Геометрический метод решения задач в начальной школе

Обновлено: 07.07.2024

Существует несколько способов решения текстовых задач:

арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели. В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи. В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи. В геометрическом способе математической моделью является геометрическая фигура, а решение задачи – это один из найденных элементов этой фигуры. В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи. В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи являются координаты определённых точек графиков.

На этом занятии мы рассмотрим геометрический способ решения текстовых задач.

Геометрический способ решения текстовых задач заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Этот способ делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. Для составления математических моделей задач геометрическим способом чаще всего применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади. Рассмотрим следующую задачу.

На одно платье и три сарафана пошло 9м ткани, а на три таких же платья и пять сарафанов – 19м ткани. Сколько ткани требуется на одно платье и на один сарафан?

Во-первых, составим геометрическую модель этой задачи. Изобразим одно платье синим отрезком одной длины, а три сарафана – тремя синими отрезками другой длины. Все четыре отрезка будут моделировать количество ткани, использованное для пошива платья и трёх сарафанов, то есть 9м. Ниже смоделируем соответствующими отрезками условие задачи, что на три таких же платья и пять сарафанов потратили 19м ткани, значит, начертим три синих и пять красных соответствующих отрезка. Так как во втором условии задачи платьев в три раза больше, чем в первом условии, то в третьей строке начертим три фигуры первой строки, получим три синих и девять красных отрезков общей условной длиной 27м.

Рассмотрим другую задачу на применение геометрического метода с использованием свойств площади прямоугольника.

Токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в срок. Однако он делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей должен был изготовить токарь?

Так как в этой задаче общий объём изготовленных деталей зависит от производительности и времени работы токаря, то наиболее удобной моделью этой задачи будет прямоугольник. Одна из его сторон будет характеризовать производительность, а другая – время работы. Так как объём выполненной работы равен произведению скорости выполнения работы на время, а площадь прямоугольника равна произведению её сторон, то общее количество сделанных деталей будет отражать площадь смоделированного прямоугольника. По условию задачи токарь должен был изготовлять по 24 детали в день, чтобы выполнить задание в срок, значит, изобразим прямоугольник длиной 24условных единицы и шириной t единиц, где t – характеризует время, необходимое для выполнения задания в срок.

Однако по условию задачи токарь делал в день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Значит, смоделируем новый прямоугольник длиной большей на 15 условных единиц и шириной меньшей на 6 условных единиц и наложим для сравнения его на первоначальный прямоугольник. Таким образом, плановое выполнение деталей соответствует сумме площадей двух прямоугольников S1 + S2, а фактическое выполнение больше плана на 21 деталь, то есть S1 + S2 + 21. Из чертежа несложно определить, что S2 = 24умноженное на 6, то есть S2 = 144(деталям). Значит, площадь красного прямоугольника будет выражена 15умноженное на t – 6 с одной стороны, и 144 + 21 с другой стороны. Решая несложное уравнение 15t – 90 = 165, получаем, что t = 17. Таким образом, по плану токарь должен был затратить 17 дней. Следовательно, по плану токарь должен изготовить 17 умноженное на 24 деталей, то есть 408 деталей.

Мы рассмотрели геометрический способ. Этот способ полезен тем, что он позволяет избежать громоздких вычислений. Для успешного применения этого способа важно научиться видеть фигуры, позволяющие увязать известные и неизвестные величины из условия задачи.

Чтобы решить текстовую задачу геометрическим способом, надо

1. смоделировать условия задачи в геометрические фигуры, чаще это отрезки или прямоугольники;

2. увязать числовые данные и неизвестные искомые величины, упомянутые в условии задачи;

3. опираясь на свойство отрезков, что длина отрезка равна сумме всех его частей, на которые он разбивается любой его точкой, или на свойство площади прямоугольника, что площадь прямоугольника равна сумме площадей всех его фигур, на которые он разбит, составить числовое выражение или несложное уравнение с переменной. Значение числового выражения или решение уравнения позволят ответить на главный вопрос задачи.

Аннотация. В статье описываются методы решения математических задач в начальной школе. Более подробно представлен вниманию геометрический метод решения нестандартных математических задач, целесообразность которого подтверждается соответствующими примерами.

Роль математического образования всем известна с давних пор. Ведь математика – это не только база экономики и естественных наук, но и очень важный компонент интеллектуального развития школьников.

А. К. Мендыгалиева определяет нестандартные задачи, как задачи не имеющих общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. В методике их смешивают с задачами повышенной сложности. «Решение нестандартной задачи предполагает от учащихся проведение исследования. В тоже время, если решение одной и той же задачи по математике для одного учащегося является нестандартным, поскольку он незнаком с методом его решения, то для другого ученика – решение этой же задачи происходит стандартным образом, так как он уже умеет решать такие задачи. Одна и та же задача по математике в начальной школе может быть нестандартной, а в основной школе она уже является обычной, то есть не повышенной сложности [1].

Содержание начального курса математики раскрывается учащимся через единую систему целесообразно подобранных задач. Значительное место в этой системе занимают текстовые задачи.

К сожалению, многие учителя придерживаются шаблонов, которые при решении такого рода задач ограничиваются только арифметическим и алгебраическим методом. Считается, что решение задач арифметическим методом подготавливает учащихся начальной школы к осознанному решению задач с помощью составления уравнения, то есть к алгебраическому методу.

Например, рассмотрим следующую задачу, которая легко решается с помощью арифметического метода:

Арифметически эту задачу можно решить в 2 действия:

В первом действии мы выясняем, какова скорость сближения велосипедистов:

Во втором действии мы выясняем, через какое время велосипедисты встретятся:

Ответ: велосипедисты встретятся через 2 часа.

Приведем несколько примеров, способных расширить границы применения геометрического метода при решении текстовых задач в начальной школе.[2, с.3-10].

Пример 1. Задача на движение по прямой.

Существует несколько способов решения данной задачи.

Решение в одно действие:

4 км/ч * 3 ч = 12 (км) – расстояние, которое пройдёт господин N через 3 часа со скоростью 4 км/ч.

Решение с помощью построения графика на координатной плоскости:

1) На горизонтальной прямой отметим начало координат - т. О (назовём ось - Ох). На данной оси будем откладывать время движения господина N (единичный отрезок равен одному часу).

2) На вертикальной оси, проходящей через начало координат (ось Оу), будем откладывать расстояние, пройденное господином N (единичный отрезок равен одному часу).

3) За начало движения господина N берём точку О(0;0).

4) На оси Ох откладываем точку, координата которой равна 1 час. На оси Оу откладываем точку, координата которой равна 4 км. Точка В(1;4) показывает, что господин N за 1 час прошёл расстояние в 4 км.

5) Известно, что господин N движется по прямой (по шоссе). Через точку О(0;0) и точку В(1;4) проведём прямую. Данная прямая будет являться графиком движения господина N (Рис.1).

Существует несколько способов решения данной задачи.

I способ: арифметический:

1) 6 км/ч *3 ч = 18 (км) – расстояние, которое прошёл Петя за 3 часа.

2) 12 км/ч – 6 км/ч = 6 (км/ч) – разница между скоростями Вовы и Пети.

3) 18 км :6 км/ч = 3 (ч) – время, через которое Вова догонит Петю.

II способ: решение с помощью построения графика на координатной плоскости:

1) На горизонтальной прямой отметим начало координат - т. О (назовём ось - Ох). На данной оси будем откладывать время движения мальчиков (единичный отрезок равен одному часу).

2) На вертикальной оси, проходящей через начало координат (ось Оу), будем откладывать расстояние, пройденное мальчиками (единичный отрезок равен одному часу).

3) За начало движения Вовы берём точку О(0;0). Отмечаем на графике точку D(1;6) – это означает, что за 1 час Вова пройдёт 6 км.

4) На оси Ох отмечаем точку А(3;0) - из этой точки будет строиться график движения Вовы, так как он выехал на 3 часа позже Пети.

5) Отмечаем на графике точку В(4;12) – эта точка означает, что через 1 час после движения Вовы прошло 4 часа от начала движения Вани; при этом Вова двигался со скоростью 12 км/ч.

6) Проводим прямую через точку А(3;0) и В(4;12) – график движения Вовы.

7) На графике находим точку, которая будет являться пересечением графиков движения – место, где Вова догонит Петю. Обозначим её буквой С(6;36). Это значит, что Вова догонит Петю на расстоянии 36 км от пункта А через 3 часа от начала своего движения. (Рис.2).

Пример №3. Задача на совместную работу.

Существует несколько способов решения данной задачи.

I способ: арифметический:

Найдём время, за которое выполнит работу вторая бригада с учётом того, что первая бригада уже отработала 2 часа:

Найдём время, за которое обе бригады закончат работу:

II способ: решение с помощью построения графика на координатной плоскости:

На горизонтальной прямой отметим начало координат - т. О (назовём ось - Ох). На данной оси будем откладывать время, за которое бригады выполнят работу (единичный отрезок равен 1 недели).
На вертикальной оси, проходящей через начало координат (ось Оу), будем откладывать работу, которую необходимо выполнить (так как про данную величину информация не дана, то ставим на оси Оу произвольно точку О₁ и проводим дополнительную ось времени - О₁х_1).
Построим график работы бригады N. Для этого необходимо через точку, соответствующую 7 неделям, провести вертикальную прямую до пересечения с дополнительной осью времени – осью О₁х₁ (также её можно назвать осью завершения работы). Потом соединим точку О(0;0) и точку В(7;7) – точка пересечения осей. Полученная прямая будет являться графиком работы первой бригады.
Построим график работы бригады Р. Для этого сначала нам необходимо предположить, что обеим бригадам надо выложить участок определённой длины. Первая бригада начала выкладывать плитку с одной стороны, а вторая – с противоположной. Так как бригады движутся навстречу друг другу, и вторая бригада начала свою работу позже на 2 недели, то график движения бригады Р мы начнём строить из точки А(2;7). Так как вторая бригада может выполнить задание за 10 недель и она начала свою работу через 2 недели после первой бригады, то точка, которая будет являться точкой окончания работы второй бригады, имеет координаты С(12;0).
Буквой D(5;5) обозначим точку пересечения графиков работ двух бригад. Отсюда можно сделать вывод, что бригады закончат работу за 5 недель (Рис.3).

Подводя итоги всему вышесказанному, можно сделать вывод о том, что геометрический метод, наравне с арифметическим и алгебраическим, можно считать вполне целесообразным. Ведь он позволяет ученикам не только больше рассуждать над задачей, но и шире рассматривать законы математики, использовать геометрические представления и элементы аналитических методов уже на начальном этапе изучения математики. Согласно требованиям ФГОС НОО, чтобы обучение младших школьников было наиболее эффективным, необходимо использование при решении математической задачи максимального количества верных решений и их разнообразных записей, в том числе и геометрического метода, что является основой возможности предоставления ученикам выбора при обучении решению задачи.

3. Полунина И.А., Стойлова Л.П. Задачи в начальном курсе математики и проблемы обучения их решению. Начальная школа,2010, № 1.

Одной из целей обучения учащихся математике на первой ступени общего среднего образования является освоение детьми окружающего пространства, развитие у них пространственных представлений. Реализовать данную цель позволяет организация работы учащихся на учебных занятиях по изучению геометрического материала: знакомство с телами, поверхностями, линиями, выделение фигур определенной формы, некоторых характеристик этих фигур, а также решение задач геометрического содержания (на нахождение периметра, длины, ширины, площади фигур). Как свидетельствует опыт педагогов, освещенный на страницах научно-методических журналов, решение задач геометрического содержания вызывает особую трудность у учащихся младшего школьного возраста. Несмотря на большой интерес у учащихся к геометрическим задачам, у многих из них не вырабатывается достаточно ясных представлений и ориентировки в изучаемых фигурах. Я решила определить, благодаря каким методам и приемам мне удается эффективно обучать учащихся решению задач геометрического содержания. Проанализировав свой опыт организации и проведения учебных занятий по математике, я пришла к выводу, что использование мною метода моделирования содействует эффективному обучению учащихся решению задач на нахождение периметра, длины, ширины, площади геометрических фигур.

Цель опыта – обучение учащихся младшего школьного возраста решению задач геометрического содержания посредством использования на учебных занятиях по математике метода моделирования.

Описание сути опыта

Модель в математике есть абстрактное представление реальности в математической, символической, графической форме, предназначенное для представления определенных аспектов этой реальности и позволяющее получить ответы на изучаемые вопросы. Термином моделирование обозначают как построение (создание) моделей, так и их исследование. Составить математическую модель – значит перевести условия задачи в математическую форму, т. е. превратить слова в уравнение, формулу, неравенство и т. д., строго соответствующие исходному тексту. Говоря конкретнее, нужно установить математическую связь между всеми данными задачи.

На первой ступени общего среднего образования рассматриваются следующие величины: длина, площадь и другие. Учащиеся должны получить конкретные представления о них, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерения в различных единицах, выполнять арифметические действия над величинами. Измерительные и графические работы как наглядное средство используются при решении задач. Следовательно, изучение величин – это одно из средств связи обучения с жизнью [1, с. 284]. Решение текстовых задач геометрического содержания направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений. Понятие периметр раскрывается через понятие длины. Длина характеризует такое свойство как протяженность. Кроме термина длина, для обозначения протяженности, используют термины ширины, высота, которые обозначают длину предметов в других направлениях, перпендикулярных длине. Периметр – это длина контура, который замкнут.

Глубина и значимость открытий, которые делает младший школьник, решая задачи, определяется характером осуществляемой им деятельности и мерой ее освоения, тем, какими средствами это деятельности он владеет. Существенным является приобретение учащимися опыта в смысловом и математическом анализе различных текстовых конструкций задач и формирование умения представлять их в виде схематических и символических моделей. Схематические модели бывают вещественными (они обеспечивают графическое действие). К графическим моделям относятся рисунок, условный рисунок, чертеж, схема. Чтобы решить задачу нужно построить ее математическую модель.

В работе над задачами уделяю огромное внимание построению схематических и символических моделей, а также умению работать с отрезками, графически моделировать с их помощью задачи геометрического содержания. Считаю, что решить геометрическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, - её ответ.

На первой ступени общего среднего образования используются следующие виды задач с геометрическим содержанием:

1. Задачи на составление фигур (Приложение 1). Методика решения этих задач основана на практической деятельности учащихся, предложенной в задании. Эти задания развивают у учащихся внимание, восприятие и воображение.

2. Задачи на деление фигур на заданные фигуры (Приложение 2). При решении этих задач учащиеся пользуются методом побора, используя для обведения контура фломастеры разного цвета.

3. Задачи на распознавание геометрических фигур (Приложение 3). Задачи на распознавание фигур являются частью задач на деление фигур, т. к. всякое деление на заданную фигуру начинается с распознавания в воображении.

4. Задачи на нахождение суммы длин сторон многоугольника (ознакомление с периметром) (Приложение 4).

5. Задачи на построение с помощью линейки, циркуля (Приложение 5).

6. Задачи на вычисление площади (Приложение 6).

При решении обратных задач на нахождение длины или ширины используем модель прямоугольника (Приложение 9). При составлении схемы нетрудно понять, что сумма длины и ширины – это половина периметра. Обращаю внимание учащихся на то, что периметр (целое) состоит из двух основных частей, в каждую из которых входят длина и ширина. Ширину прямоугольника находим таким способом: (с:2)-а. Составляем уравнение: (а+х)*2=с

Как показала практика, этот метод хорош при работе со слабыми и средними по успеваемости учениками. Они запоминают, как взаимосвязаны между собой длина, ширина и периметр прямоугольника и как они вычисляются.

В дальнейшем учащиеся систематически решают задачи на вычисление периметра, а также задачи, им обратные. На примере это выглядит так (Приложение 10).

Используя моделирование, я развиваю у детей пространственные и геометрические представления. Моделирование задач является для учащихся действенным способом поиска решения, а обоснование младшими школьниками своих действий при построении модели способствует активизации мыслительной деятельности, развитию умения рассуждать, учит последовательно излагать свои мысли, способствует развитию вариантности мышления, а значит, делает процесс решения задач более приятным и интересным.

Для решения задачи используется полигон. Проводится беседа по вопросам:

Какую форму имеет участок, обнесенный забором?

Как вычислить площадь этого участка?

В каких единицах получим площадь?

Какими единицами можно измерить длину забора?

Как можно вычислить длину забора?

Решение задачи дети записывают в своих тетрадях, учитель на доске:

1) 6∙4=24 (м2 ) – площадь участка;

2) 6∙2+4∙2=12+8=20 (м) – длина забора, или периметр.

Ответы: 24 м2, 20 м

После изучения правила вычисления площади прямоугольника показываю прямую и обратную пропорциональную зависимость между величинами. Для этого я использую разные задания (Приложение 12).

При решении задач с геометрическим содержанием (например, составление фигур из заданных частей, вычленение различных фигур на сложном чертеже и т. п.) учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами площади. Они убеждаются, что площадь не изменяется при изменении положения фигуры на плоскости (фигура не становится ни больше, ни меньше).

Таким образом, практика работы показывает, что использование метода моделирования при решении задач геометрического содержания обеспечивает более качественный анализ задачи, осознанный поиск решения задачи, предупреждает многие ошибки в решении задач, что, в свою очередь, способствует повышению качества знаний учащихся по математике. Рисунки, схемы, чертежи не только помогают учащимся в выявлении скрытых зависимостей между величинами, но побуждает активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усвоить знания, но и овладевать умениями применять их на практике.

Текстовые задачи, на мой взгляд, трудный материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах.

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ , в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти .

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств).

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Схематический. Решить задачу схематическимспособом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.

Графический. Решить задачу графическим способом - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому отнесём их к нетрадиционным.

Решение текстовых задач арифметическим способом

В арифметическом способе решить задачу- это значит выполнитьарифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал грибов в 2 раза меньше, чем Саша, а Витя на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?

Решение данной задачи не вызывает трудность, если грамотно составить краткую запись:

Коля -?грибов, в 2 раза меньше, чем Саша;

Витя-?грибов, на 6 грибов больше, чем Коля;

Всего: Саша+ Коля+ Витя-? грибов.

В начальной школе нас учили решать эту задачу по действиям, отвечая последовательно на каждый вопрос задачи, а затем на главный вопрос.

22+11+17=50 (гр.) вместе.

Эту же задачу можно решить, записав числовое выражение:

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

1) 82 32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192:2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

5) 96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

1) 82 – 32 = 50 (чел.) - настолько больше учеников поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4) 78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 – 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

Решение текстовых задач алгебраическим способом

При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов:

3) Составление и решение уравнения или системы уравнений или неравенств (цель этапа – составить уравнение или неравенство, опираясь на условие задачи, и найти его решение). Необходимо учитывать область допустимых значений переменных (ОДЗ), чтобы составить уравнение нужно увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы. Например, s=vt.

5) Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Решим алгебраическим способом задачу 2, которую решали выше арифметическим способом.

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Пусть х учеников занимались танцами, тогда 82-х учеников пели в хоре и 32-х учеников занимались художественной гимнастикой. Составим уравнение по последнему предложение нашей задачи -поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников,значит

(82-х)+(32-х)=78, 2х=36, х=18 учеников занимались танцами, 82-18=64 ученика пели в хоре, 32-18=14 учеников занимались художественной гимнастикой.

Задача 3. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Пусть х деталей в день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10)деталей в день - новая производительность, Зх деталей – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Алгебраический способ решения задач является самым распространенными наиболее общим в школьном курсе изучения математики.

Решение текстовых задач геометрическим способом

Задача 4. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня.

Данную задачу можно решить алгебраическим способом, например, применив дважды, основное свойство пропорции, а можно, применив формулу изменения величины в процентах. Тогда если а – первоначальное количество продукции, а х - % увеличения, то а•(1-0,20)•(1+0,01х)=а. Решив уравнение, найдём х=25%.

Но геометрический способ, на мой взгляд, наиболее наглядно позволяет увидеть решение.

Решение: Представим первоначальный выпуск продукции в виде отрезка АВ Разделим его на 5 равных частей и отметим точку С на расстоянии 1/5 от В. Мы получим отрезок АС, равный 4/5 АВ. Из чертежа видно, что требуется найти какую часть составляет ВС от АС. Решение очевидно. Так как ¼ АС=ВС, тогда требуется увеличить выпуск продукции на ¼ АС, т. е. на 25%.

Ответ: на 25%.

Задача 7. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки?

Алгебраический метод приводит к уравнению: 35/(15-x)= 25/(15+x),где x – скорость течения реки. Решив уравнение, находим x=2,5км/ч.

Рассмотрим геометрический метод. Прямоугольники изображаем вместе, чтобы они составляли один большой прямоугольник. Высоты составляющих прямоугольников равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки. Пусть сторона АВ прямоугольника ABCD изображает скорость лодки по течению реки, ВЕ– скорость лодки против течения (BE ˂АВ), а отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки, AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через x скорость течения реки, а через t– время движения лодки по течению реки, то AB=15+х и EF=AD=t.

Площадь прямоугольника АВСD (S₁) будет соответствовать пути пройденному лодкой по течению реки: S₁=AB•AD=35.

4 де со скоростью 1 км/ч. Через какое время Женя догонит Ваню? Построим график движения Вани (на графике он изображен цветной линией, рис. 5*). Построим график движения Жени Рис. 5 Что нам известно о движении Жени? (Он ехал из того же города и в том же направлении со скоростью 1 км/ч.) Из какой точки будем строить график его движения? (Из точки B (3; ).) Почему? (Женя выехал из города, значит, точка, из которой мы начнем строить график его движения лежит на одной горизонтальной прямой с точкой. Женя выехал на 3 часа позже Вани, ищем точку (3; ) это точка В.) Что еще необходимо учитывать при построении графика движения? (Скорость движения.) Какова же скорость движения Жени? (1 км/ч.) Значит, через 1 час после начала движения Жени прошло 4 часа от начала движения Вани. Отмечаем на графике точку (4; 1) и проводим прямую через эту точку и точку B. ы построили график движения B Жени. Точка пересечения графиков движения место, в котором Женя догонит Ваню. Обозначим ее буквой. Определяем, что точка имеет координаты (6; 3). Следовательно, Женя догонит Ваню через 6 часов после начала движения Вани на расстоянии 3 км от города A. Пример 5. Решение задачи различными способами (с использованием графика и диаграммы). Задача. Из пункта в пункт В выехал велосипедист со скоростью 1 км/ч. Одновременно с ним из пункта В в пункт вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через какое время произойдет их встреча, если расстояние от до В составляет 75 км? На доске дано графическое решение задачи (рис. 6). Что изображено на доске? (Решение задачи.) Что показывает цветная линия? (График движения велосипедиста.) Что показывает серая линия? (График движения пешехода.) Почему серая линия выходит из точки В? (Пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, движение начинают одновременно.) Что означает точка? (омент встречи пешехода и велосипедиста.) Решить эту задачу можно, построив диаграмму. Велосипедист движется из пункта. За первый час велосипе- 8 B Рис. 6 6 * Приносим авторам свои извинения в связи с тем, что технические условия не позволяют нам воспроизвести указанные ими цвета (красный и синий) для обозначения разных графиков движения. Учителя могут выбрать те цвета, которые будет удобнее или привычнее использовать детям. Прим. ред. 4

Читайте также: