведет к тому, что триггер случайным образом перейдет в одно из своих устойчивых состояний. Такая ситуация на практике является запрещенной. Ниже приведена таблица истинности триггера.

Таблица истинности RS-триггера

Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров. Начнем с изучения логической структуры простейшего возможного устройства, являющегося звеном сумматора – полусумматора, который реализует сложение двух одноразрядных двоичных чисел. В результате получается двухразрядное двоичное число. Его младшую цифру обозначим S, а старшую, которая при сложении многоразрядных чисел будет перенесена в старший разряд, через C_o (от английских слов “Carry out” – “выходной перенос”).

Обе цифры можно получить по следующим логическим формулам:

Составим для этих формул таблицу истинности.

Таблица истинности для полусумматора

Введем условные обозначения основных логических элементов.

Простейший вариант триггера собирается из четырех логических элементов И-НЕ (рисунок 13). Он имеет два входа R, S и два выхода – прямой и инверсный . Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает “хлопанье”. Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Логическая схема триггера

4. Последняя комбинация R=1 и S=1 приводит к тому, что на обоих выходах триггера установиться 1! Такое состояние логически недопустимо и крайне неустойчиво, поскольку снятие входных напряжений приведет к тому, что триггер случайным образом перейдет в одно из своих устойчивых состояний. Такая ситуация на практике является запрещенной. Ниже приведена таблица истинности триггера.

Таблица истинности RS-триггера

Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров. Начнем с изучения логической структуры простейшего возможного устройства, являющегося звеном сумматора – полусумматора, который реализует сложение двух одноразрядных двоичных чисел. В результате получается двухразрядное двоичное число. Его младшую цифру обозначим S, а старшую, которая при сложении многоразрядных чисел будет перенесена в старший разряд, через C_o (от английских слов “Carry out” – “выходной перенос”).

Обе цифры можно получить по следующим логическим формулам:

Составим для этих формул таблицу истинности.

Таблица истинности для полусумматора

Принципы работы ЭВМ основываются на законах математической логики, поэтому ее элементы широко используются для поиска и обработки информации и при разработке схем электронных устройств.

Математическая логика – это наука о формах и способах мышления и их математическом представлении.

Мышление основывается на понятиях, высказываниях и умозаключениях.

Понятие имеет две характеристики:

Высказывание (суждение, утверждение) – это повествовательное предложение, в котором утверждаются или отрицаются свойства реальных предметов и отношения между ними. Поэтому высказывание может быть истинным или ложным.

Высказывания и логические операции над ними образуют алгебру высказываний (булеву алгебру), предложенную английским математиком Джорджем Булем.

Логические операции

Основные логические операции над высказываниями, используемыми в ЭВМ, включают отрицание, конъюнкцию, дизъюнкции, стрелку Пирса и штрих Шеффера. Рассмотрим эти логические операции.

1. Отрицание (обозначается такжеX, X).

2. Конъюнкция XY (X&Y, XY).

3. Дизъюнкция X+Y (XY).

4. Стрелка Пирса X  Y.

Стрелка Пирса X  Y (NOR (NOT OR), ИЛИ-НЕ) – это высказывание, которое истинно только в том случае, если X ложно и Y ложно.

5. Штрих Шеффера X | Y.

Штрих Шеффера X | Y (NAND (NOT AND), И-НЕ) – это высказывание, которое ложно только в том случае, если X истинно и Y истинно.

Определить значения логических операций при различных сочетаниях аргументов можно из таблицы истинности.

Читайте также: