Логические функции это кратко
Обновлено: 18.05.2024
Логические элементы и логические функции.
Элементы математической логики.
Логическая функция - это функция логических переменных, которая
может принимать только два значения : 0 или 1. В свою очередь,
сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может
принимать только два значения : 0 или 1.
Логический элемент - это устройство, реализующее ту или иную
логическую функцию.
Y=f(X1,X2,X3. Xn) - логическая функция, она может быть задана
таблицей, которая называется таблицей истинности.
Число строк в таблице - это число возможных наборов значений
аргументов. Оно равно 2 n , где n - число переменных.
Число различных функций n переменных равно 2 2^n .
Логические функции одной переменной
Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего
2 строки, а число функций одной переменной равно 4.
1. Функция константа 0, Y=0. Техническая реализация этой функции -
соединение вывода Y с общей шиной с нулевым потенциалом.
Таблица истинности функции константа 0 имеет вид:
2. Функция Y=f(X)=X - функция повторения. Техническая реализация
этой функции - соединение между собой выводов X и Y.
Таблица истинности функции повторения имеет вид:
3. Функция Y=f(X)=NOT(X) - отрицание НЕ или инверсия (NOT(X) - это НЕ X).
Техническая реализация этой функции - инвертор на любом транзисторе
или логическом элементе, или транзисторный ключ.
Таблица истинности функции отрицания имеет вид:
Логический элемент НЕ обозначается на схемах следующим образом:
(пишется X c чертой сверху)
4. Функция константа 1, Y=1. Техническая реализация этой функции -
соединение вывода Y с источником питания.
Таблица истинности функции константа 1 имеет вид:
Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ,
остальные функции являются тривиальными.
Логические функции двух переменных
Таблица истинности функции двух переменных Y=f(X1,Х2) содержит 4
строки, а число функций двух переменных равно 16.
Мы рассмотрим только несколько основных функций двух переменных.
1. Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):
Y= X1 + X2 = X1VX2
Техническая реализация этой функции - два параллельно соединенных
ключа:
Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:
Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:
2. Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпаде-
ний): Y = X1X2 = X1&X2
Техническая реализация этой функции - два последовательно сое-
диненных ключа:
Таблица истинности логического И имеет вид:
Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:
3. Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)
Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:
Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом :
4. Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1|X2 = NOT(X1X2)
Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:
Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:
Есть ещё три логические функции двух переменных, имеющие специ-
альные названия: импликация, эквивалентность, неравнозначность
(исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2). Последние две функции
являются взаимно обратными, также как, например, функция И и
функция штрих Шеффера.
Элемент памяти - RS-триггер
Триггер - это логическое устройство, способное хранить 1 бит ин-
формации. К триггерам относятся устойства, имеющие два устойчивых
состояния. Простейший триггер - RS-триггер, образован из двух
элементов И-НЕ (или ИЛИ-НЕ). Он позволяет запоминать 1 бит инфор-
мации, поскольку информация в компьютере представляется в двоич-
ном виде. Его схема приведена ниже.
Действие RS-триггера поясняется в приведенной ниже таблице ис-
тинности. S-вход установки (Set), R-вход сброса (Reset).
В обычном (исходном) состоянии на входы триггера поданы 1. Для
записи информации на вход R подан 0. Для сброса информации и под-
готовки к приёму новой информации на вход S подается 0 и триггер
вернётся в исходное состояние.
Поскольку один триггер запоминает 1 бит информации, то для запо-
минания 1 байта (8 бит) нужно 8 триггеров, для запоминания 1 Кб
(1024 байт) надо 8192 триггеров. Современные микросхемы ОЗУ спо-
собны запоминать десятки мегабайт информации.
Элементы математической логики
Существуют такие наборы логических функций, с помощью которых
можно выразить любые другие логические функции. Они называются
функционально полными или базисами. Наиболее известный базис -
это набор функций И, ИЛИ, НЕ. Функция штрих Шеффера является ба-
зисной, также как и функция стрелка Пирса. Поэтому, с помощью ло-
гических элементов ИЛИ-НЕ или И-НЕ можно собрать любую логическую
схему. На таких элементах собран микропроцессор компьютера и дру-
гие логические устройства. Логические схемы состоят из логических
элементов, осуществляющих логические операции.
Логика - наука, изучающая методы установления истинности или лож-
ности одних высказываний на основе истинности или ложности других
высказываний (утверждений). Логика изучает методы доказательств и
опровержений. Логика составляет основу всякого управления, в том
числе технологическими процессами.
Математическая логика - современная форма логики, опирающаяся на
формальные математические методы.
Основные объекты логики - высказывания, то есть предложения, ко-
торые могут быть либо истинными, либо ложными. Существуют два
подхода установления истинности высказываний: эмпирический (опыт-
ный) и логический. При эмпирическом подходе истинность высказыва-
ний устанавливается на основе наблюдений, экспериментов, докумен-
тов и других фактов. При логическом подходе истинность высказыва-
ний доказывается на основе истинности других высказываний, то
есть чисто формально, на основе рассуждений без обращения к фак-
там.
В языках программирования QBasic и Turbo Pascal логические функ-
ции И, ИЛИ, НЕ реализуются в виде логических операций OR (ИЛИ),
AND (И), NOT (НЕ).
Множество всех логических функций, на котором определены три ло-
гические операции И, ИЛИ, НЕ называется булевой алгеброй (по име-
ни основоположника математической логики английского математика
Джорджа Буля). Упрощение формул в булевой алгебре производится на
основе эквивалентных преобразований, опирающихся на следующие ос-
новные законы (эквивалентные соотношения):
Кроме того, применяются ещё три соотношения:
Законы 1,2,3,7 показывают, что свойства конъюнкции очень похожи
на свойства умножения, поэтому её часто называют логическим умно-
жением. Из законов 6 и 8 следует, что используя отрицание, дизъ-
юнкцию можно выразить через конъюнкцию, и наоборот:
Это означает, что наборы И-НЕ и ИЛИ-НЕ также являются функцио-
нально полными или базисными.
Вопросы
1. Что такое логическая функция и логический элемент?
2. Что такое таблица истинности и сколько в ней строк?
3. Какие функции одной переменной Вы знаете? Какая из них являет-
ся важнейшей?
4. Как зависит число функций от числа переменных?
5. Что такое конъюнкция и дизъюнкция? Как они реализуются?
6. Что такое функция стрелка Пирса? Какова её таблица истинности?
7. Что такое функция штрих Шеффера? Какова её таблица истинности?
8. Что такое базисная функция и какие базисы Вы знаете?
9. Что такое логика? Какие два подхода существуют в логике?
10. Как доказывается истинность или ложность высказываний? Приве-
дите примеры из практики.
11. Что такое булева алгебра?
12. Какие законы булевой алгебры Вы знаете? Где они применяются?
13. Что такое триггер? Как работает RS-триггер?
14. Сколько надо триггеров, чтобы запомнить 1 Мб информации?
Любая современная компьютерная система состоит из множества логических схем, где присутствуют логические функции и логические переменные. Для того чтобы описать эти взаимоотношения, есть таблицы истинности, в которых расписаны значения логической функции для разных наборов аргументов функции.
Логическая функция, что это
- отрицание;
- конъюнкция;
- дизъюнкция;
- импликация;
- эквиваленция.
Логическая функция: отрицание
- если А будет 1, то ¬ А будет 0;
- если А будет 0, то ¬ А будет 1.
Логическая функция: конъюнкция
- если А будет 1 и В будет 1, тогда А˄В будет тоже 1;
- если А будет 1, а В будет 0, тогда А˄В будет 0;
- если А будет 0, а В будет 1, тогда А˄В будет 0;
- если А будет 0 и В будет 0, тогда А˄В будет тоже 0.
Логическая функция: дизъюнкция
- если А будет 1 и В будет 1, тогда и А˅В будет 1;
- если А будет 1, а В будет 0, тогда А˅В все равно будет 1;
- если А будет 0, а В будет 1, А˅В также будет 1;
- если А будет 0 и В будет 0, только тогда А˅В будет 0.
Логическая функция: импликация
- если А будет 1 и В будет 1, тогда А→В будет тоже 1;
- если А будет 1, а В будет 0, только тогда А→В будет тоже 0;
- если А будет 0, а В будет 1, то А→В будет 1;
- если А будет 0 и В будет 0, тогда А→В также будет 0.
Логическая функция: эквиваленция
Вот как выглядит таблица истинности эквиваленции:
- если А будет 1 и В будет 1, тогда А↔В тоже будет 1;
- если А будет 1, а В будет 0, тогда А↔В будет 0;
- если А будет 0, а В будет 1, тогда А↔В будет 0;
- если А будет 0 и В будет 0, тогда А↔В будет 1.
Заключение
Логическая функция — это основа вычислений любого компьютера. Компьютеру постоянно приходится обрабатывать какую-то информацию, причем ему нужно приводить ее к логической последовательности нулей и единиц. Любые операции в компьютере с нулями и единицами происходят по условиям математической логики. А это означает, что для более глубокого понимания вычислительной мощности компьютерного устройства знать, что такое логическая функция очень важно.
Для описания алгоритмов работы и структуры цифровых схем используют аппарат алгебры логики (или булевой алгебры – по имени разработавшего ее в середине XIX века ирландского математика Д. Буля). В ее основе лежат три логические операции над логическими переменными:
- логическое отрицание (операция НЕ, инверсия), обозначаемое надчеркиванием над логической переменной или логическим выражением, например , и т. д.;
Логическими переменными (булевыми переменными) называются переменные х1, х2, …, хп, которые могут принимать только два значения – 0 и 1, то есть хi Î .
Совокупность п логических переменных называется набором переменных и обозначается х1, х2, …, хп. В общем случае может быть 2 п наборов логических переменных.
Логической функцией (булевой функцией) называется функция логических переменных f(x1, х2, . хп), которая так же как и ее аргументы принимает только значения 0 и 1.
Каждая логическая операция задает соответствующую логическую функцию своих переменных. Следовательно, можно говорить о трех логических функциях: конъюнкции(y=х1×х2×…×хп), дизъюнкции(y=х1+x2+…+хп), инверсии (y= ). Число аргументов (переменных) функций дизъюнкции и конъюнкции в общем случае может быть произвольным (больше двух).
Система логических функций называется функционально полной, если при помощи функций, входящих в систему, можно выразить любую сколь угодно сложную булеву функцию.
В математической логике доказывается, что если система булевых функций содержит функции конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию, то она является функционально полной.
Логическую функцию можно описать несколькими способами:
-в словесной форме;
-с помощью таблицы;
-с помощью алгебраического выражения (в аналитическом виде);
-с помощью последовательности десятичных чисел и др.
Табличное представление логической функции является наиболее наглядным. Таблица, с помощью которой описывают логическую функцию, называется таблицей истинности. Пример таблицы истинности функции у = f(х1, х2) двух переменных показан на рисунке 5.4. Число строк в таблице истинности равно 2 п , где п – число логических переменных.
| №№ наборов | х2 | х1 | у |
Рисунок 5.4 – Таблица истинности логической функции у = f(х1, х2)
В первом столбце таблицы истинности записаны номера наборов логических переменных, численно равные десятичному эквиваленту двоичного числа xпxп-1 … x2x1, составленного из значений логических переменных (второй и третий столбцы). В последнем столбце записаны значения логической функции на соответствующих наборах логических переменных.
Логические функции от одной и двух переменных принято называть элементарными. Эти функции имеют специальные названия и обозначения и используются при воспроизведении более сложных логических функций. В таблице 5.1 приведены все возможные логические функции двух переменных.
Для аналитической записи логических функций используются вспомогательные функции, называемые конституентой единицы и конституентой нуля.
| №№ наборов | х3 | х2 | х1 | у |
| * | ||||
| * | ||||
| * |
Рисунок 5.5 – Пример таблицы истинности недоопределенной
| fi | х2 | Название функции | Вид функции |
| х1 | |||
| f0 | Константа 0 | f0(x1, x2) = 0 | |
| f1 | Конъюнкция | f0(x1, x2) = x1×x2 | |
| f2 | Функция запрета по x2 | f0(x1, x2) = | |
| f3 | Переменная x1 | f0(x1, x2) = x1 | |
| f4 | Функция запрета по x1 | f0(x1, x2) = | |
| f5 | Переменная x2 | f0(x1, x2) = x2 | |
| f6 | Cложение по модулю два | f0(x1, x2) = | |
| f7 | Дизъюнкция | f0(x1, x2) = x1+x2 | |
| f8 | Стрелка Пирса | f0(x1, x2) = | |
| f9 | Функция равнозначности | f0(x1, x2) = | |
| f10 | Инверсия x2 | f0(x1, x2) = | |
| f11 | Импликация от x1к x2 | f0(x1, x2) = | |
| f12 | Инверсия x1 | f0(x1, x2) = | |
| f13 | Импликация от x2 к x1 | f0(x1, x2) = | |
| f14 | Штрих Шеффера | f0(x1, x2) = | |
| f15 | Константа 1 | f0(x1, x2) = 1 |
Например, для нулевого набора логических переменных (рисунок 5.4) конституента единицы имеет вид
а для второго набора – соответственно вид
В общем случае можно записать 2 п конституент единицы, где п – число логических переменных в наборах.
а для первого набора – соответственно вид
Аналитическая запись логической функции может быть выполнена в виде совершенной дизъюнктивной или совершенной конъюнктивной нормальной формы.
Запись СДНФ логической функции осуществляется непосредственно по данным, внесенным в таблицу истинности. Например, воспользовавшись рисунком 5.4, запишем СДНФ логической функции у:
Тождественные преобразования логических функций для получения их оптимального вида осуществляют на основе законов и тождеств алгебры логики.
Для описания алгоритмов работы и структуры цифровых схем используют аппарат алгебры логики (или булевой алгебры – по имени разработавшего ее в середине XIX века ирландского математика Д. Буля). В ее основе лежат три логические операции над логическими переменными:
- логическое отрицание (операция НЕ, инверсия), обозначаемое надчеркиванием над логической переменной или логическим выражением, например , и т. д.;
Логическими переменными (булевыми переменными) называются переменные х1, х2, …, хп, которые могут принимать только два значения – 0 и 1, то есть хi Î .
Совокупность п логических переменных называется набором переменных и обозначается х1, х2, …, хп. В общем случае может быть 2 п наборов логических переменных.
Логической функцией (булевой функцией) называется функция логических переменных f(x1, х2, . хп), которая так же как и ее аргументы принимает только значения 0 и 1.
Каждая логическая операция задает соответствующую логическую функцию своих переменных. Следовательно, можно говорить о трех логических функциях: конъюнкции(y=х1×х2×…×хп), дизъюнкции(y=х1+x2+…+хп), инверсии (y= ). Число аргументов (переменных) функций дизъюнкции и конъюнкции в общем случае может быть произвольным (больше двух).
Система логических функций называется функционально полной, если при помощи функций, входящих в систему, можно выразить любую сколь угодно сложную булеву функцию.
В математической логике доказывается, что если система булевых функций содержит функции конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию, то она является функционально полной.
Логическую функцию можно описать несколькими способами:
-в словесной форме;
-с помощью таблицы;
-с помощью алгебраического выражения (в аналитическом виде);
-с помощью последовательности десятичных чисел и др.
Табличное представление логической функции является наиболее наглядным. Таблица, с помощью которой описывают логическую функцию, называется таблицей истинности. Пример таблицы истинности функции у = f(х1, х2) двух переменных показан на рисунке 5.4. Число строк в таблице истинности равно 2 п , где п – число логических переменных.
| №№ наборов | х2 | х1 | у |
Рисунок 5.4 – Таблица истинности логической функции у = f(х1, х2)
В первом столбце таблицы истинности записаны номера наборов логических переменных, численно равные десятичному эквиваленту двоичного числа xпxп-1 … x2x1, составленного из значений логических переменных (второй и третий столбцы). В последнем столбце записаны значения логической функции на соответствующих наборах логических переменных.
Логические функции от одной и двух переменных принято называть элементарными. Эти функции имеют специальные названия и обозначения и используются при воспроизведении более сложных логических функций. В таблице 5.1 приведены все возможные логические функции двух переменных.
Для аналитической записи логических функций используются вспомогательные функции, называемые конституентой единицы и конституентой нуля.
| №№ наборов | х3 | х2 | х1 | у |
| * | ||||
| * | ||||
| * |
Рисунок 5.5 – Пример таблицы истинности недоопределенной
| fi | х2 | Название функции | Вид функции |
| х1 | |||
| f0 | Константа 0 | f0(x1, x2) = 0 | |
| f1 | Конъюнкция | f0(x1, x2) = x1×x2 | |
| f2 | Функция запрета по x2 | f0(x1, x2) = | |
| f3 | Переменная x1 | f0(x1, x2) = x1 | |
| f4 | Функция запрета по x1 | f0(x1, x2) = | |
| f5 | Переменная x2 | f0(x1, x2) = x2 | |
| f6 | Cложение по модулю два | f0(x1, x2) = | |
| f7 | Дизъюнкция | f0(x1, x2) = x1+x2 | |
| f8 | Стрелка Пирса | f0(x1, x2) = | |
| f9 | Функция равнозначности | f0(x1, x2) = | |
| f10 | Инверсия x2 | f0(x1, x2) = | |
| f11 | Импликация от x1к x2 | f0(x1, x2) = | |
| f12 | Инверсия x1 | f0(x1, x2) = | |
| f13 | Импликация от x2 к x1 | f0(x1, x2) = | |
| f14 | Штрих Шеффера | f0(x1, x2) = | |
| f15 | Константа 1 | f0(x1, x2) = 1 |
Например, для нулевого набора логических переменных (рисунок 5.4) конституента единицы имеет вид
а для второго набора – соответственно вид
В общем случае можно записать 2 п конституент единицы, где п – число логических переменных в наборах.
а для первого набора – соответственно вид
Аналитическая запись логической функции может быть выполнена в виде совершенной дизъюнктивной или совершенной конъюнктивной нормальной формы.
Запись СДНФ логической функции осуществляется непосредственно по данным, внесенным в таблицу истинности. Например, воспользовавшись рисунком 5.4, запишем СДНФ логической функции у:
Тождественные преобразования логических функций для получения их оптимального вида осуществляют на основе законов и тождеств алгебры логики.
Теоретическая часть представлена в виде лекции, а для практической части я применяю разработанные мною карточки для устного закрепления материала и решения задач.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: плакат “Формы абстрактного мышления”, плакат “Высказывания”, плакаты (формата А3) с логическими функциями.
Объяснение нового материала.
Сегодня мы с Вами познакомимся с разделом информатики, который называется “Логика”.
Логика, как наука развивается с IV в. до н. э. начиная с трудов Аристотеля. Именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение.
Логика (от греч. “логос”, означающего “слово” и “смысл”) – наука о законах, формах и операциях правильного мышления.
Ее основная задача заключается в нахождении и систематизации правильных способов рассуждения.
А теперь познакомимся с основными формами абстрактного мышления. Рис1.
Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Всякое понятие имеет содержание и объем
Например, понятие “Черное море” – отражает единичный предмет, “Сиамская кошка” – отражает класс сиамских кошек.
Содержание понятия – совокупность существенных признаков множества, отраженных в этом понятии. Например, понятие “квадрат” – прямоугольник, имеет равные стороны.
Объем понятия – множество предметов, которые мыслятся в понятии. Например, под объемом понятия “лев” подразумевается множество всех львов, которые существовали, существуют и будут существовать.
Игра: цель игры – определить содержание и объем понятий, заданных в виде изображений.
Развернуть один монитор так, чтобы ученикам за партами не был виден экран, вызвать одного ученика к этому компьютеру и открыть папку со специально подобранными картинками (по одной на экране). Ученик рассмотрев картинку должен описать ее, стараясь называть только самые существенные признаки, по одному, а класс должен угадать (желательно, чтобы характеристик было как можно меньше и самое главное). Рассмотреть несколько картинок. Например, фото козы – ее существенным признаком на сегодняшний день может быть - символ уходящего года; домашнее животное, любит капусту, белая. Изображение ножниц – ими режут бумагу; имеют два кольца и два конца, посередине гвоздик …
Итог: не всегда ученики могут выделить существенные признаки предмета, а это главное при изучении чего-то нового, определить суть – понятие.
Высказывание (суждение) – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Бывают простые и сложные (объединяют несколько простых).
Записать по одному примеру.
- Москва – столица РФ.
- Алуштинский дворец (Ласточкино гнездо) находится в Крыму.
- 5 – 9 + 8.
- 5 – 9 + 8 = 4.
- На юге Африки живут пингвины.
- Учить второй иностранный язык легче, чем первый.
- Обязательно займись каким-либо видом спорта.
- Переводчик должен знать хотя бы два языка.
- Ты играешь в хоккей?
- Отними от неизвестного числа 5 – и получишь 2.
- К концу 11 класса хорошо выучу русский язык.
Умозаключение – это такая форма мышления посредством которой из одного или нескольких суждений с необходимостью выводится новое заключение о предметах реального мира.
В качестве закрепления умозаключения я предлагаю им сесть за компьютер, где загружена программа Logic_3 из методического комплекта Тур С.Н., где предложены примеры умозаключений. Нужно сделать вывод. Например, сделайте выводы из пары посылок:
1. ВСЕ АНТИЛОПЫ СТРОЙНЫЕ.
2. СТРОЙНЫЕ ЖИВОТНЫЕ РАДУЮТ ГЛАЗ.
ВСЕ ________ РАДУЮТ ГЛАЗ.
Логические величины – это понятия выражаемые словами И или Л.
Логическая переменная – это символически выраженная логическая величина.
Логическое выражение – это простое или сложное высказывание о котором можно сказать И оно или Л.
Читайте также: