История показательной функции кратко

Обновлено: 05.07.2024

Данное занятие проводится лекционно. Его цель познакомить учащихся с историей возникновения и выяснить мотив появления показательной функции, показать её связь с другими предметами. И дать ответ ребятам на вопрос "Зачем она нам нужна?"

Вложение	Размер
11kl._istoriya_pok._f-ii.docx	24.09 КБ

Предварительный просмотр:

Тема факультативного занятия :

История возникновения показательной функции.

Цель: выяснить мотив появления показательной функции;

дать понятие показательной функции;

познакомить с историей возникновения показательной функции;

повысить познавательный интерес учащихся к математике;

показать связь показательной функции с другими предметами.

Тип занятия: лекция.

Как вы думаете, что будет, если животное или растение поместить в благоприятные условия?

Правильно, они будут размножаться и, причем с очень большой скоростью.

Рассмотрим это на примере.

Возьмем пару кроликов и выпустим их в Австралии, где существует благоприятный климат для их размножения. Эта пара кроликов будет бедствием для страны. Для того, чтобы понять почему так быстро растет число живых существ в благоприятных условиях, сделаем с вами некоторые расчеты.

Итак, одна пара кроликов за один год дает нам приплод в 30 крольчат. И причем, если они все останутся в живых, то число увеличилось бы в 25 раз каждый год. Но тогда через 2 года их будет уже (может кто-нибудь сосчитал?) в 625 раз больше, а через 3 года в 15625 раз. Видно, что наша последовательность чисел 1, 25, 625, 15625, … возрастает очень быстро. И через 5 лет их было бы 25 5 , т.е. более 9000000000 пар.

Вы представляете себе это число?

А комнатные мухи?

Они вообще размножаются с головокружительной быстротой.

Ребята, кто знает, как называют последовательность, которая была получена при подсчете кроликов?

Да! Её называют геометрической прогрессией!

Геометрическая прогрессия возникла очень давно. Она встречается более 4000 лет назад. Этому свидетельствуют найденные задачи, которые были написаны на египетском папирусе.

т.е. расшифровывая, получим: в 7 домах живет по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь поедает по 7 колосьев ячменя, каждый колос дает при посеве урожай в 7 мер хлеба. Сколько предметов всего?

В принципе эта задача не имеет практического смысла. Но зато объясняет, почему у египтян кошка считается священным животным.

Видим, что члены геометрической прогрессии имеют быстрый темп роста. И этот рост был замечен очень давно.

Так популярную легенду о шахматах, многие из вас знают, наверное. Но я её напомню.

Впервые легенда о награде за изобретении шахмат встречается в ХI веке н.э. в книге арабского учёного Аль Бируни. Она гласит о том, что за первую клетку шахматной доски изобретатель потребовал от царя 1 пшеничное зернышко, за вторую клетку – 2, за третью – 4, за четвертую – 8 и т.д. И для того чтобы найти сколько же потребовал изобретатель, нужно сложить члены геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, …, 2 63 . Эта сумма равна 2 64 – 1, т.е. 184467440737095551615.

А кто не верит, может на досуге проверить.

Даже если мы не засеем пшеницей всю сумму, мы не сможем собрать урожай из такого количества зерен. Чтобы вместить этот урожай, нам надо будет амбар объёмом в 12000 км 3 . При высоте в 4 м, он занял бы площадь в 3000000 км 2 , т.е. примерно седьмую часть площади бывшего СССР. Видите, какими числами приходилось оперировать в древности?

В дальнейшем появляются в Западной Европе (это ХIV – XV в.) банки, которые давали деньги под большие проценты. И при этом приходилось делать большие, сложные расчеты.

Вскоре появляется идея степени с дробным показателем, потом создаются таблицы логарифмов и антилогарифмов.

Оставался один шаг, чтобы ввести степени с любым действительным показателем. И этот шаг, в конце концов, был сделан в конце XVII в. Исааком Ньютоном.

И уже после этого Иоганн Бернулли рассмотрел степени с переменным действительным показателем, т.е. ввёл показательную функцию.

Сможет ли кто-нибудь дать определение показательной функции?

В основе определения лежит понятие степени.

Показательной функцией называется функция вида у=а х , а – фиксированное положительное число.

Но показательная функция нужна была не только в древности, она нужна и сейчас, и будет нужна в будущем.

Показательную функцию можно встретить и в физике, и в биологии, и в астрономии и в повседневной жизни тоже.

Рассмотрим несколько примеров:

Когда один человек удерживает корабль.

Но как вы думаете, нужна ли была его нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?

Мальчики наверное знают как происходит швартовка корабля. С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани надевает петлю на причальную тумбу, а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами – небольшими тумбами, укрепленными на борту корабля. Сила трения между канатом и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто поддерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе. Что же позволяет удерживать одному человеку корабль? Это увеличение силы. Чем больше оборачиваем канат вокруг столба, тем больше увеличивается сила. Такое явление мы используем ежедневно, завязывая шнурки на ботинках, узлы на верёвках и т.д. Так как узел-это верёвка, обвитая вокруг другой верёвки, он тем крепче, чем больше раз одна часть верёвки сплетается с другой.

Или вот ещё один пример: как измеряют высоту с помощью барометра.

Поставим себе задачу, о том что нам надо вычислить атмосферное давление р(h) на высоте h над поверхностью земли.

Обозначим через р 0 давление воздуха у поверхности земли, т.е. вес вертикального столба воздуха с площадью основания равной единице. Тогда

р(h)= р 0 – f(h), где f(h) – вес столба воздуха высотой h и площадью основания равной 1.

Очевидно, производная f / (h) равна плотности δ(h) воздуха на высоте h.

Таким образом, р / (h)= – f / (h)= - δ / (h) (1)

По закону Бойля – Мариотта, давление данной массы газа при постоянной температуре обратно пропорционально объему газа, а значит, прямо пропорционально его плотности р(h)=а δ(h) (2), где а – постоянная, зависящая от газа. Из равенств (1) и (2) следует, что скорость р / (h) изменения давления на данной высоте пропорциональна давлению на этой высоте.

Примеров, где встречается показательная функция, можно привести много.

Так при охлаждении тела, температура с течением времени понижается по экспоненциальному закону.

Или вот пример, показательная функция и биология: человек сдавший кровь – донор. Восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора происходит по показательному закону.

История возникновения и развития. Представление о показательной функции

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 4 - 5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В "Геометрии" Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функции от абсцисс (х); путь и скорость - функции от времени (t) и тому подобное.

Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей "Геометрии" лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы.
Слово "Функция" (от латинского functio - совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение "Функция от х" стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа" (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак j х, называя j характеристикой функции, а также буквы х или e ; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с j Эйлер предлагает пользоваться и буквами F , Y и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s).

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: "Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных".

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

История показательной функции

Историю представим мы немного, События расставив по порядку: Вы знаете, еще 40 веков назад В египетском папирусе записан ряд.

Про семь домов, где кошек 49, И каждая из них по 7 мышей съедает И тем всем столько зерен сохраняет, Что мер 17000 составляет.

О том еще известна нам легенда, Что как-то у арабского царя Изобретатель шахматной доски, Наверное, потребовал на доску ту зерна.

Причем за клетку первую – зерно, А за вторую –два просил изобретатель, За третью – снова больше раза в два, Немало времени царь на подсчет потратил.

Когда же подсчитали – прослезились: Число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу И миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Пятнадцатый век –рожденье банков, дающих деньги людям под процент, Тогда и встал вопрос довольно ярко О дробном показателе ,сомненья нет.

Краткое описание документа:

Данная презентация содержит в стихотворной форме краткую историю показательной функции. Ее можно применять как в начале изучения показательной функции для активизации интереса у студентов и учащихся.так и при изучении показательных уравнений и неравенств.

Или на внеклассных мероприятиях по математике.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 612 466 материалов в базе

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

24.11.2019 727
PPTX 3 мбайт
17 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Панасенко Наталья Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 2 минуты

Россияне ценят в учителях образованность, любовь и доброжелательность к детям

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Целью моей работы является исследование сфер применения показательной функции.

Объект исследования: показательная функция.

Показательная функция часто применяется в физике, химии, биологии, географии, экономике и иных науках.

Рост количества бактерий, концентрация адреналина в крови, способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, восстановление концентрации гемоглобина в крови, рост количества древесины, количество радиоактивного вещества, изменение количества населения – все это измеряется по законам показательной функции.

В жизни нередко приходиться встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине. В этом случает рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид y=y0ax

Практическая значимость работы заключается в том, что она позволяет объективно оценить значимость показательной функции, основываясь на рассмотренных фактах, раскрывая особенности применения показательной функции в современной жизни человека.

Материал исследовательской работы может быть использован в форме презентации для выступления различных публичных мероприятиях, в школе; для публикации в печатных изданиях (в научно-популярной литературе), размещения данных о проекте на сайте нашей школы и других сайтах определенной тематики.

Подбор, изучение, анализ информации о функциях, в частности, показательной функции.

Анкетирование с целью узнать, насколько люди осведомлены о сфере применения показательной функции.

Исследование свойств показательной функции.

Примеры применения показательной функции.

Задачи на показательную функцию.

Доказать, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни;

Расширить знания о показательной функции и методах решения уравнений;

Узнать, какие явления из жизни и некоторых наук описывает показательная функция;

Научиться применять полученные знания в нестандартных ситуациях на основе рассмотрения примеров из реальной жизни, при решении практико-ориентированных задач.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650);

Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

3.1 Аналитическое определение функции.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

Жан Батист Жозеф Фурье4.1 Примеры применения показательной функции

Так утверждал великий ученый, математик Леонард Эйлер. И он был в корне прав, говоря о том, что показательная функция применятся во многих сферах жизни человека.

Кроме того, перед началом исследования, мною был проведен опрос с целью узнать, осведомлены ли люди о том, что такое показательная функция и где она применяется:

В итоге, 72% опрошенных не знают, где применяется данная функция. Но в своем исследовании я решила рассказать, где же используется данная функция.

Приведем примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также как она применяется на практике.

Напомним вид показательной функции: у=а х , где а>0, а≠1, x Є R. Показательная функция встречается в самых различных областях науки - в физике, химии, биологии, экономике.

A-изменение количества древесины во времени; A₀-начальное количество древесины; t-время; k, а - некоторые постоянные.

2. Давление воздуха убывает с высотой по закону P=P₀*a -kh , где P- давление на высоте h, P₀ - давление на уровне моря, а- некоторая постоянная.

Процессы выравнивания (именно так называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции) часто встречаются и в биологии.

3. Рост количества бактерийпроисходит по закону N=5 t , где N-число колоний бактерий в момент времени t;

Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.

Также вспомним что, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, который потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

4. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t,

описывается формулой , где No – первоначальное количество вещества,

T_1/2– период полураспада.

5. Площадь сечения троса связана с сопротивлением разрыва также по показательному закону.

Сейчас многие моря и океаны бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся приборы. Их опускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие — трос разрывается и все ценные приборы оказываются погребенными на дне моря.

Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сделав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение — верхние части троса должны удерживать не только спускаемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, а потому при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка.

Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю. Возникает вопрос: как должна меняться толщина троса для того, чтобы в любом его сечении на 1 см2 приходилась одна и та же нагрузка?

Исследование этого вопроса показало, что площадь сечения троса должна изменяться по следующему закону: , где

So — площадь его нижнего сечения,

S — площадь сечения на высоте х от нижнего сечения,

γ — удельный вес материала, из которого сделан трос,

Р — вес в воде опускаемого груза (нам пришлось написать в формуле γ — 1 вместо γ, так как и материал троса теряет в воде вес по закону Архимеда).

Такой трос называют тросом равного сопротивления разрыву.

6. Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой:

Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1,где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

7. При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определённой величины.

8. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле: I = I₀e -ks , где

s – толщина слоя;

k – коэффициент, характеризующий мутную среду

В ходе проведения исследований данного материала, анализа информации, моя гипотеза о том, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни, подтверждена.

Также мы расширили знания о показательной функции, изучили свойства показательной функции, узнали многое об истории развития понятия функции.

Читайте также: