Логарифмическая функция определение кратко
Обновлено: 05.07.2024
Подлогарифмическое выражение - положительное. График не пересекает ось O y .
График пересекает ось O x в точке (1; 0).
Интервалы монотонности:
При a > 1 функция возрастает на интервале (0; +∞).
При 0 a Экстремумы функции: функция не имеет экстремумов.
Интервалы выпуклости / вогнутости:
При a > 1 график функции выпуклый на интервале (0; +∞).
При 0 a График логарифмической функции:
log a x = log a y => x = y , a > 0, a ≠ 1.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Заданная формулой f(x) = logax функция является логарифмической.
- основание a должно быть строго положительным и, одновременно, не равным единице ( a>0, a≠1 );
- подлогарифмическое выражение или аргумент функции – больше нуля ( x>0 ).
Свойства логарифмической функции
- Область определения: функция определена при всех неотрицательных x .
D(y): x∈(0;+∞) . - Область значений: все множество действительных чисел.
E(y): y∈(−∞;+∞) . - Функция не относится ни к четным, ни к нечетным.
- Значение любой логарифмической функции равно нулю при аргументе x=1 .
- Логарифмическая функция y = logax является обратной функцией к показательной x=a y .
График логарифмической функции
Непрерывную кривую логарифмической функции часто называется логарифмикой. Она не имеет экстремума и является:
Примечание: График логарифмической функции всегда пересекает ось абсцисс в точке с координатами (1;0).
Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и a x = b равносильны.
Пример: , потому что 2 3 = 8 .
Содержание
Вещественный логарифм
Логарифм вещественного числа logab имеет смысл при .
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0 , непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).
Свойства
Натуральные логарифмы
Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:
По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.
При справедливо равенство
![]() | (1) |
![]() |
Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:
![]() | (2) |
Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.
.
Десятичные логарифмы
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:
-
— интенсивность звука (децибелы). — шкала яркости звёзд. — активность водородныхионов (pH). — шкала Рихтера. — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.
Комплексный логарифм
Многозначная функция
Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим \, w" width="" height="" />
и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e z = w . Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:
,
находится по формуле:
Здесь — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0 , называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π] . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.
Из формулы следует:
Примеры (приведено главное значение логарифма):
Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:
iπ = ln( − 1) = ln(( − i) 2 ) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.
, которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.
Аналитическое продолжение
Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой Γ , не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем ln )
При этом, если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например
Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма
Для любой окружности S , охватывающей точку 0 :
Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.
Риманова поверхность
Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).
Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .
Исторический очерк
Вещественный логарифм
Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.
Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).
К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.
Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
Комплексный логарифм
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.
Логарифмические таблицы
При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.
Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.
-
Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.
Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
Логарифмической функцией называется функция вида y = log ax , где a > 0 и a ≠ 1.
График функции имеет следующий вид:
Рассмотрим свойства функции:
- Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
- Множеством значений функции являются все действительные числа R.
- Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
- Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
- Функция непереодическая.
- Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
- При a > 1 функция возрастает, при 0
Примеры решения задач
Задание 1.
В одной координатной плоскости построить графики функций:
Решение.
Для начала построим график функции y = log2x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.
x | ![]() | ![]() | ![]() | 1 | 2 | 4 | 8 |
y(x) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log2x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.
Подобным образом построим графики остальных функций.
Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).
Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.
Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
Задание 2.
В одной координатной плоскости построить графики функций:
Решение.
Для начала построим график функции . Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.
x | ![]() | ![]() | ![]() | 1 | 2 | 4 | 8 |
y(x) | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 |
Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.
Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0
Подобным образом построим графики остальных функций.
Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).
Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.
Чем меньше основание a (если 0
Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Задание 3.
Найти обасть определеления функции:
Решение
Область определения данной функции задается следующим неравенством:
Решим это линейное неравенство:
Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.
Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:
Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.
Читайте также: