Исследование функции в школе

Обновлено: 04.07.2024

Исследование функций и построение графиков является завершение изучения раздела "Дифференциальное исчисление" и включает в себя комплекс изученных понятий.

ВложениеРазмер
urok_23_issl.funktsiy_i_postroenie_grafikov.docx 651.77 КБ
otkrytyy_urok_differentsial_funktsii.doc 258 КБ
elementy_vysshey_matematiki_pro.docx 88.01 КБ

Предварительный просмотр:

План занятия №__23____

ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ ГРУППЫ ИС-21

ТЕМА: Практическая работа № 4. Часть 2. Полное исследование функции. Построение графиков.

ЦЕЛЬ: Поработать над формированием профессиональной компетенции 1.2: разработка методов и средств применения объектов профессиональной деятельности

Поработать над формированием общих компетенций:

ОК2 Организовывать собственную деятельность

ОК4 Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач

ОК5 Владеть информационной культурой.

ТИП УРОКА: практическая работа

ОБОРУДОВАНИЕ УРОКА: ПК, раздаточный материал

1. Организационный момент

- проверка состава студентов

3. Допуск к работе:

  • Монотонные функции
  • Экстремумы функции
  • Промежутки выпуклости
  • Точки перегиба
  • Асимптоты

Устный фронтальный опрос

4. Подведение итогов допуска к работе

Анализ, комментарии преподавателя

5. Изложение содержания практической работы:

  • Алгоритм исследования функции
  • Построение графика функции в тетради
  • Построение графика функции с помощью программы

6. Подведение итогов выполнения практической работы

  • Анализ выполненных работ
  • Выполнение Кейс-задания

Обобщение с комментариями преподавателя

Практическая работа № 4. Часть 2.

ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ТЕМА: Полное исследование функции. Построение графиков .

ЦЕЛЬ: Поработать над формированием профессиональной компетенции 1.2: разработка методов и средств применения объектов профессиональной деятельности

Поработать над формированием общих компетенций:

ОК2 Организовывать собственную деятельность

ОК4 Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач

ОК5 Владеть информационной культурой.

ОБОРУДОВАНИЕ УРОКА: ПК, раздаточный материал

Вопросы на допуск:

  1. Что называется областью определения?
  2. Что называется областью значения?
  3. Какая функция называется четной и нечетной
  4. Какая функция называется возрастающей?
  5. Какая функция называется убывающей?
  6. Как связан “знак” производной с возрастанием и убыванием функции?
  7. Что называется точкой максимума?
  8. Что называется точкой минимума?
  9. Какие точки называются критическими?
  10. Какие точки называются точками перегиба?
  11. Какая функция называется выпуклой вверх?
  12. Какая функция называется выпуклой вниз?
  13. Что называется асимптотой? Виды асимптот?
  14. Исследовать функцию и построить ее график.

Таблица исследования функций

Область определения D(f)

Область значений E(f)

Периодичность/ не периодичность

Нахождение производная функции f / (x)

Критические точки (точки, где f / (x)=0 или не существует)

Промежутки возрастания и убывания, экстремумы функций

f / (x)>0 f(x)-возрастает

Точки перегибы, интервалы выпуклости (f // (x))

(вертикальные, горизонтальные, наклонные)

Точки пересечения с осями, дополнительные точки

  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график
  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график
  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график
  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график
  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график
  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график
  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график
  1. Я легко провожу исследование функции и строю ее график.
  2. Я имею небольшие затруднения при исследовании функции и построении ее графика
  3. Я легко провожу исследование функции, но имею затруднения при построении графика
  4. Я не знаю как провести исследование функции, не умею строить ее график

Предварительный просмотр:

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

План занятия №___6___

ПО ДИСЦИПЛИНЕ Математика

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Петухова И.С.

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: Ихтиология и Рыбоводство

ВРЕМЯ: 9 30 -10 50

ТЕМА: Дифференциал функции.

ВИД ЗАНЯТИЯ: урок

ТИП УРОКА: комбинированный

ОБОРУДОВАНИЕ УРОКА: мультимедиа, раздаточный материал

1. Организационный момент

- проверка состава студентов

  1. Определение производной
  2. Основные правила дифференцирования

- производная суммы или разности двух функций

- производная произведения функций

- производная частного функций

- производная сложной функции

с) Производные основных элементарных функции

d) Применение производной

Индивидуальные задания по нахождению производных

Устный фронтальный опрос

Индивидуальная работа по карточкам с элементами взаимоконтроля

3. Подведение итогов проверки знаний студентов

Анализ, комментарии преподавателя

5. Изложение нового материала по теме

  • Определение дифференциала функции.
  • Приложения дифференциала.

с применением мультимедиа

6. Закрепление изученного материала.

  • Нахождение дифференциала функции
  • Вычисление приближенного значения функции
  • Вычисление приращения функции

Решение задач письменно с комментариями преподавателя

6. Подведение итогов урока, выставление оценок.

Обобщение с комментариями преподавателя

7. Задание для самостоятельной работы студентов во внеурочное время:

сборник домашних работ, работа №5, конспект

Изложение нового материала:

Определение дифференциала функции.

Сегодня мы продолжаем изучение раздела Дифференциальное исчисление и знакомимся с таким понятием как Дифференциал функции. Научимся применять это понятие к решению математических и не только задач. Новое понятие дифференциала функции мы рассмотрим на частном примере.

Рассмотрим функцию . Вопрос : Чему равна производная этой функции? Ответ: 2х. А теперь представим приращение этой функции в виде развернутой формулы. Вопрос: Как обозначается приращение функции? Ответ: Как мы помним, из определения приращения ∆y = y(x+∆x) – y(x). А для нашей функции , . Обратим внимание на первое слагаемое. Множитель 2х – это производная нашей функции. Второе слагаемое будет стремиться к нулю, если стремится к нулю. Видим, что , где . Оставшееся слагаемое называют главной частью приращения и называют дифференциалом функции. Запишем данное понятие в общем случае.

Рассмотрим дифференцируемую в точке функцию . Ее приращение можно представить (аналогичным образом) в виде , где - главная часть приращения, где , а стремится к нулю при .

Определение: Главная, линейная относительно , часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается . Для удобства записи в данном случае заменяют на dx. (Но при вычислениях замену не производят)

Итак, дифференциал вычисляют по формуле: . (1) (написать на доске формулу)

Нахождение дифференциала функции рассмотрим на примере.


Пример: Найти дифференциал функции: .

Дифференциал функции применяется при решении многих математических задач. Сегодня мы рассмотрим два типа задач, которые возможно рационально решить, используя понятия дифференциал. Кроме, того, мы применим дифференциал функции при решении задач профессиональной направленности.

Рассмотрим первый тип задач.

  1. Приближенные вычисления значения функции в заданной точке.

Из прошлогоднего курса математики, вам известна формула для приближенных вычислений значения функции Преобразуем выражение, перенесем в левую часть, получим: . Правая часть есть дифференциал функции. Значит, чтобы найти значение функции в заданной точке, необходимо воспользоваться формулой (2) написать на доске .

Покажем на примере:

Пример 2: Вычислить значение функции в точке .

Для удобства счета выберем вблизи заданной точки точку . Тогда приращение аргумента будет равно , . Вычислим значение функции в точке : .

Затем найдем дифференциал функции по формуле (1): .

И, учитывая, что вычислим его в точке : . Подставим в формулу (2):

Итак, приближенное значение данной функции в точке равно: . Обратите внимание, что без калькулятора вычислить чему равно значение функции в точке 2.04 довольно сложно, так как здесь высокая степень многочлена. А используя дифференциал, мы вычислили устно приближенное значение функции. Такие расчеты также рационально использовать в физике.

Рассмотрим второй тип задач.

  1. Вычисление приращения функции в заданной точке. Из формулы приближенного вычисления значения функции получим: . Значит (3) написать на доске

Рассмотрим на примере:

Пример 2: Найти приращение функции в точке и при приращении .

Рассмотренные три основных формулы, будем применять на практической работе. Также они вам встретятся при выполнении интернет-тестирования. А сейчас рассмотрим пример применения понятия дифференциала в вашей профессиональной деятельности. ( на слайде задача)

Задача: Предприниматель Рыбкин разводит радужную форель в своем рыбхозяйстве. Статистическим путем за годы работы он сделал вывод, что численность популяций в зависимости от времени для данных условий разведения определяется формулой . Определить изменение численности популяции форели с 3-го года и до 7 лет работы рыбхозяйства.

Вывод: За 4 года работы рыбхозяйства численность популяции увеличилась на 7784 единицы.

Закрепление изученного материала.

Нахождение дифференциала функции

Задание: 1 . Найти дифференциал функции:

Задание 2: Вычислить значение функции в точке .

Для удобства счета выберем вблизи заданной точки точку . Тогда приращение аргумента будет равно , Вычислим значение функции в точке : .

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Разработка по математике

учителя математики МБОУ СОШ №49

ст.Смоленской Северского района Свидиной Е.Г.

Отдельные параграфы (2,3,4,5,6) рекомендуется рассмотреть на уроках математики при индивидуальной работе с сильными учащимися.

В предлагаемой работе содержится 8 параграфов, оснащенных теоретическим материалом по свойствам функций. Каждый параграф посвящен изучению того или иного свойства функции. Весь теоретический материал иллюстрируется решением примеров и задач.

Предложенные задачи для самостоятельного решения могут служить материалом для классных и домашних заданий.

Первые страницы работы посвящены начальным понятиям функции. Формирование этого понятия осуществляется путём разбора достаточного числа специально подобранных упражнений.

Почти ко всем задачам для самостоятельного решения даны ответы, которые приводятся в конце изучаемого параграфа.

В данной работе используются символы:

! – существует и притом единственный;

Элементарные функции.

Определение: Даны два множеств X и Y. Закон соответствия f : каждому x из X соответствует только одно значение y из Y называется функцией.

Определение: Г рафик функции – это некоторое множество точек ( x , f ( x )) при х из X .

Способы задания функции:

Аналитический (задается формулой);

Табличный ( используется в приложениях, можно использовать, когда множество значений конечно и не слишком большое);

Графический (используется очень редко, так как дает общий вид, но саму функцию определить почти невозможно).

1. Является ли функцией площадь треугольника, две вершины которого зафиксированы, а третья лежит на некоторой кривой?

hello_html_m76547642.jpg

Является функцией, так как при изменении h меняется S (взаимно – однозначное соответствие).

2.Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне. Угол при основании равен . Является ли площадь трапеции функцией боковой стороны?

Таким образом, площадь трапеции является функцией боковой стороны.

Задачи для самостоятельного решения:

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания.

а) объём пирамиды функцией стороны основания?

б) боковая поверхность функцией объёма?

2. Является ли площадь прямоугольника функцией его периметра?

3. Является ли площадь треугольника АВС функцией его периметра, если АВ=2ед., угол ?

4. Является ли вес тела функцией его объёма, если удельный вес p = 2 (плотность)?

5. Является ли путь, пройденный телом за время t , функцией времени?

а) является; б) является;

Только при равномерном движении .

Определение: Функции y = f ( x ) и y = g ( x ) называются тождественно – равными на некотором множестве М, если они определены на М и для любого а из М выполняется равенство f (а)= g (а).

1.Являются ли функции y = f ( x ) и y = g ( x ) тождественно – равными? Если да, то указать на каком множестве.

Ответ: на множестве неотрицательных чисел.

Ответ : на множестве неотрицательных чисел.

При исследовании функций рассматривают следующие свойства функций:

Наибольшее и наименьшее значения;

Каждое из свойств функции мы рассмотрим в отдельности.

§ 1.Ограниченность функции.

Определение: Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что . Число М называется верхней границей функции f ( x ).

Верхних границ может быть много, наименьшая из них называется точной верхней гранью.

Определение: число m называется нижней границей, если . Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней гранью.

Определение : функция ограничена сверху и снизу, если :.

Множество верхних границ ;. М=1 – точная верхняя граница.

Множество нижних границ ;-, m =-5 – точная нижняя граница.

Определение: функция называется неограниченной сверху (снизу), если.

Пример: Доказать, что функция , является ограниченной и сверху, и снизу.

Итак, множество верхних границ ;.

, значит множество нижних границ ;.

Задачи для самостоятельного решения:

1.Показать, что функция ограничена снизу.

2. На каких множествах ограничены снизу и сверху функции:

3. На каких множествах функция ограничена сверху и неограниченна снизу; ограничена снизу и не ограничена сверху; не ограничена ни сверху, ни снизу?

Определение : Функция называется нечетной, если её область определения симметрична относительно начала координат и для любого x из области определения функции.

Определение: Функция называется четной, если её область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения функции.

График четной функции симметричен относительно оси ОУ, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примеры четных функций: , ,.

Примеры нечетных функций: ,.

Задание 1 : Доказать, что функции в выше приведенных примерах являются четными или нечетными.

Теорема: любую функцию , определенную на области определения , симметричной относительно точки О(0;0) моно представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Представим в виде:

Свойства четных и нечетных функций:

Если и -четные, заданные на одной и той же области определения (если нет, то надо рассматривать пересечение областей) функции, то

;, где - тоже четные функции.

Если и нечетные, заданные на одной и той же области определения функции, то - нечетная функция.

Задание 2: доказать выше приведенные свойства четных и нечетных функций.

Задача 1 : Является ли функция четной или нечетной?

Найдем область определения функции ,

Таким образом, и область определения симметрична относительно О(0;0), значит функция - нечетная.

Задачи для самостоятельного решения:

Убедиться, что функция является четной.

Убедиться, что функции и не являются четными.

Какие из функций являются четными

Какие из функций являются нечетными

Существует ли функция определенная на всей числовой оси, которая одновременно была бы:

а)нечетной и возрастающей;

б) нечетной и убывающей;

в) четной и возрастающей?

Изобразите схематически графически.

3. b ), c ), d ), f ), g );

§3. Периодичность.

Определение: функция называется периодической, если существует число Т, такое что (для любого из области определения) и выполняется равенство .

Область определения периодической функции должна быть неограниченной.

Свойства множества периодов:

Если является периодом функции , то тоже является периодом .

Если и - периоды функции , то тоже период функции .

3.Если период, то тоже период, где .

Это свойство следует из второго свойства.

Свойства периодических функций:

1)Если некоторая точка , то ,.

Это свойство следует из определения периодической функции.

Пример: не периодична, так как ;.

2)Периодическая функция либо не имеет нулей, либо имеет их бесконечное множество.

Пусть , тогда ,где .

Пример: не периодична, так как имеет только два нуля при и .

3)Если периодическая функция непрерывна на всей числовой оси, то она ограничена.

То есть функция периодическая и ограничена и снизу, и сверху, и является непрерывной.

б) периодическая, не является непрерывной и не ограничена.

4) Всякая непрерывная монотонная функция не является периодической.

Пример : - монотонная, непрерывная и непериодическая функция.

Пусть дана непрерывная функция,.

Если возрастает, то по определению возрастающей функции. А это значит , что не периодична.

Аналогично доказывается, что если непрерывная и убывающая, то она не периодична.

5)Если функция такова, что любое число является периодом, то .

Пусть , так как любое число может быть периодом.

.А это значит, что .

6) непрерывная периодическая функция, не являющаяся постоянной, имеет наименьший положительный период.

Пример: имеет периоды , , …

Наименьший положительный период .

7)Пусть непрерывная периодическая функция с периодом ;

непрерывная периодическая функция с периодом ; тогда функция

является периодической тогда им только тогда, когда

(соизмеримы периоды), где - рациональное число, и .

Из свойств периодов имеем, что является периодом и и .

Пример: выяснить периодична ли функция и найти в случае периодичности период.

- соизмеримы. Наименьший положительный период .

Пример: найти наименьший положительный период функции .

Предположим, что данная функция периодическая, то есть существует такое, что выполняется равенство: .

Проверим справедливость нашего утверждения:

Решая уравнение относительно величины , получим (1)

Величина , определяемая (1) не удовлетворяет определению периода, так как зависит от . (2) задает бесконечное множество чисел ,

Наименьшим положительным периодом является .

Задачи для самостоятельного решения:

Выяснить периодичны ли функции. Найти наименьший положительный период:

Ответы:1. a ) нет; b ) да ; c ) да ; d ) да e ) да ; f ) да ; g ) нет; h )нет.

§4. Монотонность функции.

Определение: Функция называется возрастающей на некотором множестве М из области определения, если

Определение : Функция называется убывающей на некотором множестве М из области определения, если

Определение : Функция называется монотонной на множестве М, если она убывает или возрастает.

Пример1: П роверить монотонность функции .

Возьмем и пусть .

Исследуем знак разности:

Знаменатель дроби всегда больше нуля, числитель меньше нуля. Таким образом, и функция является возрастающей.

Задачи для самостоятельного решения:

Проверить монотонность функции:

Теорема: Для того, чтобы функция возрастала (убывала) на данном интервале, достаточно чтобы производная была положительной (отрицательной) в каждой точке этого интервала. Если при этом функция непрерывна в каком – либо из концов промежутка возрастания (убывания), то этот конец можно присоединить к упомянутому промежутку.

Замечание: Подчеркнем, что требование положительности (отрицательности) производной на данном промежутке не является необходимым возрастания (убывания) функции на этом промежутке, но является достаточным.

Так, функция возрастает на, но производная этой функции не является положительной в каждой точке числовой прямой (она обращается в нуль при ).

Пример : Исследовать функцию на монотонность.

Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент положителен, то для любого .

Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Теорема 2: Функция возрастает (убывает) на промежутке, если производная этой функции положительна (отрицательна) всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна (в этих точках производная может и не существовать).

Пример 2: Найти промежутки монотонности функции.

Так как при всех и при , то возрастает на .

Пример 3: Исследовать на монотонность функцию .

Функция непрерывна на .

Представив функцию в виде ; находим или .

Очевидно, что для всех , за исключением одной точки

(В этой точке производная не существует), в которой функция непрерывна. Следовательно, функция возрастает на .

Пример 4: Найти промежутки монотонности функции .

Представив функцию в виде ,

при ; не существует при .

Точки 0 и 1 разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых производная сохраняет постоянный знак: при и ; при .

Учитывая непрерывность функции в точках 0 и 1, заключаем, что функция возрастает на промежутках и убывает на .

Задачи для самостоятельного решения :

2. Исследуйте на монотонность функции:

3 . Указать какие из функций являются возрастающими или убывающими на всей числовой прямой

Свойства монотонных функций:

Пусть и некоторые функции на множестве .

Если функция убывает (возрастает) на множестве , то функция

, где , убывает (возрастает) на ;

убывает (возрастает) при ;

возрастает (убывает) при .

Если функции и возрастают (убывают), то функции возрастают (убывают).

Если и функции возрастающие, то функция возрастающая.

Пример 5: . Функция является возрастающей на .

Если и возрастают, то функция убывающая.

Пример 6: Функция является убывающей на .

Следствие из свойства 3) и 4):

Если и возрастает, то ) тоже возрастает.

Если и возрастает, то убывает.

Пример 7: и возрастает на ;

Функция возрастает и , тогда убывает, если возрастает и отрицательна, то возрастает.

6)Если возрастает и неотрицательна, то тоже возрастает.

7) если возрастает, тогда возрастает при и убывает при

Пример 9 : Используя свойства найти промежутки убывания и возрастания функции .

на возрастает. Значит тоже возрастает (свойство 1), кроме того неотрицательна на . Следовательно, функция убывающая (свойство 4).

Итак, убывает на .

на убывает. Значит, убывает на (свойство 1). Кроме того, положительна.

Значит, функция возрастает на .

Ответ: убывает на ; возрастает на.

Задачи для самостоятельного решения:

4.Найти промежутки убывания и возрастания функции, используя свойства монотонных функций:

1.а) возрастает на ; б) убывает на , возрастает на ; в) возрастает на ; г) возрастает на и убывает на; д) возрастает; е) убывает на и возрастает

2.а) убывает на и возрастает на ; б) возрастает на ;

в) убывает на и возрастает на ; г) убывает на и возрастает на ; д) возрастает на и убывает на ; е) убывает на и возрастает на .

3. а) убывает; б) возрастает; в) убывает.

4.а) возрастает на и убывает на ;

б) убывает на и возрастает на ; в) возрастает на ;

г) убывает на и возрастает на ;

д) убывает на и возрастает на ;

е) возрастает на .

Говорят, что функция имеет в точке максимум (или минимум), если найдется такая s –окрестность точки , принадлежащая области определения функции, что для всех , принадлежащих промежутку выполняется неравенство (соответственно ).

Изображена a x 1 x 2 x 3 x 4 b

имеющая в точках и максимумы, а в точках и минимумы.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называются экстремальными значениями функции.

Для функции, график которой изображен на рисунке точки a и b не являются точками экстремума функции, так как в любой сколь угодно малой окрестности этих точек найдутся точки, не принадлежащие области определения функции.

Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции:

Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю, то есть .

Обратное утверждение , вообще говоря , неверно – если в точке производная , то функция в точке может не иметь экстремума.

В точке , но функция не имеет экстремума в данной точке.

Определение : Критическими точками функции в промежутке называются точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие существования экстремума функции:

Пусть функция определена и непрерывна в промежутке и на всем этом промежутке (за исключением, быть может, конечного числа точек) дифференцируема.

Пусть - критическая точка функции и в некоторой

s - окрестности этой точки, по крайне мере для существует конечная производная , которая слева и справа от сохраняет знак (возможно, с разных сторон разный).

Тогда возможны следующие три случая :

при и при , то есть производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус.

В этом случае в промежутке функция возрастает, а в промежутке убывает, так что значение будет наибольшим на , то есть функция в точке имеет максимум;

при и при , то есть производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс.

В этом случае в точке функция имеет минимум;

при и при ; либо

при и при , то есть при переходе через точку производная не меняет знака;

Тогда функция либо возрастает, либо убывает на промежутке и в точке - экстремума нет.

hello_html_3ca6ff51.jpg

Итак , первое правило для проверки критической точки на экстремум заключается в том, что подставляя в производную сначала , затем , устанавливают знак производной в окрестности точки слева и справа от неё. Если при этом её производная меняет знак с плюса на минус, то в точке - максимум; если с минуса на плюс – то минимум; если же знак не меняется, то экстремума нет.

На рис.2 производная функции при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс и функция в точке имеет минимум, а функция , производная которой при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, - максимум.

На рис.3 как функция , так и функция имеют в точке производную, равную нулю: при переходе через точку производный той и другой функции знака не меняют и экстремумов у функций и в точке нет.

На рис.4 и 5 изображены графики функций, которые не имеют производных в точке . В согласии с правилами смены знака производных для этих функций, они имеют соответственно минимум, максимум и не имеют экстремумов в точке .

Еще раз подчеркнем, что сформированное выше достаточное условие существования экстремума функции в точке пригодно как в случаях, когда производная в точке обращается в нуль, так и в случаях, когда в этой точке производная не существует, и применимо к непрерывным функциям, имеющим непрерывную производную на , за исключением, быть может, конечного числа точек.

Пример 2: Найти экстремумы функции .

Найдем производную данной функции: .

Для того, чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю

Для того, чтобы построить график функции необходимо провести полное исследование заданной функции. Затем поэтапно, используя полученные результаты, построить график.

Как построить график функции?

После краткого описания пунктов исследования, приведем ряд примеров по теме построения графиков функции с полным предварительным исследованием.

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

. Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут .

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале - график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна - график ниже оси абсцисс.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна - график функции возрастает, отрицательна - убывает.

6. Выпуклость, вогнутость.

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна - график функции выпукл вверх. Отрицательна - график функции выпукл вниз.

7. Наклонные асимптоты.

Пример исследования функции и построения графика №1

Пример исследования функции и построения графика №2

Пример исследования функции и построения графика №3

Пример исследования функции и построения графика №4

Пример исследования функции и построения графика №5

Пример исследования функции и построения графика №6

Пример исследования функции и построения графика №7

Пример исследования функции и построения графика №8

Пример исследования функции и построения графика №9

Пример исследования функции и построения графика №10

Пример исследования функции и построения графика №11

Пример исследования функции и построения графика №12

Пример исследования функции и построения графика №13

Пример исследования функции и построения графика №14

Пример исследования функции и построения графика №15

Пример исследования функции и построения графика №16

Пример исследования функции и построения графика №17

Пример исследования функции и построения графика №18

Пример исследования функции и построения графика №19

Пример исследования функции и построения графика №20

Пример исследования функции и построения графика №21

Пример исследования функции и построения графика №22

Пример исследования функции и построения графика №23

Пример исследования функции и построения графика №24

Пример исследования функции и построения графика №25

Пример исследования функции и построения графика №26

Пример исследования функции и построения графика №27

Работа содержит 1 файл

курсач.doc

    1. Цели изучения функций в основной школе

    Понятие функции в математике является одним из основных. Основные понятия алгебры и геометрии трактуются на функциональной основе.

    Использование свойств функций лежит в основе метода решения математических задач. Например, при решение уравнений и неравенств, их систем, часто полезно сравнивать области значений функций, стоящих в левой и правой частях. Может оказаться, что их пересечение пусто или равно одной точке. Это позволяет сделать вывод о решение уравнения или неравенства. При решение задач с параметрами часто помогают найти решение графики рассматриваемых в задании функций. Вообще графическое решение, основанное на использовании графиков функций, является одним из методов решения математических задач.

    Функция имеет общекультурное, мировоззренческое значение. Ее изучение знакомит учащихся с идеей всеобщей связи, идеей непрерывности бесконечности, интерполяции (приближения). Все процессы, зависящие от времени, представляют собой функциональные зависимости. Функция является моделью многих реальных процессов. Изучение свойств функций позволяет познавать явления окружающего мира. Функциональные зависимости используются в разных науках и учебных дисциплинах. Изучение функций в школе позволяет показать учащимся значимость и распространенность этого понятия, увидеть, что практически нет учебных предметов, где бы не изучались функции; многие законы, связи имеют функциональную основу.

    Если рассматривать развивающие цели, то изучение функций, в первую очередь, способствует развитию функционального мышления, отвечающего за видение зависимости между изменениями разных объектов, а так же целям, которые ставятся при изучение алгебраического материала (развитие умения работать с абстрактным материалом, умения ан6ализировать и д.р.).

      • переменная величина, числовое значение которой изменяется в зависимости от числового значения другой;
      • закон (правило), по которому значения зависимой переменной величины зависят (соответствуют) от значений рассматриваемой независимой переменной.

      Такого рода определения появились ранее второго блока определений, которые относят к современным, имеющим теоретико-множественную основ:

      • пусть X и Y – два произвольных множества. Говорят, что на X задана функция, принимающая значение из Y, если элементу x из множества Х поставлен в соответствие один и только один элемент из Y;
      • функция рассматривается как закон, по которому элементу х из множества Х ставится в соответствие один и только один элемент из Y;
      • функция рассматривается как соответствие, по которому элементу х из множества Х ставится в соответствие один и только один элемент из Y;
      • Отношение хFy, где х принадлежит Х, а у принадлежит Y, называется функциональным, если порожденное им множество пар однозначно, то есть в нем нет различных пар с одинаковыми первыми элементами.

      Исторический подход к понятию функции в школьном курсе предполагает повторение в обучение этапов, через которые это понятие прошло в науке. Но в школе изучают только зависимости между числами, поэтому рассматриваются только числовые функции. Изучение этого понятия имеет шесть уровней.

        1. Пропедевтический уровень (первый этап). Имеет место в начальной школе. При изучение различных тем учащимся разъясняется, что такое зависимости между величинами. Например, уже при изучении сложения учащиеся наблюдают, что происходит со значение суммы при изменении одного из слагаемых. При решение задач, они рассматривают зависимости изменения одной величины от другой, на пример стоимости от цены.

      По окончанию начальной школы у учащихся есть все знания, необходимые для решения уравнения типа 2 + 56 : (3(х – 3) – 7) = 9. они решают их на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий. Сначала определяют, какое действие выполняется последним, затем находят, какой компонент этого действия содержит неизвестное, выражают этот компонент через остальные и т.д., до тех пор, пока в качестве компонента не будет неизвестное. В данном примере последнее действие – сложение, неизвестное в слагаемом, следовательно, выражаем это слагаемое через разность суммы и другого слагаемого.

      Четвертый, пятый и шестой уровни изучения функций реализуются в старшей школе.

      1.4. Изучение функции с учетом когнитивных стилей учащихся

      В школе в основном реализуются формальный и аналитический подходы к изучению функций, т.е. ученики запоминают определение понятий, формулировки свойств формально, без подкрепления графическими примерами. Это связано с тем, что в большинстве заданий приводятся функции, заданные аналитически, а упражнения образного характера и графикам уделяется недостаточное внимание. В комплектах учебниках Мордковича А.Г. и др. предпринято попытка подойти к изучению функции менее формально, максимально используя графическое представление функции.

      Обучение функциям позволяет одну и туже информацию представлять в различной форме соответствующей разным познавательным стилям. Так, одни и те же задания можно выполнять двумя способами: графически и аналитически. Кроме того, при рассмотрение функций у учителя появляется возможность многие понятия и свойства вводить многосенсорно.

      Можно выделить некоторые особенности организации изучения тем линии функции с учетом психофизиологических особенностей учащихся.

      Во-вторых, на этапах введения и закрепления понятия целесообразно организовать работу в парах. Учитель должен помочь ученикам перейти в другие модальности. Для кинестетиков желательны вопросы о том, что они слышали и видели, для аудиалов – что видели, для визуалов - что слышали.

      В-третьих, для организации работы с учебным материалом, рассчитанным на разные познавательные стили, целесообразно организовывать задания в блоке, называемые блоками стратегий. В каждый блок включаются задания с одинаковой математической сутью, но позволяющие работать с разными стратегиями, например, аналитической и графической.

      Читайте также: