Каковы правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления кратко

Обновлено: 05.07.2024

Д ля перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа .

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110₂ = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182₁₀ Перевод из десятичной системы счисления в двоичную: перевод из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется непосредственно делением числа на 2

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др.).

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что в десятичной системе счисления, так как они обе являются позиционными. Это же касается восьмеричной и шестнадцатеричной систем.

Сложение

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

В последнем случае, при сложении двух единиц происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Пример сложения многоразрядных двоичных чисел:

Вычитание

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

В случае вычитания в текущем разряде из нуля единицы происходит заем из старшего разряда. По-сути мы вычитаем не из единицы, а из двоичного числа 10.

Умножение

Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

Ключевые слова:

— позиционные системы счисления,

— арифметические операции в системе счисления с основанием q,

— Информатика. 10 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. - 288 с.

— Математические основы информатики: учебное пособие / Е. В. Андреева, Л. Л Босова, И. Н. Фалина — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 328 с.

Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую. Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления. А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?

Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

— справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);

— справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

Мы узнаем на уроке:

как строить таблицы сложения и умножения в заданной позиционной системе счисления;
как выполнять сложение, умножение, вычитание и деление чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;
как подсчитывать количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом суммирования или вычитания степеней двойки.

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

Представим все операнды исходного выражения в виде степеней двойки:

Исходное выражение 2 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

примет вид 2 4000 + 2 4032 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Перепишем выражение в порядке убывания степеней: 2 4032 + 2 4000 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Для работы с десятичными числами вида 2 n полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

2 1 = 10 = 1 + 1; 2 2 = 100 = 11 + 1; 2 3 = 1000 = 111 + 1; …

В общем виде

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:

Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.

Давайте разберем еще одну задачу.

Найдём количество цифр в восьмеричной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения: 2 299 + 2 298 + 2 297 + 2 296 .

Двоичное представление исходного числа имеет вид:

Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.

Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
перевести результат в требуемую систему счисления.

Для работы с десятичными числами вида 2 n , полезно иметь ввиду следующие закономерности в их двоичной записи:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Выберите выражения, значения которых одинаковые.

Возьми карандаш и подчеркни результат сложения

1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 153₈ + F9₁₆

3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 122₃ * 11₂

6. Выполни операцию деления 10010000₂ / 1100₂

7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (564₈ + 234₈) * C₁₆

По горизонтали:

2. Разность двоичных чисел 11001100 - 11111

4. Найти разность 167₈ – 56₈

5. Выполнить операцию деления 41612₈ / 12₈

8. Найти разность 12E₁₆ – 79₁₆ ответ запиши в десятичной системе счисления

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

6 урок, 8 класс

Учитель: Брух Т.В.

Дата:______________

Цели и задачи урока: освоить перевод десятичных чисел в двоичную

систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления. Уметь выполнять

операции сложения и умножения над двоичными числами. Понимать роли

фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий

Планируемые образовательные результаты :

личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий; обосновывать свою позицию, высказывать своё мнение.

предметные – навыки перевода небольших десятичных чисел в двоичную систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления; умения выполнения операций сложения и умножения над небольшими двоичными числами;

метапредметные – умение анализировать любую позиционную систему счисления как знаковую систему.

Решаемые учебные задачи:

1) рассмотрение двоичной системы счисления как знаковой системы;

2) рассмотрение правила перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления;

3) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления;

4) знакомство с операциями сложения и умножения в двоичной системе счисления.

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания (самостоятельная работа)

1. Перевод двоичной в десятичную СС.

1. Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10010

2. Перевести в десятичную систему счисления числа 1111 и 10101

3. Перевести в десятичную систему счисления числа 1011 и 11101

4. Перевести в десятичную систему счисления числа 1110 и 10010

5. Перевести в десятичную систему счисления числа 11010 и 1010

6. Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10010

7. Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10110

8. Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10110

2. Перевод десятичной в двоичную СС.

1. Перевести в двоичную систему счисления числа 21 и 15

2. Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15

3. Перевести в двоичную систему счисления числа 45 и 31

4. Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15

5. Перевести в двоичную систему счисления числа 51 и 13

6. Перевести в двоичную систему счисления числа 31 и 25

7. Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15

8. Перевести в двоичную систему счисления числа 48 и 35

3. Изучение нового материала

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых.

- справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);

- справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;

- правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

I . Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.

II . Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.

III . Умножение.

4. Закрепление, выполнение заданий

Выполните сложение

а) 11001 +101 = 1 1110

б) 11001 +11001 = 110010

в) 1001 + 111 = 10000

г) 10011 + 101 = 11000

д) 11011 + 1111 = 101010

е) 11111 + 10011 = 110010

Выполните вычитания.

а) 11001-1001 = 10000 б) 1011-110= 101

в) 10001-101= 1100 г) 10101-11= 10010

д) 101001-1111 = 11010 е) 111111-101010 = 10101

а) 1101 * 1110 = 1011 0110 б) 1010 * 110 = 11 1100

в) 1011 * 11 = 10 0001 г) 101011 * 1101 =10 0010 1111

д) 10010 * 1001 = 1010 0010

5. Итог урока. Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Домашнее задание

Примеры на сложение:

Примеры на вычитание:

Примеры на умножение:

Краткое описание документа:

Цели и задачи урока: освоить перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления. Уметь выполнять операции сложения и умножения над двоичными числами. Понимать роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий Планируемые образовательные результаты: личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий; обосновывать свою позицию, высказывать своё мнение. предметные – навыки перевода небольших десятичных чисел в двоичную систему счисления и двоичных чисел в десятичную систему счисления; умения выполнения операций сложения и умножения над небольшими двоичными числами; метапредметные – умение анализировать любую позиционную систему счисления как знаковую систему. Решаемые учебные задачи: 1) рассмотрение двоичной системы счисления как знаковой системы; 2) рассмотрение правила перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления; 3) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления; 4) знакомство с операциями сложения и умножения в двоичной системе счисления. Ход урока: 1. Организационный момент 2. Проверка домашнего задания (самостоятельная работа) 1. Перевод двоичной в десятичную СС. Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10010Перевести в десятичную систему счисления числа 1111 и 10101Перевести в десятичную систему счисления числа 1011 и 11101Перевести в десятичную систему счисления числа 1110 и 10010Перевести в десятичную систему счисления числа 11010 и 1010Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10010Перевести в десятичную систему счисления числа 1101 и 10110Перевести в десятичную систему счисления числа 1001 и 10110 2. Перевод десятичной в двоичную СС. Перевести в двоичную систему счисления числа 21 и 15Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15Перевести в двоичную систему счисления числа 45 и 31 Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15Перевести в двоичную систему счисления числа 51 и 13Перевести в двоичную систему счисления числа 31 и 25Перевести в двоичную систему счисления числа 41 и 15Перевести в двоичную систему счисления числа 48 и 35 3. Изучение нового материала Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам: - справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный); - справедливы правила сложения, вычитания, умножения иделения столбиком; - правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения. Арифметические операции в двоичной системе счисления I. Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. II. Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой: 0 – 0 = 0 0 – 1 = 1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. III. Умножение. 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1* 1 = 1 4. Закрепление, выполнение заданий Выполните сложение а) 11001 +101 = 1 1110 б) 11001 +11001 = 110010 в) 1001 + 111 = 10000 г) 10011 + 101 = 11000 д) 11011 + 1111 = 101010 е) 11111 + 10011 = 110010 Выполните вычитания. а) 11001-1001 = 10000б)1011-110=101 в) 10001-101=1100г) 10101-11= 10010 д) 101001-1111 = 11010е) 111111-101010 =10101 Выполните умножение: а) 1101 * 1110 = 1011 0110б) 1010 * 110 = 11 1100 в) 1011 * 11 = 10 0001г) 101011 * 1101 =10 0010 1111 д) 10010 * 1001 = 1010 0010 5. Итог урока. Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012= Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012= Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012= Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012= Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012= Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012= Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012= Домашнее задание Примеры на сложение: 1) 110012 +110012= 2) 11112 + 1011112 = Примеры на вычитание: 1) 11001102 – 10012= 2) 10011012 – 1001002= Примеры на умножение: 1) 1012 * 112= 2) 11012*1012=

Читайте также: