Функция распределения и ее свойства кратко

Обновлено: 02.07.2024

О непрерывной случайной величине (НСВ) я неоднократно упоминал в предыдущих статьях, и поэтому, если вы зашли с поисковика и/или не совсем в теме, то начните с первого урока о случайных величинах. После чего продолжаем и сразу вспоминаем разницу:

– В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов, названия которых вы видите в заголовке.

Функция распределения непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и функция распределения ДСВ:

Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например:

и если там разрыв, то вы имеете дело с опечаткой или откровенной ошибкой!

! Но сама по себе непрерывность и ноль слева, единица справа – ещё не означают, что перед нами функция распределения.

Что касаемо масштаба, то смотрим по ситуации, чаще всего оптимальный масштаб составляет 1 ед. = 1 см (две клетки), но поскольку я строю графики не от руки, то особо не слежу за пропорциями – в данном случае по оси ординат вышло примерно в 2 раза больше, чем по оси абсцисс.

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем –1;

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем 4.

Ну, и очевидно, что рассматриваемая случайная величина принимает случайные, наперёд неизвестные значения из отрезка . Если вкладывать в задачу содержательный смысл, то это может быть случайная продолжительность некоего процесса (в секундах, например), или масса либо размер случайно выбранного объекта (например, крупинки песка). И тому подобное – примеров масса. Конкретные задачи непременно будут, но прежде остановимся на технической стороне вопроса.

Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается ещё проще, чем для дискретной случайной величины. Здесь нет никакой Санта-Барбары: отрезок ли нам дан, полуинтервал или интервал , соответствующую вероятность можно вычислить по единой формуле:

Примечание: в следующем параграфе мы обоснуем это утверждение

Например:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка . И точно такими же будут вероятности ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

Эффективный ответ на поставленный вопрос даёт

функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .

Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует

В нашем примере:

То есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.

Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадались:
(синяя площадь на чертеже) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;

(красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .

По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам / полуинтервалам, в частности:

Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?

Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .

Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце урока.

Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы: 1) когда дана функция , 2) когда дана функция .

В первом случае не составляет никаких трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы недавно убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:

Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти значение и составить функцию распределения вероятностей. Вычислить . Построить графики .

Решение: найдём константу . Это классика. В подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности. Используем свойство . В данном случае:

На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:

Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим:
и подставим результат в уравнение:
, откуда выразим

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, что и требовалось проверить.

Обратите внимание, что только при – и только при этом значении, предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности выполнено. Доверяй условию, да проверяй ;) Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.

Теперь начинается самое интересное. Функция распределения вероятностей – есть интеграл:

Так как наша состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:

1) На промежутке , поэтому:

2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:

3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:

! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения ;) К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. Соответствующие примеры я обязательно разберу ниже.

Записываем наши достижения под единую скобку:

– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка

Но ценители интегрального исчисления, конечно же, не откажут себе в удовольствии:
, что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.

Выполним чертежи. График представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза:

Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна.

Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.

И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:

Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Требуется:
1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что примет значение из промежутка

и задачка поинтереснее:

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность .

Дерзайте! Свериться с решением можно внизу страницы.

И в заключение 1-й части урока обещанные случаи с несобственными интегралами:

Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики.

Решение: по свойству функции плотности распределения:

В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому:

Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:

и функция плотности:

Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:

1) На промежутке , следовательно:
– вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.

2) На интервале и:
, что и должно получиться.

Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:

Заметьте, что теоретически случайная величина может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .

Ещё более интересное задание для самостоятельного изучения:

Проверить, что является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Найти и выполнить чертежи.

Решения и ответы:

Пример 1. Решение: в силу непрерывности функции распределения:

Таким образом:

Найдём функцию плотности распределения:

Покажем, что действительно является функцией плотности:
1) Для любого значения , в частности, на среднем промежутке:
Внимание! Без 1-го пункта обойтись нельзя!
2)
Таким образом, найденная функция действительно является функцией плотности распределения.

Требуемые вероятности выгоднее вычислить с помощью функции распределения:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение, больше, чем .

Построим графики :

Пример 3. Решение:
1) По свойству функции плотности распределения:

В данной задаче:

Таким образом, искомая плотность:

2) Функцию распределения найдём с помощью формулы :
– если то и ;
– если то и ;
– если то и:
.
Таким образом:

3) Выполним чертежи:

4) Найдём вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка :

Пример 4. Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством . В данном случае:

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним чертеж:

Составим функцию распределения вероятностей :
1) Если , то и
2) Если , то и
3) Если , то и:

4) Если , то и:

Таким образом:
,
Выполним чертеж:

Вычислим – вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала .

Пример 6. Решение: проверим, что функция является функцией плотности:
1) Поскольку экспоненциальная функция положительна, то для любого , значит, свойство неотрицательности функции плотности выполнено.
2) Проверим выполнение свойства . Сначала удобно найти неопределённый интеграл:
.
Используем чётность подынтегральной функции:

Вывод: является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, что и требовалось проверить.

Найдём функцию распределения:

– для всех .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Универсальным способом задания закона распределения, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x, то есть

Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле

Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, легко вычислить и построить ее функцию распределения. Продемонстрируем, как это делается на примере 23.

Пример 25. Вычислить и построить функцию распределения для дискретной случайной величины, закон распределения которой, имеет вид:

x_i	0,1	1,2	2,3	4,5
p_i	0,1	0,2	0,6	0,1

Решение. Определим значения функции F(x) = P(X

Ряд распределения данной случайной величины X имеет вид

x_i	Итого
p_i	0,42	0,46	0,12

Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 9.

Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

График функции F(x) приведён на рисунке 10.

Рисунок 9 – Столбцовая диаграмма

Рисунок 10 – Функция распределения

Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке:

По своему смыслу значения функции f(x) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x.

Функция плотности распределения f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f(x) еще называют дифференциальной функцией распределения, тогда как функцию распределения F(x) называют, соответственно, интегральной функцией распределения.

График функции плотности распределения f(x) называется кривой распределения.

Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины.

Свойство 1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция:

(геометрически: кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс).

Свойство 2. Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле

(геометрически: эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью Ох и прямыми x = a и x = b).

Свойство 3.

(геометрически: площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице).

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то

Свойство 4. Функция распределения F(x) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом:

Пример 27. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

Определить дифференциальную функцию плотности распределения.

Решение. Определим дифференциальную функцию плотности распределения

Пример 28. Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций?

Решение. а) Проверим справедливость свойства 3:

В данном случае имеем

Функция неотрицательна для всех x. То есть заданная функция является функцией плотности распределения некоторой случайной величины.

б) Заданная функция не является плотностью распределения некоторой случайной величины, так как .

в) Проверим справедливость свойства 3:

В данном случае имеем

Функция неотрицательна для всех . То есть заданная функция является функцией плотности распределения некоторой случайной величины.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется случайной величиной?

2. Какие величины называются дискретными? непрерывными?

3. Что называется законом распределения случайной величины?

4. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случайной величины? непрерывной?

5. Что характеризует функция распределения F(x) случайной величины?

6. Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения?

7. Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл.

8. Для каких величин определена функция плотности распределения?

9. Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные значения?

10. Как связаны между собой функции F(x) и f(x)?

11. Какие случайные величины называются непрерывными?

12. Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс?

13. Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения?

Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле

x_i	0,1	1,2	2,3	4,5
p_i	0,1	0,2	0,6	0,1

Решение. Определим значения функции F(x) = P(X

1. Формирование представление о случайной величине, дискретных и непрерывных случайных величинах.

2. Знакомство с законом распределения дискретной случайной величины, функцией распределения и плотностью распределения непрерывной случайной величины, числовых характеристиках случайных величин.

1. Виды случайных величин.

2. Закон распределения дискретной случайной величины.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины.

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

5. Математическое ожидание.

6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

1. Виды случайных величин.

Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.

Случайные величины обозначаются: X , Y , Z . Значения, которые они принимают: x , y , z .

По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно).

Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…

Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка.

Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в].

2. Закон распределения дискретной случайной величины.

Дискретную случайную величину Х можно характеризовать законом распределения .

Закон распределения дискретной случайной величины- это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.

При задании закона распределения таблично, в первую строку таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую- их вероятности.

Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3.

Тогда закон распределения данной дискретной случайной величины можно представить таблицей:

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (x_i ; p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Однако, такой способ задания (перечисление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей) не подходит для непрерывных случайных величин. Составить перечень их возможных значений невозможно.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины.

Дадим новый способ задания любых типов случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения случайной величины называют функцию F ( x ), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F ( x ) P ( X x ).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F ( x ) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Свойства функции распределения:

Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат интервалу [0; 1]: .

Свойство 2: F ( x )- неубывающая функция, т.е. при .

Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b ), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Пример: Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 2).

Следствие 2:

Свойство 3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то F ( x )=0 при (т.к. ; F ( x )=1 при (т.к. - достоверное событие.

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.

График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (1 свойство).

4. При возрастании значения х в интервале ( a ; b ), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график растет вверх (2 свойство).

5. При ординаты графика равны 0, при ординаты графика равны 1 (3 свойство).

Замечание: График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример: Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

Найдите функцию распределения и постройте ее график.

Решение: Если , то F ( x )=0 по 3 свойству. Если , то F ( x )= P ( X Если , то F ( x )= P ( X Если х>8, то F ( x )=1. Действительно, событие Х

Итак, функция распределения имеет следующий вид:

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f ( x )- первую производную от функции распределения F ( x ).

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( a ; b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b .

Пример: Задана плотность вероятностей случайной величины Х.

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Свойства плотности распределения вероятностей:

Свойство 1: Плотность распределения- неотрицательная функция: f ( x ) > 0.

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен 1: .

Геометрический смысл этого свойства заключается в следующем: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то .

Часто, для того чтобы характеризовать случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.

5. Математическое ожидание.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х- это величина , где x_i- значения случайной величины, p_i- их вероятности, n - число возможных значений случайной величины.

Пример: Найдите математическое ожидание, зная закон распределения дискретной случайной величины.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F (х) — неубывающая функция, т. е.

Доказательство. Пусть . Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее , можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) Х примет значение, меньшее , с вероятностью ;

2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству , с вероятностью . По теореме сложения имеем .

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Это важное следствие вытекает из свойства 2, если

ПРИМЕР 13.1.40 Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

Решение. Так как на интервале (1;2), по условию,

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Пусть . Тогда в силу непрерывности функции F(х) (Х — непрерывная случайная величина) ;

Например, равенство доказывается так:

Замечание. Ранее мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю, – невозможные события. Теперь же рассматриваются события возможные, но с нулевой вероятностью. Они появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев. Понятие о событии “возможном, но обладающем нулевой вероятностью”, не более парадоксально, чем представление о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна из точек внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура состоит из таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей. Сколь угодно малый элемент, выделенный из этой фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для точки.
Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю. Однако в исходе опыта случайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т.е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то:

Доказательство. 1) Пусть . Тогда событие невозможно (так как значений, меньших , величина Х по условию не принимает) и,следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть . Тогда событие достоверно (так как все возможные значения Х меньше ) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

Сформулированные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
График расположен в полосе, ограниченной прямыми (первое свойство).

При возрастании х в интервале (a;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, ордината точек графика возрастает (второе свойство).

При ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице (третье свойство).

График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис.13.1.3.

Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(X) равна единице.

ПРИМЕР 13.1.41 Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение. Если , то (третье свойство).

Если , то , т.к. Х может принять единственное возможное в данном случае значение -1 с вероятностью 0,2.

Если , то . Действительно, т.к. Х может принять значение -1 (вероятность этого события равна 0,2) или значение 2

(вероятность этого события равна 0,3). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

1. Функция распределения есть функция не отрицательная, заключенная между 0 и 1, т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1. Это свойство вытекает из определения F(x) как вероятности.

Следствие 3. Если возможные значение непрерывной случайной величины принадлежат всей числовой оси, то

Замечания. (Краткая характеристика основных свойств интегральной функции распределения).

1. Интегральная функция распределения является неотрицательной неубывающей функций, удовлетворяющей условиям F(–∞) = 0, F(+∞) = 1, и связана с вероятностью соотношением

Читайте также: